Scrigroup - Documente si articole

Username / Parola inexistente      

Home Documente Upload Resurse Alte limbi doc  

 
CATEGORII DOCUMENTE


AeronauticaComunicatiiElectronica electricitateMerceologieTehnica mecanica


SISTEME DE COMUNICATII PENTRU TRANSPORTURI - Analiza Fourier a semnalelor periodice

Comunicatii

+ Font mai mare | - Font mai mic



DOCUMENTE SIMILARE

Trimite pe Messenger
CABLU SERIAL DE COMUNICATIE NOKIA - Constructia cablului folosit pe Nokia 5110,6110,7110
Nokia N82 - Greutate, Baterie
Componentele telefonului Nokia N96
ACHIZITIA SI URMARIREA SEMNALULUI SATELITAR - RECEPTORUL GPS
EFECTELE INTERFERENTEI RF ASUPRA SEMNALULUI SATELITAR GPS URMARIT DE RECEPTOR
Reteaua GSM - Canalele logice, Organizarea canalelor
WiMAX – interoperabilitate de acces prin microunde
SISTEME DE COMUNICATII PENTRU TRANSPORTURI - Analiza Fourier a semnalelor periodice
GPS - Modalitati de utilizare a sistemului GPS - Factori care influenteaza precizia masuratorilor
Lassen LP GPS - PROTOCOALE DE INTERFETE

TERMENI importanti pentru acest document

: : analiza fourier : : serie Fourier pentru semnale analogice periodice :

SISTEME DE COMUNICATII PENTRU TRANSPORTURI

Lucrarea de laborator nr. 1

Analiza Fourier a semnalelor periodice

            1. Obiectivul lucrarii

            In aceasta lucrare se studiaza analiza semnalelor periodice cu ajutorul seriilor Fourier.

            2. Introducere teoretica

            2.1. Serii Fourier

            Relatia intrare-iesire a unui sistem liniar invariabil in timp (LIT) este data de integrala de convolutie definita prin relatia

                                                                                 (1)

unde prin  am notat raspunsul la impuls al sistemului,  este semnalul de intrare iar  este semnalul de iesire. Daca intrarea  este o exponentiala complexa data de

                                                                                               (2)

atunci iesirea este data de

                                                                 (3)

Se vede ca iesirea este tot o exponentiala complexa cu aceeasi frecventa ca si intrarea. Amplitudinea iesirii, insa, este amplitudinea intrarii amplificata prin

                                                                           (4)

Se observa ca aceasta marime este o functie de raspunsul la impuls al sistemului LIT, , si de frecventa semnalului de intrare,  De aceea, este deosebit de simplu sa se calculeze raspunsul sistemelor LIT la intrari exponentiale. Este, deci, natural in analiza sistemelor liniare sa cautam metode prin care sa dezvoltam semnalele ca sume de exponentiale complexe. Seriile Fourier si transformarile Fourier sunt tehnici pentru dezvoltarea semnalelor in functie de exponentiale complexe.

            Sa consideram semnalele periodice cu perioada  In dezvoltarea in serie Fourier a unui astfel de semnal, baza pentru dezvoltare este multimea de semnale

Cu aceasta baza, orice semnal periodic  cu perioada  poate fi exprimat drept o suma infinita

                                                                                     (5)

In aceasta dezvoltare, marimile notate cu  se numesc coeficientii seriei Fourier a semnalului  si sunt date de

                                                                               (6)

Aceasta relatie se deduce din ortogonalitatea functiilor ce alcatuiesc baza. Marimea α este o constanta arbitrara pe care o alegem astfel incat calculul integralei sa se simplifice. Frecventa  se numeste frecventa fundamentala a semnalului periodic, iar frecventa  se numeste armonica a n-a. In cele mai multe dintre cazuri,  sau  este o buna alegere.

            Acest tip de serie Fourier se numeste serie Fourier exponentiala si se aplica atat la semnale periodice reale cat si la cele complexe. In general, coeficientii seriei Fourier  sunt numere complexe chiar daca  este un semnal real.

            Daca  este un semnal periodic real, avem

                                                                   (7)

Din aceasta egalitate, este evident ca

                                                                                               (8)

Coeficientii seriei Fourier a unui semnal real au, deci, simetrie Hermite: modulul lor este par iar faza lor este impara. Echivalent, partea lor reala este o functie para de n, iar partea lor imaginara este impara.

            O alta forma de serie Fourier, seria Fourier trigonometrica, se poate aplica numai la semnale periodice reale si se obtine definind

                                                                                                 (9)

                                                                                               (10)

Utilizand relatia lui Euler, avem

                                                   (11)

Rezulta ca

                                                                   (12)

                                                                     (13)

Prin urmare,

                                     (14)

Observam ca, pentru n = 0, avem  astfel incat

            O a treia forma de serie Fourier se obtine definind

                                                                                         (15)

si utilizand relatia trigonometrica

                                             (16)

Cu aceasta, putem scrie ecuatia (14) in forma

                                                             (17)

In general, coeficientii  ai seriei Fourier a unui semnal real sunt legati de  si  prin

                                                                                           (18)

Reprezentarea grafica a modulului  si a fazei  in functie de n sau de  se numeste spectrul discret al lui  Graficul lui  se numeste spectrul de amplitudine, iar graficul lui  se numeste spectrul de faza.

            Daca  este o functie reala si para de timp, adica, daca  luand  avem ca

                                                                   (19)

Aceasta integrala este zero fiindca integrandul este o functie impara de t. De aceea, pentru un semnal real si par , toti coeficientii  sunt numere reale. In acest caz, seria trigonometrica Fourier consta din toate functiile cosinus. Similar, daca  este o functie reala si impara de timp, adica, daca , atunci

                                                                       (20)

este zero si toti coeficientii  sunt numere imaginare. In acest caz, seria trigonometrica Fourier consta din toate functiile sinus.

            2.2. Raspunsul sistemelor liniare invariabile in timp (LIT) la

                        semnale periodice

            Daca se aplica un semnal periodic  la intrarea unui sistem liniar invariabil in timp (LIT), semnalul de iesire  este si el periodic cu aceeasi perioada ca semnalul de intrare si de aceea are o dezvoltare in serie Fourier.

            Dezvoltam  si  in serii Fourier:

                                                                                     (21)

                                                                                   (22)

Relatia dintre coeficientii seriilor Fourier ale lui  si  se obtine utilizand integrala de convolutie

                                                   (23)

Fie  functia de transfer a sistemului LIT, numita si raspunsul in frecventa al sistemului, dat ca transformata Fourier a raspunsului sau la impuls

                                                                               (24)

Din (23), avem

                                                                                           (25)

            3. Probleme rezolvate cu MATLAB

Problema 1

Seria Fourier a unui tren de pulsuri rectangulare

Semnalul rectangular notat cu  se defineste astfel:

                                                                                   (26)

Fie un semnal periodic  de perioada  definit prin

                                                                 (27)

pentru  unde

Semnalul  este reprezentat grafic in figura 1.

Figura 1. Semnalul  din Problema 1.

Presupunand ca A = 1,  si

1. Sa se determine coeficientii seriei Fourier a lui  in forma exponentiala si in forma trigonometrica.

2. Sa se reprezinte grafic spectrul lui .

Rezolvare

1. Pentru a deduce coeficientii seriei Fourier din dezvoltarea lui , avem

                                                                   (28)

Am definit functia sinus cardinal sinc(x) astfel:

                                                                                     (29)

Deoarece  este un semnal real si par, toti coeficientii  sunt reali, astfel incat

                                                                                           (30)

Pentru n = 0, avem ca  si  Pentru n par, avem ca  De aceea

                                                           (31)

Deoarece  este intotdeauna real, in functie de semn, faza este fie zero, fie π. Amplitudinea lui  este

Pentru a reprezenta grafic spectrul discret al semnalului, se utilizeaza urmatorul fisier MATLAB:

% Fisier MATLAB pentru Problema 1.

stem(n,x);

            Daca semnalul  este descris intr-o perioada intre a si b, asa cum se arata in figura 2, iar semnalul din intervalul [a, b] este dat intr-un fisier m, coeficientii seriei Fourier se pot obtine utilizand fisierul m fseries.m dat mai jos.

function xx = fseries(funfcn,a,b,n,tol,p1,p2,p3)

%FSERIES     Returneaza coeficientii seriei Fourier.

%                     XX=FSERIES(FUNFCN,A,B,N,TOL,P1,P2,P3)

%                     funfcn=functia data, intr-un fisier m.

%                     Ea poate depinde de pana la trei parametri p1, p2 si p3.

%                     Functia este data pe o perioada care se intinde de la a la b.

%                     xx=vector de lungime n+1 al coeficientilor seriei Fourier,

%                     xx0,xx1,,xxn.

%                     p1,p2,p3=parametrii lui funfcn.

%                     tol=nivelul erorii.

j=sqrt(–1);

args0=[];

for nn=1:nargin–5

            args0=[args0,',p',int2str(nn)];

end

args=[args0,')'];

t=b–a

xx(1)=eval([',num2str(t),') . *quad(funfcn,a,b,tol,[]',args]);

for i=1:n

            new_fun = 'exp_fnct' ;

            args=[',' , num2str(i), ',', num2str(t), args0, ')'];

            xx(i+1)=eval(['1/(',num2str(t),').*quad(new_fun,a,b,tol, [], funfcn',

args]);

end

Figura 2. Un semnal periodic.

Problema 2

Spectrul de amplitudine si spectrul de faza

Sa se determine si sa se reprezinte grafic spectrele discrete de amplitudine si de faza ale semnalului periodic  cu o perioada egala cu 8 si definit astfel:  pentru

Rezolvare

Semnalul este dat de un fisier m numit lambda.m. Alegem intervalul [a, b] = [–4, 4]. Fisierul fseries.m determina coeficientii seriei Fourier pentru valori pozitive ale lui n. Deoarece  este real, avem  Reprezentam grafic spectrele de amplitudine si de faza pentru n = 24.

            Programul MATLAB pentru determinarea si reprezentarea grafica a spectrelor de amplitudine si de faza este dat mai  jos.

% Program MATLAB pentru Problema 2.

echo on

fnct='lambda';

a=-4;

b=4;

n=24;

tol=0.1;

xx=fseries(fnct,a,b,n,tol);

xx1=xx(n+1:-1:2);

xx1=[conj(xx1),xx];

absxx1=abs(xx1);

pause % Apasati orice tasta pentru a vedea o reprezentare grafica a spectrului de amplitudine

n1=[–n:n];

stem(n1,absxx1)

title('Spectrul discret de amplitudine')

phasexx1=angle(xx1);

pause % Apasati orice tasta pentru a vedea o reprezentare grafica a spectrului de faza

stem(n1,phasexx1)

title('Spectrul discret de faza')

Problema 3

Spectrul de amplitudine si spectrul de faza

Sa se determine si sa se reprezinte grafic spectrul de amplitudine si spectrul de faza ale semnalului periodic cu perioada egala cu 12 care este dat de

                                                                                         (32)

in intervalul [–6, 6].

Rezolvare

Semnalul este egal cu functia de densitate a unei variabile aleatoare gaussiene (normale) de varianta unu data in fisierul normal.m. Acest fisier cere doi parametri, m si s, media si abaterea standard a variabilei aleatoare, care in problema sunt 0 si 1, respectiv. De aceea, putem utiliza urmatorul program MATLAB pentru a obtine graficele de amplitudine si de faza.

% Program MATLAB pentru Problema 3

echo on

fnct='normal';

a=–6;

b=6;

n=24;

tol=0.1;

xx=fseries(fnct,a,b,n,tol,0,1);

xx1=xx(n+1:-1:2);

xx1=[conj(xx1),xx];

absxx1=abs(xx1);

pause % Apasati orice tasta pentru a vedea o reprezentare grafica a spectrului de amplitudine

n1=[–n:n];

stem(n1,absxx1)

title('Spectrul discret de amplitudine')

phasexx1=angle(xx1);

pause % Apasati orice tasta pentru a vedea o reprezentare grafica a spectrului de faza

stem(n1,phasexx1)

title('Spectrul discret de faza')

Problema 4

Filtrarea semnalelor periodice

Un tren de pulsuri triunghiulare  cu perioada  este definit pe o perioada astfel

                                                                           (33)

1. Sa se determine coeficientii seriei Fourier a lui .

2. Sa se reprezinte grafic spectrul lui .

3. Presupunand ca acest semnal trece printr-un sistem LIT al carui raspuns la impuls este dat de

                                                                                     (34)

sa se reprezinte grafic spectrul discret al iesirii .

Semnalele  si  sunt reprezentate grafic in figura 3.

Figura 3. Semnalul de intrare  si raspunsul la impuls al sisyemului .

Rezolvare

1. Avem

                                                                           (35)

Indicatie: se utilizeaza integrarea prin parti.

2. Spectrul discret al lui  este reprezentat in figura 4.

3. Trebuie mai intai sa deducem , functia de transfer a sistemului. Desi este posibil sa facem aceasta analitic, vom utiliza o metoda numerica. Pentru spectrul discret al semnalului de iesire, avem

                                                                             (36)

Programul MATLAB este urmatorul:

% Program MATLAB pentru Problema 4.

echo on

n=[–20:1:20];

% coeficientii seriei Fourier a vectorului

x=.5*(sinc(n/2)).^2;

% interval de esantionare

ts=1/40;

% vector timp

t=[-.5:ts:1.5];

% raspuns la impuls

fs=1/ts;

h=[zeros(1,20),t(21:61),zeros(1,20)];

% functia de transfer

H=fft(h)/fs;

% rezolutia de frecventa

df=fs/80;

f=[0:df:fs]-fs/2;

% rearanjeaza H

H1=fftshift(H);

y=x.*H1(21:61);

% urmeaza comenzile de reprezentare grafica.

Figura 4. Spectrul discret al semnalului .

DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 425
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Distribuie URL

Adauga cod HTML in site

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2014. All rights reserved