CIRCUITE ELECTRICE IN CURENT ALTERNATIV MONOFAZAT

CIRCUITE ELECTRICE IN CURENT ALTERNATIV MONOFAZAT

1. Marimi cu variatie periodica in timp

O marime fizica (curent, tensiune, intensitate) poate fi constanta in timp, sau variabila

In electrostatica si electrocinetica ne-am ocupat cu studiul fenomenelor electromagnetice a caror marimi sunt constante in timp, iar in electrodinamica au fost analizate si fenomene a caror marimi variaza in timp.

In electrotehnica,prezinta o importanta deosebita, cazurile cand marimile fizice au o variatie periodica in timp.

Ex: tensiunea "u" este cu variatie periodica in timp daca

adica valoarea sa se repeta dupa un interval de timp T numita perioada.

Perioada T se defineste ca intervalul de timp minim dupa care tensiunea (exp) trece prin aceeasi valoare

Marimea inversa perioadei T se numeste frecventa de variatie " f " si reprezinta numarul de perioade cuprinse in unitatea de timp.

(1.2)

Unitatea de masura este [hertz] [Hz]. Frecventa de 1Hz corespunde unei marimi periodice care are T 1 sec .

Marimea periodica se caracterizeaza prin valoarea sa medie calculata pe durata T (pentru ca valorile in continuare se repeta

• Marimile periodice sunt pulsatorii daca toate valorile sale au un singur semn
• Marimile periodice sunt alternative daca de-a lungul unei perioade isi schimba semnul;
• Marimile periodice alternative sunt simetrice daca obtin dupa o jumatate de prioada aceeasi valoare dar cu semn schimbat .

• Daca relatia nu este satisfacuta marimea periodica alternativa nu este simetrica.
• Marimea periodica alternativa este sinusoidala daca variatia sa in timp se exprima cu relatia de forma

(1.5)

unde : u - valoarea instantanee momentana) a marimii sinusoidale

Valoarea maxima sau amplitudinea

- argumentul functiei sinus sau faza marimii sinusoidale apare timpul ca marime independenta

Este faza initiala adica la t

Din cercul trigonometric ne reamintim variatia functiei de raza unitara

Unghiul s-a exprimat in radiani un radian este unghiul la centrul cercului cu raza egala cu lungimea arcului

Luand cercul de raza si reprezentarea devine

Din egalitatea semnata de individualitatea functiei sinus rezulta explicitarea marimii "

De aici rezulta (1.6) à se numeste pulsatia sau    

frecventa unghiulara a marimii, fiind

exprimata in [rad/sec] .

Pentru explicitarea fazei initiale se face urmatoarea reprezentare

Reprezentarea III ului , identica cu cea de sus, cu singura diferenta ca este translatata cu " radiani spre dreapta.

Defazajul dintre doua marimi sinusoidale cu aceeasi pulsatie se exprima prin diferenta fazelor lor .

Astfel avand si

defazajul dintre ele este diferenta fazelor initiale

In relatia de mai sus defazajul se exprima in [rad]. Pentru exprimarea lui in timp se imparte cu .

Defazajul indica avansul sau ramanerea in urma a unei marimi sinusoidale in raport cu alta.

Se spune ca un curent este defazat inaintea altui curent daca trece mai repede prin anumite valori prin maximul pozitiv decat celalalt curent.

Defazajul se poate deci exprima in radiani si se poate converti in timp.

Doua marimi alternative sunt in opozitie de faza daca radiani (cand una este maxima pozitiva cealalta este maxima negativa

Doua marimi alternative sunt in cuadratura daca radiani

Doua marimi sunt in faza daca

2. Valoarea medie si efectiva a unei marimi alternative

a) Valoarea medie a unei marimi periodice u(t) se determina cu relatia

Valoarea medie a unei marimi alternative este nula, alternanta pozitiva este egala si de semn contrar cu alternanta negativa. De aceea in regim sinusoidal se determina valoarea medie nu pentru o perioada T ci pentru T

Astfel, pentru se obtine

pentru

Valorile medii ale curentului si tensiunii prezinta importanta, in sensul ca acestea se masoara cu ajutorul instrumentelor de tip magnetoelectric prevazute cu redresor.

b) Valoarea efectiva (eficace)

Daca un conductor de rezistenta R este parcurs de un curent alternativ i(t), puterea disipata in conductor prin efect Joule depinde si ea de timp. Avem deci o    putere instantanee reprezentata grafic in figura de mai jos

Se observa ca p(t) trece succesiv prin maxime si minime corespunzatoare variatiei lui i(t)

Valoarea medie a puterii este

Aceeasi putere P s ar obtine daca prin conductor ar circula un curent continuu I de o anumita valoare.Aceasta reprezinta valoarea efectiva sau eficace a curentului alternativ.

Astfel: valoarea efectiva a curentului (tensiunii) cu variatie sinusoidala este egala cu acea valoare constanta a unui curent continuu care,parcurgand acelasi rezistor R dezvolta in timp aceeasi putere calorica ca si curentul sinusoidal.

Puterea dezvoltata de curentul continuu . Egaland puterile P'=P obtinem

=> valoarea medie pentru un curent sinusoidal

=>

Se face schimbarea de variabila =>

Rezulta deci ca valoarea efectiva este de ori mai mica decat valoarea maxima

In electrotehnica valoarea efectiva se utilizeaza in mod curent. Daca nu se specifica astfel valoarea unui curent alternativ sau a unei tensiuni alternative se intelege totdeauna valoarea sa efectiva.De exemplu 220V,380V sunt valori efective.

Instrumentele de masura in curent alternativ sunt gradate in valori efective.Folosind valoarea efectiva expresia unui curent sinusoidal se poate scrie si astfel

(2.5)

Raportul dintre valoarea efectiva si valoarea medie, depinde de forma curbei, si se numeste factor de forma.Pentru marimi sinusoidale

Raportul dintre valoarea maxima si valoarea efectiva se numeste factor de amplitudine care, pentru marimile sinusoidale are valoarea

Producerea unei tensiuni electromotoare sinusoidale

O tensiune electromotoare sinusoidala se obtine prin fenomenul de inductie electromagnetica in generatoarele de tensiune alternativa montate in centralele electrice. In figura de mai jos este redat principiul de functionare considerand o singura spira rotitoare intr un camp magnetic uniform.

Infasurarea rotorica este reprezentata de o singura spira legata la inelele colectoare.

Spira se roteste cu viteza unghiulara in campul magnetic omogen creeat de doi poli permanenti

Rotirea se face in jurul axului spirei, care este perpendicular pe liniile ded camp

Unghiul , format de si normala la planul spirei, este variabil in timp.

Fluxul magnetic care strabate suprafata S a spirei este variabil in timp astfel

La , si .

Tensiunea electromotoare indusa in spira si colectata de periile a" si "b" conform legii inductiei electromagnetice este:

Urmarind relatiile fluxului si tensiunea electromotoare indusa se observa ca intre aceste doua marimi exista un defazaj de .

4.Reprezentarea marimilor sinusoidale

Marimile sinusoidale se pot reprezenta si exprima in diferite moduri, obtinandu se asa numitele diagrame de reprezentare a marimilor sinusoidale de unde rezulta si relatiile de exprimare a lor.

a Diagrama liniara (carteziana

Pentru marimi sinusoidale exprimate matematic prin sau ,diagrama se obtine reprezentand in plan variatia in timp a acestor marimi.

Pe axa absciselor se pun valorile timpului "t" sau a unghiului " , iar pe ordonata valorile instantanee ale marimilor respective.Toate reprezentarile indicate pana acum sunt diagrame liniare.

Avantaje reprezentarea este intuitiva,corespunzand fenomenului real.

Dezavantaje urmarirea simultana a mai multor marimi este dificila.

b) Diagrama fazoriala

O marime sinusoidala este univoc determinata daca se cunosc amplitudinea si faza sa.

Diagrama fazoriala se obtine asociind amplitudinii un segment de dreapta OA care se roteste in jurul originii in sens trigonometric cu viteza unghiulara constanta ".

OA se numeste fazorul amplitudinii

Unghiul pe care acesta il face cu axa ox" este argumentul funtiei al functiei sinusoidale

Proiectia pe axa ox este valoarea momentana

Avantaje :

In diagrama fazoriala se reprezinta in general mai multe marimi sinusoidale (tensiuni,curenti) cu aceeasi frecventa de rotatie,diagrama reusind sa inghete reprezentarea in timp.

Pe baza acestei reprezentari se pot face operatii de adunare si scadere a marimilor sinusoidale sau de determinare a defazjelor.

Exemplu

La o marime sinusoidala derivata => derivata unei marimi sinusoidale este defazata inainte cu fata de marimea de referinta, iar modulul se inmulteste cu .

Integrala => integrala este deci defazata in urma cu , iar modulul se imparte cu .

In aplicatii practice, diagramele fazoriale se folosesc fara a se mai trasa axele de coordonate, reprezentandu se numai fazorii amplitudinilor si defazajele corespunzatoare.

In general se pot reprezenta si fazorii valorilor efective cu care de fapt se lucreaza.

Exemplu se ia ca origine de faza fazorul de tensiune U

se reprezinta fazorul de curent defazat fata de aceasta cu unghiul in urma

Descompunand curentul I dupa doua directii perpendiculare raportate la se obtin componentele active si reactive ale curentului.

c Reprezentarea in complex

Un numar complex, caracterizat prin modul si argument poate servi la reprezentarea simbolica a unei marimi sinusoidale.

Un numar complex se poate reprezenta in planul complex, utilizand modulul si argumentul, astfel

Modulul

Argumentul

partea reala

partea imaginara

Operatorul in planul complex este

- Formula lui Eulez

Astfel expresia in plan complex a unui fazor este

Unei marimi sinusoidale i se poate asocia o marime complexa

-partea reala

partea imaginara

Reprezentarea in complex simplificata se face considerand modulul marimii complexe egal cu valoarea efectiva, iar argumentul este egal cu faza initiala.

-U reprezinta valoarea eficace, iar reprezinta faza initiala

Reprezentand marimile sinusoidale in planul complex se obtine diagrama in complex a acestor marimi.

Derivata unei marimi complexe este

Integrala

Reprezentarea in complex seamana cu reprezentarea fazoriala. Avantajele sunt similare.

5 Retele de curent alternativ

5.1 Structura retelelor de curent alternativ

O retea de curent alternativ reprezinta un ansamblu de surse electrice si conductoare parcurse de curent alternativ.

Retelele de curent alternativ prezinta unele analogii cu retelele din curent continuu si anume: - au aceeasi topologie avand laturi,noduri si ochiuri

cuprind ca elemente de circuit surse si rezistoare

In plus, in retelele de curent alternativ mai pot exista doua elemente de circuit bobinele si condensatoarele si in retelele de curent continuu pot exista bobine, dar utilizarea si fenomenele sunt dificile

In concluzie, o retea de curent alternativ este compusa din patru tipuri de elemente de circuit surse, rezistoare, bobine si condensatoare.

Referitor la Legile generale care descriu fenomenele din retelele de curent alternativ exista deosebiri importante in comparatie cu retelele de curent continuu.

Aceste deosebiri au ca punct de plecare variatia curentului de conductor in timp, care conduce la aparitia a doua fenomene noi existenta curentului de deplasare si aparitia tensiunilor electromotoare induse.

In consecinta, tinand seama riguros de aceste fenomene noi, calculul curentilor intr o retea de curent alternativ devine foarte dificil.

In practica s au facut unele simplificari care nu afecteaza prea mult precizia acestui calcul.

Astfel efectul fluxului electric variabil se considera concentrat in condensatoare

Efectul fluxului magnetic variabil se considera concentrat in bobine.

Rezulta deci, ca

In afara condensatoarelor curentul de deplasare este zero, ceea ce inseamna ca prima teorema a lui Kirchoff ramane aplicabila

- in afara bobinelor, tensiunile electromotoare induse sunt considerate zero, deci ramane valabila si teorema a doua a lui Kirchoff.

Rezulta ca bobinele si condensatoarele sunt elemente de circuit cu rol deosebit in retelele de curent alternativ, fiind sediul unor fenomene calitativ diferite de cele care au loc in restul retelei.

O retea de curent alternativ in care se fac simplificarile mentionate se numeste retea cu elemente constante concentrate.

Elementele de circuit se mai numesc dipoli pot fi

pasive, caracterizate prin doua borne, cu fenomene la borne si curent la borne

-active, caracterizate prin doua borne, cu tensiune electromotoare, tensiune la borne si curent la borne.

In concluzie, o retea de curent alternativ va fi considerata ca fiind compusa din dipoli activi si pasivi conectati intr un anumit mod.

Cu simplificarile prezentate, in afara dipolilor, legile regimului stationar c.c pot fi considerate ca valabile.

Un asemenea regim, in care legile regimului stationar pot fi aplicate, cu toate ca marimile variaza in timp, se numeste regim cvasistationar.

Exista trei elemente de circuit, pasive, considerate ideale rezistorul ideal, bobina ideala si condensatorul ideal.

5.2 Curentul alternativ in elemente de circuit ideale

a Rezistorul ideal este un rezistor, avand rezistenta electrica R la borne, in care se neglijeaza curentul de deplasare si tensiunile induse deci, au inductanta si capacitatea neglijabile.

Se alimenteaza circuitul cu tensiunea sinusoidala

Rezulta, curentul prin rezistor, ca valoare instantanee, se obtine din legea lui Ohm.

=>

=>

Din egalitatea =>=>

=>

In concluzie valoarea efectiva a tensiunii la bornele rezistorului este egala cu produsul dintre rezistenta si valoarea efectiva a curentului

fazele celor doua marimi sunt egale.

Diagramele, fazoriala si liniara, sunt indicate mai jos

b Bobina ideala

Fie o bobina cu N spire situata intr un mediu liniar, alimentata la borne cu tensiunea si parcursa de curentul .Se cer si . Se considera neglijabila rezistenta si capacitatea bobinei in raport cu inductanta L.

Tensiunea electromotoare in bobina este conform inductiei electromagnetice

(5.2.4) ,unde este fluxul bobinei.

Dar =>

Din relatia de echilibru aplicata circuitului , (R=0) rezulta

=>

=> tensiunea la bornele cicuitului pentru

Rezulta

- Valoarea efectiva a tensiunii la borne este

- Marimea se numeste reactanta inductiva a bobinei si se masoara in. Aceasta este direct proportionala cu frecventa si joaca rolul rezistentei din legea lui Ohm.

Faza tensiunii la borne difera de cea a curentului cu

Spunem ca tensiunea bobinei ideale este defazata inaintea curentului cu sau invers, curentul este defazat in urma cu

Aceasta intarziere a curentului in bobina, dupa aplicarea tensiunii la borne, semnifica inmagazinarea energiei in campul magnetic al acesteia.

Diagramele fazoriala si carteziana sunt

c Condensatorul ideal

Se considera un condensator cu capacitatea C (constanta cu un dielectric perfect care prezinta o reizistivitate infinita si ale carui conexiuni sunt lipsite de rezistenta si inductanta. Se aplica la bornele condensatorului tensiunea sinusoidala .

Curentul electric prin circuit este echivalent curentului de deplasare din dielectric definit conform punctului 5.3.2

(5.2.9) => , dar sarcina q de pe armaturile condensatorului se poate scrie =>

=>     (5.2.10)

Marimea, se numeste reactanta capacitiva si se masoara in hmi.

Observatie: Socul de curent la cuplarea bobinei sau condensatorului este generat de faptul ca si nu sunt elemente de circuit reale, care exista in orice moment in circuit. Ele caracterizeaza un fenomen ce se desfasoara in timp.Astfel, ele ating valoarea normala dupa un regim tranzitoriu de ordinul milisecundelor(cu o jumatate de perioada), timp in care bobina are doar rezistenta, iar condensatorul apare ca in scurtcircuit.

(5.2.12)

Rezulta ca, la aplicarea unei tensiuni sinusoidale la bornele unui condensator ideal, valoarea eficace a curentului este egala cu si este defazat cu inaintea tensiunii. Reactanta capacitiva joaca rolul rezistentei din legea lui Ohm si este invers proportionala cu frecventa.

5.3 Circuitul R,L,C serie in regim sinusoidal. Impedanta si admitanta circuitului

Se considera un circuit format din

Un rezistor cu rezistenta R

O bobina cu inductanta L

Un condensator cu capacitatea C.

Acestea sunt legate in serie si sunt alimentate cu tensiunea sinusoidala

Prin cele trei elemente de circuit circula acelasi curent (Legatura in serie care produce caderile de tensiune

;

Tensiunea la borne trebuie sa acopere caderile de tensiune din circuit.

Egalitatea de mai sus este o ecuatie integro diferentiala a curentului din circuit. Cunoscand R;L;C si tensiunea la borne , se pune problema determinarii curentului permanent prin circuit, deci gasirea solutiei particulare a ecuatiei.

Daca R;L si C sunt constante,iar tensiunea la borne este o functie sinusoidala in timp, reuzlta ca fiecare termen din membrul drept al egalitatii trebuie sa fie o functie sinusoidala de timp de aceeasi frecventa.

= (5.3.2)

Se considera pentru curentul i o expresie de forma

urmand deci sa determinam vlaoarea efctiva I si defazajul f

Inlocuim pe"i" in ecuatie, pe care trebuie sa o satisfaca pentru orice valoare a timpului.Astfel, se obtine

Pentru determinarea defazajului dintre tensiunea si curentul i in relatia de mai sus se introduce t

Rezulta

unde este reactanta totala a circuitului.

Din relatia s a determinat defazajul dintre tensiunea si curentul i" in functie dee parametrii R;L;C ai circuitului.

Dupa semnul reactantei X se disting urmatoarele circuite

Circuite cu caracter inductiv, cand X>0 si f>0, aidca curentul este defazat in urma fata de

Circuite cu caracter capacitiv, cand X<0 si f<0, adica curentul este defazat inainte fata de tensiunea

Circuite cu caracter rezistiv , la care X f=0, curentul fiind in faza cu tensiunea.

Pentru determinarea valorii eficace a curentului in circuit, in relatia de echilibru a tensiunilor se introduce

, de unde rezulta .

Dar .

Marimea, se numeste impedanta circuitului.Aceasta se masoara in [ ] si depinde numai de parametrii circuitului R;L;C si pulsatia

Impedanta rezulta ca raportul dintre tensiunea aplicata circuitului si curentul care il strabate.Introducerea notiunii de impedanta in circuitele de curent alternativ este similara cu rezistenta in curent continuu, relatia de mai sus fiind similara cu legea lui Ohm in curent continuu.

Cu ajutorul impedantei se poate exprima simplu relatia dintre tensiunea si curentul la bornele unui dipol pasiv.

De asemenea rezulta si de aici putem reprezenta grafic tiunghiul impedantelor.

Admitanta unui circuit de curent alternativ se noteaza cu Y si se defineste ca fiind inversul impedantei.