Concursul de matematica "Adolf Haimovici" Etapa pe scoala, 19.01.2007 Clasa a XI-a

Concursul de matematica "Adolf Haimovici" Etapa pe scoala, 19.01.2007 Clasa a XI-a

1. Fie M =.

a) Cate elemente are multimea M ?

b) Daca M sa se determine .

c) Cate matrice din multimea M au determinantul egal cu ?

d) Care este matricea din multimea M al carei determinant are valoarea cea mai mare?

e) Care este matricea din multimea M al carei determinant are valoarea cea mai mica?

2. Sa se calculeze determinantii:

, , .

3. Fie functia care satisface conditiile:

a) ,

b) ,

c) pentru orice , fiind o constanta reala.

Se cere:

1) Sa se afle valoarea lui ;

2) Sa se determine si ;

3) Sa se gaseasca expresia functiei ;

4) Sa se calculeze ;

4. a) Sa se calculeze urmatoarele limite:

; ; ; .

b) Sa se stabileasca daca exista limita .

Concursul de matematica "Adolf Haimovici"

Etapa pe scoala, 19.01.2007

Clasa a XII-a

1. Pe multimea se considera legea de compozitie " definita prin relatia , unde semnifica partea intreaga.

a) Sa se arate ca

pentru orice .

b) Sa se intocmeasca tabla legii de compozitie a legii " " pe multimea .

c) Sa se stabileasca daca legea de compozitie " admite element neutru pe multimea .

d) Sa se stabileasca daca legea de compozitie " este comutativa.

e) Sa se arate ca legea de compozitie " nu este asociativa.

f) Sa se rezolve in multimea ecuatia .

2. a) Dati un exemplu de grup cu 4 elemente.

b) Aratati ca daca un grup are proprietatea ca pentru orice fiind elementul neutru al grupului ) atunci este grup abelian.

3. Se considera functiile

si .

Sa se arate ca daca functia este o primitiva a lui atunci functia

este o primitiva a lui .

4. Se considera functia .

a) Sa se calculeze .

b) Sa se arate ca C .

b) Sa se determine .