Inegalitati fundamentale in triunghi

Inegalitati fundamentale     in triunghi

Definitia II.1.1: Spunem ca segmentul [AB] este mai mic decat segmentul [CD] daca masura segmentului [AB] este mai mica decat masura segmentului [CD] si scriem [AB]<[CD] daca AB<CD sau daca AB<CD (fig. II.1.1) .

Definitia II.1.2: Spunem ca este mai mic decat daca masura unghiului este mai mica decat masura unghiului si scriem: daca (fig. II.1.2)

fig.II.1.1

fig.II.1.2

Definitia II.1.3: Un unghi se numeste exterior al unui triunghi daca este adiacent cu unul dintre unghiurile triunghiului si suplementar cu el.

fig.II.1.3

In fig.II.1.3; (BN si (BC sunt semidrepte opuse, unghiurile si sunt adiacente si suplementare, iar este unghi al triunghiului, deci unghiul este unghi exterior triunghiului ABC.

De asemenea, unghiurile , , , , sunt unghiuri exterioare triunghiului ABC.

Teorema II.1.1: (Teorema unghiului exterior).

Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decat oricare dintre unghiurile triunghiului, neadiacent cu acel unghi.

Demonstratie:

Fie triunghiul ABC (fig.II.1.4). Unghiurile si sunt exterioare triunghiului ABC, unde . Se va arata ca: .

Fie D mijlocul segmentului (AC) si

astfel incat .

Punctele E si M sunt de aceeasi

parte a dreptei AC, iar E si D sunt

de aceeasi parte

a dreptei AM, deci .

Rezulta ca: .

Dar

(unghiuri opuse la varf) si

rezulta ca (cazul L.U.L.)

De aici obtinem si, fig.II.1.4

tinand cont ca , deducem ca adica .

Se va arata acum ca .

Fie P mijlocul segmentului (AB) si

astfel incat (fig.II.1.5).

Punctele Q si N sunt de aceeasi parte

a dreptei AB, iar Q si P de aceeasi

parte a dreptei AN. Deci

rezulta ca .

Dar si

ceea ce implica congruenta

triunghiului APQ cu triunghiul BPC.

fig.II.1.5

De aici rezulta ca dar prin urmare avem adica

Cum (opuse la varf) obtinem . Deci am demonstrat ca si .

Teorema II.1.2:Intr-un triunghi cu doua laturi necongruente, laturii cu lungimea mai mare i se opune unghiul cu masura cea mai mare.

Demonstratie:

Fie triunghiul ABC cu AC>AB (fig.II.1.6).

Se considera punctul astfel

incat . Atunci triunghiul ABD

este triunghi isoscel si .

Dar este unghi exterior triunghiului

BDC si folosind teorema II.1.1 obtinem ca

. Rezulta ca

iar cum avem si

deci Prin urmare,

ceea ce implica .

fig.II.1.6

Teorema II.1.3:

Intr-un triunghi cu doua unghiuri necongruente, unghiului cu masura mai mare i se opune latura cu lungimea mai mare.

Demonstratie:

Fie triunghiul ABC cu

(fig.II.1.7). Se va demonstra ca AC>AB.

Consideram punctul astfel incat

. Deci triunghiul ABD este isoscel,

de unde rezulta ca .

Dar

.

Deci . Prin urmare,

ceea ce implica AD<AC si cum

obtinem AB<AC. fig.II.1.7

Observatie: In demonstratie s-a tinut cont ca in triunghiul ABC avem si

Teorema II.1.4:

Intr-un triunghi dreptunghic, lungimea ipotenuzei este

mai mare decat lungimea oricarei catete.

Demonstratie:

Fie triunghiul ABC in care

(fig.II.1.8). Cum tinand

cont de teorema II.1.3 obtinem BC>AB si BC>AC.

fig.II.1.8

Teorema II.1.5:

Fie o dreapta d inclusa intr-un plan si un punct astfel incat . Daca notam cu proiectia punctului M pe dreapta d atunci pentru orice are loc relatia .

Demonstratie:

Fie si , astfel incat

astfel incat

si . Se formeaza triunghiul

dreptunghic cu (fig.II.1.9).

Conform teoremei II.1.4, obtinem.

fig.II.1.9

Definitia II.1.4: Se numeste distanta de la un punct la o dreapta, careia nu ii apartine, cea mai mica distanta dintre acel punct si punctele dreptei.

Observatie: Din cele de mai sus rezulta ca distanta de la un punct la o dreapta este distanta dintre acel punct si piciorul perpendicularei duse din acel punct la acea dreapta si se noteaza:

si astfel incat .

Teorema II.1.6:

Dintre doua oblice duse dintr-un punct pe aceeasi dreapta, cea mai indepartata de piciorul perpendicularei duse din acel punct are lungimea cea mai mare.

Demonstratie:

Fie o dreapta d inclusa intr-un plan , astfel incat si .

Cazul a): A se afla intre si B (fig.II.1.10).

Deoarece este unghi exterior

avem:

Prin urmare, si in

si utilizand

teorema II.1.3 obtinem MB>MA.

fig.II.1.10

Cazul b): se afla intre A si B (fig.II.1.11)

Consideram cazul in care . Fie astfel incat .

Triunghiurile sunt triunghiuri congruente si deci Utilizand cazul a) obtinem:

fig.II.1.11

Teorema II.1.7:

Suma lungimilor a doua laturi ale unui triunghi este mai mare decat lungimea celei de-a treia laturi.

Demonstratie:

fig.II.1.12 fig.II.1.13 fig.II.1.14

Cazul 1. Fie triunghiul ABC si astfel incat . Presupunem ca si sunt unghiuri ascutite (fig.II.1.12).

Prin urmare, punctul , astfel incat . In triunghiul ADB, iar in triunghiul ADC, , utilizand teorema II.1.3, deducem ca si , ceea ce implica: adica .

Caz 2. Presupunem ca (fig.II.1.13). Tinand cont de teorema II.1.3 avem in triunghiul ABC. Prin urmare .

Caz 3. Presupunem ca (fig.II.1.14). Utilizand teorema II.1.3, obtinem si, deci

Teorema II.1.8:

Se considera triunghiurile si astfel incat si . In aceste conditii, daca atunci .

Demonstratie:

fig.II.1.15 fig.II.1.16

Construim punctul D in semiplanul lui C, fata de AB, astfel incat triunghiurile si ABD sa fie congruente (cazul L.L.L.: ) (fig.II.1.16).

Din ipoteza de unde rezulta ca triunghiul ACD este isoscel si . Deci si bisectoarea va fi situata in interiorul unghiului . Prin urmare, aceasta va intersecta segmentul (BC) intr-un punct E si . Rezulta ca dar in triunghiul BED avem conform teoremei II.1.7 si deci de unde obtinem .

Corolar II.1.8: Daca triunghiurile si au si atunci .

Demonstratie:

Presupunem, prin absurd, ca in conditiile din ipoteza vom avea .

Cazul 1. Daca tinand cont ca si deducem ca triunghiurile si sunt congruente, de unde ceea ce contrazice ipoteza.

Cazul 2. Daca si avand in vedere faptul ca iar conform teoremei II.1.7 obtinem ceea ce contrazice ipoteza. Prin urmare, ramane adevarata doar situatia .

Teorema II.1.9: (A doua teorema a lui Grelu)

Punctul lui Lemaine este punctul pentru care suma patratelor distantelor la laturile triunghiului este minima.

Demonstratie:

Fie si un punct M situat in

interiorul triunghiului (fig.II.1.7)

Notam cu a=BC; B=AC; c=AB si cu

x=d(M;CB); y=d(M;AC); z=d(M;AB).

Din inegalitatea

Cauchy-Buniakowsky-Schwartz, se

obtine:     fig.II.1.17

dar , minimul

obtinandu-se cand , dar egalitatea in inegalitatea Cauchy-Buniakowsky-Schwartz se atinge cand , deci cand m este punctul lui Lemaine.

Observatie: Punctul de concurenta a simedienelor (simetricele medianelor fata de bisectoare) se numeste punctul lui Lemaine al triunghiului.

Reamintim cateva identitati necesare in demonstrarea teoremei urmatoare enuntate de Svetoslav J. Bilchev si Emilia A Velikova in articolul: "ON A CERTAIN TRIANGLE TRANFORMATION AND SOME OF ITS APLICATIONS" - RAD IUGOSLAV AKAD YUAM UMJ, MAT[450], 9(1990), 69-76 dar care vor fi utile si in redactarea solutiilor aplicatiilor ce vor urma:

Fie un triunghi ABC in care notam cu a, b, c, S, r, R, r_a, r_b, r_c, lungimile laturilor BC, AC, AB, semiperimetrul triunghiului ABC, aria triunghiului ABC, lungimea razei cercului inscris in triunghiul ABC si respectiv, lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC si lungimile razelor exinscrise. Au loc urmatoarele relatii:

II.1.1.1 si analoagele.

II.1.1.2 formula lui Heron.

II.1.1.3 .

II.1.1.4 .

II.1.1.5 .

II.1.1.6 .

II.1.1.7 .

II.1.1.8 .

II.1.1.9 .

II.1.1.10 .

II.1.1.11 .

II.1.1.12 .

II.1.1.13 .

II.1.1.14 .

II.1.1.15 .

Demonstratie II.1.1.1:

Din teorema cosinusului avem: dar ceea ce conduce la: pe de alta parte avem: de unde obtinem:

Demonstratie II.1.1.2:

Se stie ca aria unui triunghi se poate calcula

cu formula:

Demonstratie II.1.1.3:

Notam cu i punctul de intersectie al

bisectoarelor triunghiului ABC (fig.II.1.18).

Inaltimile triunghiurilor AIB, AIC si BIC sunt

egale cu r si deci:

Demonstratie II.1.1.4:

Din teorema sinusurilor, .

Deci . fig.II.1.18

Demonstratie II.1.1.5:

Se stie ca aria unui triunghi se poate calcula cu ajutorul a uneia din formulele:

iar din teorema sinusurilor, deducem ca .

Prin urmare, ceea ce implica: si deci .

Demonstratie II.1.1.6:

Din formula lui Heron, deducem: dar de unde rezulta:

si deci:

.

Obtinem: si utilizand identitatea precedenta, deducem:

.

Demonstratie II.1.1.7:

Avem: si inlocuind in II.1.1.6 obtinem: .

Demonstratie II.1.1.8:

Din identitatea: deducem, tinand seama de identitatile demonstrate anterior ca:

.

Demonstratie II.1.1.9:

Avem:

.

Demonstratie II.1.1.10:

Avem:

. Prin urmare, .

Demonstratie II.1.1.11:

Avem:

si deci .

Demonstratie II.1.1.12:c

Avem:

ceea ce implica: . In mod analog,

. Inmultind cele trei relatii, obtinem:

, de unde rezulta: . Cum si

relatia precedenta devine: care este echivalenta cu: de unde rezulta .

Demonstratie II.1.1.13:

Am demonstrat anterior ca: ceea ce conduce la:

.

Demonstratie II.1.1.14:

. Obtinem: deci .

Demonstratie II.1.1.15:

.