PUTERI SI RADICALI

PUTERI SI RADICALI

Puteri cu exponent natural:

Ø       aⁿ unde aI|R, nI|N;

Ø       a⁰=1;

Ø       a¹=a;

Ø       aⁿ = ;

Ø       a – baza puterii;

Ø       n – exponentul puterii;

Ø       (ab)ⁿ=aⁿbⁿ, 'a,bI|R, nI|N^*;

Ø       (a^m)ⁿ=a^mn, 'aI|R, m,nI|N^*;

Ø       a^m×aⁿ=a^m+n, 'aI|R, m,nI|N^*;

Ø       , b¹0, 'a,bI|R, nI|N^*;

Ø       , 'aI|R^*, m,nI|N^*, m>n.

Puteri cu exponent intreg negativ:

Ø       a^-n= unde aI|R^*, nI|N;

Ø       restul proprietatilor se pastreaza.

Puteri cu exponent rational pozitiv:

Ø       , a≥0, Iℚ₊;

Ø       , a≥0, ,Iℚ₊;

Ø       , a,b≥0, Iℚ₊;

Ø       , a≥0, b>0,  Iℚ₊;

Ø       , a≥0, , Iℚ₊;

Ø       , a>0,  ,Iℚ₊, >.

Puteri cu exponent rational negativ:

Ø       , a>0, Iℚ₊;

Ø       restul proprietatilor se pastreaza.

Functia putere cu exponent natural nenul:

Ø       f(x)=xⁿ,  f:|R®|R, nI|N^*;

Ø       monotonia: ;

Ø       paritate: ;

Ø       semn: .

Functia putere cu exponent intreg negativ:

Ø       f(x)=x^-n,  f:|R-®|R, nI|N^*;

Ø       monotonia: ;

Ø       paritate: ;

Ø       semn: .

Functia putere cu exponent rational:

Ø       f(x)==,  f:(0, ¥) →(0, ¥), Iℚ^*;

Ø       daca >0 ⇒ f strict crescatoare;

Ø        daca <0 ⇒ f strict descrescatoare.

Radicalul unui numar pozitiv:

Ø       ecuatia xⁿ-a=0 (nI|N, n³2, aI|R, a>0) are o singura radacina reala pozitiva;

Ø       daca a>0, nI|N, n³2 se numeste radical de ordin n din a, numarul pozitiv a carui putere a n-a este a;

Ø       notatie x=;

Ø       notatie =;

Ø       =0;

Ø       ;

Radicalul de ordin impar al unui numar negativ:

Ø       ecuatia xⁿ-a=0 (nI|N, n³2, n impar, aI|R, a<0) are o singura radacina reala negativa;

Ø       daca a<0, nI|N, n³2, n impar, se numeste radical de ordin n din a, numarul negativ a carui putere a n-a este a;

Ø       notatie x==;

Proprietatile radicalilor: ' m, n, kIℕ^*, m, n, k≥2

Ø       P1)  , 'a,b≥0;

Ø       P2)    , ' a≥0, b>0;

Ø       P3)  , ' a≥0;

Ø       P4)  ()^m =,' a≥0;

Ø       P5)  =,' a≥0;

Ø       P6)  ,' a≥0.

Operatii cu radicali:

1.       scoaterea unui factor de sub semnul radical: se descompune numarul de sub radical in factori, se aplica proprietatile 1, 3 si 5;

2.       introducerea unui factor sub semnul radical: se utilizeaza proprietatile 1, 3 si 5;

3.       inmultirea radicalilor de acelasi ordin sau ordine diferite: se utilizeaza proprietatea 1 si 5;

Ø       , a₁, a₂, …, a_k≥0;

Ø       , a, b≥0;

4.       impartirea radicalilor de acelasi ordin sau ordine diferite: se utilizeaza proprietatile 2 si 5;

Ø       , ' a≥0, b>0;

Ø       , ' a≥0, b>0;

5.       rationalizarea numitorilor:

Ø       operatia de eliminare a radicalilor de la numitorul fractiilor;

Ø       expresii conjugate:  - expresii cu radicali care prin inmultire dau o expresie fara radicali;

-   ,  a, b≥0;

-   ,  a, b≥0;

-   ,  a, b≥0;

-   ,  a, b≥0, n impar;

Functia radical:

Ø       f(x)= , f:[0, ¥)®[0, ¥), nI|N, n³2;

Ø       monotonia: f strict crescatoare pe [0, ¥);

Ø       f(x)³0 'xI[0, ¥);

Ø       functia este bijectiva;

Ø       inversa ei este functia putere.

Ø       f(x)= , f:|R®|R, nI|N, n³2, n impar;

Ecuatii irationale:

Ø       ecuatii care contin necunoscuta sub semnul radical;

Ø       rezolvarea consta in eliminarea radicalilor prin diferite transformari (ridicari la putere = cu ordinul radicalului, inmultire cu expresia conjugata), reducandu-le la ecuatii studiate;

Ø       conditii de existenta numai pentru radicali de ordin par : f(x)≥0 unde f(x) este o expresie in functie de x;