Metoda Leverrier

Metoda Leverrier

Fie

det (λE - A) =

polinomul caracteristic cu semn schimbat al matricii A si λ₁, λ₂, ., λ_n radacinile sale.

Notam

(3.10)

Pentru k ≤ n avem formulele lui Newton:

(3.11)

Deci particularizand avem:

(k = 1)

(k = 2)

(3.12)

(k = n).

Dar s₁, s₂, ., s_n sunt cunoscuti (din (3.10)) iar formulele (3.12) ne permit sa aflam succesiv p₁, ., p_n.

Sumele s₁, s₂, ., s_n se calculeaza astfel

. . . . . . . . . . .

unde .

In aceste conditii putem elabora urmatorul algoritm:

1. se calculeaza puterile matricii A, respectiv A^k ;

2. se calculeaza ;

3. se determina p_i cu formulele (3.12).

Exemplu 3.3.1 Fie matricea

Puterile sale vor fi

,

Deci avem:

Deci:

Programul pentru metoda Leverrier

Programul prezentat determina puterile matricii A, urmele acestora si, folosind formulele Newton, coeficientii polinomului caracteristic.

Datele de intrare sunt: dimensiunea si elementele matricii.

# include <math .h>

# include <conio .h>

# include <iostream .h>

int n, i, j, k, m;

double a[10][10], b[10][10], c[10][10], p[10], s[10];

void main (void)

s[1] = 0.0;

for( i = 1; i <= n; i++)

s[1] + = b[i][i];

p[1] = - s[1];

for( m = 2; m <= n; m++)

for( i = 1; i <= n; i++)

for( j = 1; j <= n; j++)

b[i][j] = c[i][j];

s[m] = 0.0;

for( i = 1; i <= n; i++)

s[m] + = b[i][i];

p[m] = s[m];

for( i = 1; i <= m; i++)

p[m] + = p[i]*s[m-i];

p[m] / = - m;}

cout<<"Coeficientii polinomului caracteristic:"<<endl;

for( i = 1; i <= n; i++)

cout<<"p["<<i<<"]="<<setw(10)<<p[i]<<endl;

getch ( );

}