Operatii logice elementare

Operatii logice elementare

Pentru a intelege logica trebuie sa examinam, in primul rand, cum sunt formalizate propozitiile logice si matematice. Conectorii logici formeaza elementele de baza ale unei astfel de formalizari, asa cum se poate vedea din exemplele urmatoare.

Conjunctia este formalizata prin . Sa presupunem ca stim urmatoarele doua proprietati ale unui anume numar x:

p: x>

q: x<

Atunci stim despre x ca este mai mare decat 3 si mai mic decat 10. Cu alte cuvinte, cunoastem propozitia: p q unde conectorul logic corespunde conjunctiei gramaticale “si”. Propozitia p q indica faptul ca “x > si x < 10”, ceea ce inseamna “3 < x <

Negatia este formalizata cu ajutorul simbolului . De exemplu, sa consideram propozitia:

r: 50 este divizibil cu 7.

r inseamna in acest caz: “50 nu este divizibil cu 7” .

Disjunctia este reprezentata prin simbolul . Daca s si t sunt propozitiile:

s 60 este multiplu de 6

t 60 este multiplu de 5

Atunci propozitia: s t spune ca “60 este multiplu de 6 sau 60 este multiplu de 5”. Simbolul nu este exculsiv, deoarece 60 este atat multiplul lui 6 cat si al lui 5, asa cum 60 este si un multiplu al lui 20, desi acest fapt nu se mentioneaza in propozitiile D sau E.

Implicatia “daca … atunci…” este reprezentata in logica prin “→”. Daca u si v sunt propozitiile:

u: numarul a este un multiplu de 10

v: numarul a este multiplu de 5

atunci propozitia u v spune ca “daca a este multiplu de 10, atunci este multiplu de 5”.

“Daca … si numai daca …” se reprezinta prin simbolul de echivalenta “↔”. De exemplu, daca w si z sunt propozitiile:

w: 16 este multiplu de 2

z 16 este numar par

Atunci putem scrie formal: w ↔ z.

Exista, de asemenea, diverse tipuri de propozitii. De exemplu:

- Propozitii cum ar fi: “6 este multiplu de 6” sau “7 este mumar prim” sau
“ un numar rational este egal cu 0 sau este diferit de 0” sunt propozitii “bune”, adica “corecte”.

- Propozitii ca: “50 este un numar impar” sau “50 este divizibil cu 7” sau “daca x = 3 atunci x = 5” sunt propozitii “gresite“ sau “eronate”.

- In timp ce propozitii cum ar fi: “Acum ploua” sau “Imi este foame” sau “x este egal cu valoarea sa absoluta” sunt in anumite cazuri propozitii “corecte”, iar in alte cazuri sunt “eronate”.   

Pentru orice propozitie p, definim valoarea ei logicǎ v(p) prin:

Deci, o propozitie p este perfect determinatǎ dacǎ ii cunoastem valoarea logicǎ v(p).

Dacǎ p, q sunt douǎ propozitii oarecare, atunci:

Conjunctia lor p q este propozitia “p si q”, iar valoarea ei de adevǎr este datǎ de

Cu alte cuvinte, v(p q) = 1 dacǎ si numai dacǎ v(p) = 1 si v(q) = 1.

Disjunctia p q a propozitiilor p, q este propozitia “p sau q”, iar valoarea ei logicǎ este definitǎ prin:

v(p q) = 1 dacǎ si numai dacǎ v(p) = 1 sau v(q) = 1.

Negatia p a unei propozitii p are urmǎtoarea valoare de adevǎr:

Date fiind douǎ propozitii p, q:

Implicatia este propozitia “p implicǎ q” a cǎrei valoare de adevǎr este:

Echivalenta a douǎ propozitii p, q este propozitia “p echivalent cu q” a cǎrei valoare de adevǎr este datǎ de:

v(p q) = 1 dacǎ si numai dacǎ v(p) = v(q).

Aceste definitii pot fi concentrate in urmǎtoarele tabele de adevǎr.

Conjunctia Disjunctia

Implicatia Echivalenta

Negatia