PROBLEME DE MINIM SAU DE MAXIM

SESIUNEA DE REFERATE STIINTIFICE

EDITIA A VII-A

25-APRILIE-2009

REFERAT

PROBLEME DE MINIM SAU DE MAXIM

Rezumat

Numeroase probleme de matematica,fizica,astrofizica ,precum si cele ce prezinta un interes deosebit in practica ,opereaza cu marimi variabile pentru care in anumite conditii se cere sa se afle cea mai mica sau cea mai mare valoare.

Problemele de minim sau maxim sunt printre cele mai frumoase si interesante probleme abordate de matematica.O parte din aceastea pot fi solutionate elementar ,dar cele mai multe necesita cunostinte solide din teoria optimizarii functiilor.

Cu ajutorul minimului sau maximului trinomului de gradul al doilea am determinat aria unui paralelogram ABCD pe laturile caruia au fost luate punctele M,N,P,Q la egala distanta fata de A,B,C,respectiv D sau am gasit doua numere reale a caror diferenta se cunoaste si al caror produs este minim.In continuare am determinat punctele de extrem local ale unei functii si am gasit un punct M astfel incat pentru n puncte M₁,M₂,.,M_n, sumasa fie minima.

La punctul 2 am rezolvat diverse probleme in carea am determinat maximul produsului a doua numere reale pentru suma constanta , de exemplu maximul functiei reale f(x)=(24 - 6x + x)(4 + 6x - x) si demonstrarea ca dintre toate dreptunghiurile de acelasi perimetru,patratul are aria maxima.

Minimul sumei pentru produs constant ne ajuta sa determinam minimul functiei definite pe.

O alta aplicatie poate fi inegalitatea dintre media aritmetica,media geometrica si media armonica .

Ultimul tip propus in acest material se refera la minimele si maximele trigonometrice si geometrice in care am prezentat unele dintre cele mai interesante probleme :

Dintre toate triunghiurile ce se pot circumscrie unui cerc de raza r , sa se determine triunghiul de arie minima,

Dintre toate patrulaterele convexe ce se pot forma cu patru segmente date , cel inscriptibil (daca exista) are aria maxima

si altele.

Probleme de minim sau maxim

Numeroase probleme de matematica,fizica,astrofizica ,precum si cele ce prezinta un interes deosebit in practica ,opereaza cu marimi variabile pentru care in anumite conditii se cere sa se afle cea mai mica sau cea mai mare valoare.

Problemele de minim sau maxim sunt printre cele mai frumoase si interesante probleme abordate de matematica.O parte din aceastea pot fi solutionate elementar ,dar cele mai multe necesita cunostinte solide din teoria optimizarii functiilor.

1.Minimul sau maximul trinomului de gradul al doilea:

Fie trinomul realcare are forma canonica,unde este discriminant,functia x→P(x) isi atinge valorile extreme odata cu functia .

Astfel daca a>0 si ,daca a<0.

se numeste varful parabolei asociate functiei de gradul al doilea :R→R, .

Exemple:

1. Pe laturile dreptunghiului ABCD,AB=a ,BC=b, sunt luate punctele M,N,P,Q, a.i. AM=BN=CP=DQ=x .

Sa se afle aria paralelogramului MNPQ cand x variaza.

Solutie:   

a>0,deci .

.

Pentru.

2. Diferenta a doua numere reale este α .Care sunt aceste numere daca produsul lor este minim?

Solutie:

Fie x si numerele =>P(x)=x(x+α) =x+x α ,este minim pentru

Deci numerele sunt adica

3. Sa se afle multimea valorilor functiei si sa se precizeze punctele de extrem local ale lui.

Solutie:

f(x)=y,

2.

puncte de maxim local ; x

Observatie:

Metoda poate fi folosita pentru toate functiile de forma

4. Pe o axa data consideram n puncte fixe de abcise

Determinati pe aceasta axa un punct M de abcisa x astfel ca sumasa fie minima.

Solutie:

Atunci

minima pentru

2. Maximul produsului pentru suma constanta

Fie variabile pentru careconstant.Atunci sau(variabil).   

3.

creste(descreste) cand descreste(creste).

P este maxim <=> α=0 ,adica, deci oricare ar fi x ≠ y , ∙ ≥ x ∙ y .

Exemple :

Dintre toate dreptunghiurile de acelasi perimetru P , patratul are aria maxima.

Solutie :

Fie L lungimea

l latimea dreptungiului

Observatie :

Analog,dintre toate paralelipipedele cu suma lungimilor tuturor muchiilor constanta,cubul are volumul maxim .

Doua fete concentratesiale caror directii fac un unghi de 60۫ au variabile cu suma de 2N. Sa se gaseasca aceste forte astfel incat rezultanta lor sa aiba marimea minima.

4.

cand maxim

3. Sa se afle maximul functiei reale f(x (24 - 6x + x)(4 + 6x - x)

Solutie:

Fie a = 24 - 6x + x

b = 4 + 6x - x

Observam ca a + b = 28 = constanta = S

se realizeaza daca

au solutii complexe

Sa se determine maximul functiei f(x)=(3x - 1)(4 - 2x)(1 - 2x) , x

Solutie:

f continua si derivabila pe (

=>f(x)=

f '(x) = 0

punct de maxim global al lui f .

5.

max f(x) = f

Sa se determine cilindrul de volum maxim care se poate inscrie intr-un con dat.

Solutie:

Miniumul sumei pentru produs constant

Fie n nr. reale pozitivepentru careconstant ; suma S=este minima numai cand

Daca ,atunci S =

P.p ca exista o valoare min S = So <,valoareafiind atinsa de exemplu pentru fals pentru ca P = const.

Analog putem demonstra ca min S nu poate fi mai mare decat =>S = atinsa    pentru

6.

Exemple

Dintre toate dreptunghiurile de arie alba patratul are perimetrul minim

Solutie

minima L + l.

Observatie : Dintre toate paralepipedele de volum dat cubul are suma lungimilor tuturor muchiilor minima.

Sa se afle minimul functiei definite pe.

Solutie:

minima atunci cand

4. Inegalitati dintre media aritmetica,media geometrica si media armonica

Fie

Atunci:egalitatile avand loc

Daca notam

Daca notam

7.

Exemplu

Sa se determine conditiile in care se realizeaza minimul functiei f : ( 0 , ∞ ) → R

f(x) =.

Solutie:

5. Minim si maxim trigonometrice si geometrice

1) Fie[0, π]. Daca= S = const ≤ π.

este maxim numai cand unghiurile .

Solutie:

Observatie : Propietatea se poate generalize.

8.

Dacaeste maxim numai cand (daca acest lucru este posibil).

Se da E = sinα + sinβ + sinγ , unde α β γ sunt masurile in radiani ale unghiurilor unui triunghi oarecare.Sa se determine triunghiul pentru care E are valoarea maxima .

Solutie :

E = sinα + sinβ + sin[π α β)] = 2sin cos + sin (α β

= 2sincos + 2sincos=

= 2sin(cos+ cos) =

= 2sin2cos cos =

= 4sin cos cos =

= 4sin cos cos =

= 4cos cos cos γ

= 4sin sin sin

atins numai pentru triunghi echilateral .

Dintre toate triunghiurile ce se pot circumscrie unui cerc de raza r , sa se determine triunghiul de arie minima.

Solutie:

9.

S este minima cand tgtgtg este minima

,deoarece

.

Dintre toate patrulaterele convexe ce se pot forma cu patru segmente date , cel inscriptibil (daca exista) are aria maxima.

Solutie:

Daca AB=a,BC=b,CD=c,DA=d

10.

Deci Seste maxim,adica ABCD patrulater inscriptibil

.

11.

Bibliografie

Dumitru Busneag,Jian Maftei : Teme pentru cercurile si concursurile de matematica ale elevilor,Suisul Romanesc,Craiova 1983

T. Albu,I. Ionescu : Principiul includerii si al excluderii(G.M. nr.6 1969)

Seria Gazeta Matematica.