Analytická geometrie

§2.1 úvod

Příklad1: GEM řešte homogenní SLR :

Řešení

= Þh(A) = h() = 2 < n

Þ soustava má nekonečně mnoho řešení, která jsou závislá na volbě (n h) parametrů. V tomto případě 4 2 = 2, čili 2 parametry.

Položíme x₄ = s, x₃ = r Þ x₂ =  8r+9s a x₁ =  6r+5s.

To je kde r,sIR.

Je zřejmé, že každé řešení homogenní soustavy je LK vektorů a neboli I (tj. je prvkem lineárního obalu těchto vektorů).

Příklad2: GEM řešte SLR :

Řešení

= Þh(A) = h() = 2 < n

Þ soustava má nekonečně mnoho řešení, která jsou závislá na volbě 2 parametrů. Položíme x₄ = s, x₃ = r Þ x₂ =  8r+9s a x₁ =  6r+5s.

To je kde r,sIR.

Porovnáním tohoto výsledku s výsledkem předchozího příkladu zjistíme, že v obecném řešení soustavy je navíc vektor . Tento vektor představuje partikulární řešení soustavy (tj. jedno konkrétně zvolené řešení soustavy, např. ).

§2.2 geometrické interpretace

S využitím SLR lze řešit geometrické úlohy. V analytické geometrii se po zavedení soustavy souřadnic nahrazují geometrické pojmy algebraickými s cílem řešit geometrické úlohy algebraickou cestou (výpočtem).

Označme (n-krát) množinu všech uspořádaných n‑tic reálných čísel. Prvky této množiny budeme nazývat body, množině budeme říkat euklidovský prostor dimenze n. Body budeme značit velkými písmeny a zapisovat je v hranatých závorkách. Např.

A =

je bod n-rozměrného euklidovského prostoru . Reálným číslům budeme říkat souřadnice bodu A. Uspořádané n‑tice reálných čísel mají tedy dva významy. Chápeme je jednak jako aritmetické vektory z (nadále je budeme zapisovat v kulatých závorkách, např.  = ) , a jednak jako body z .

Vztah mezi nimi definujeme :

Jiný zápis je

X = P + 

a můžeme si relaci představit jako posunutí bodu P do bodu X o vektor .

Příklad: Bodu z a vektoru  =  z odpovídá podle bodově-vektorové relace bod z .

Dále v definujeme

Příklad1: Vypočtěte velikost vektoru z .

Řešení

Příklad2: Určete vzdálenost bodů A = a B = z .

Řešení Vzdálenost bodů A, B je délka vektoru  = ,

vzd(A,B) = ==.

Příklad: Určete úhel vektorů a z .

Řešení

cos j ==== Þ j = = 60°.

Poznámka1 j =  (vektory jsou kolmé) Þ skalární součin se rovná nule.

Poznámka2: Dva vektory , se nazývají kolineární (rovnoběžné s jednou přímkou), jestliže platí: =k., kde kIR.

Poznámka3: Tři vektory ,, se nazývají komplanární (rovnoběžné s jednou rovinou), jestliže aspoň jeden z nich je LK ostatních dvou.

§2.3 Lineární podprostory vnořené do

Poznámka: Bod P se nazývá počátek lineárního podprostoru ( LP ), reálným číslům t_i říkáme parametry, LN vektory ,,…,  jsou směrové vektory LP. Lineární obal vektorů ,,…,  , tj. tvoří vektorový prostor, kterému říkáme zaměření LP.

Říkáme bodově-vektorová rovnice LP a můžeme ji také zapsat

X = P  +  

Přímka

LP dimenze 1 vnořený do se nazývá přímka v . Přímka p daná počátkem P = a směrovým vektorem  =  je tedy množina bodů X, pro které platí :

p: X = P + t tIR,

Rozepsáním této bodově-vektorové rovnice pomocí souřadnic dostaneme parametrické rovnice přímky p :

Lineární obal <> = t je zaměřením přímky p.

Příklad: Máme rozhodnout, zda bod Q = leží na přímce p dané počátkem P = a směrovým vektorem  = .

Řešení: Přímka má bodově-vektorovou rovnici

p: X = + t tIR,

Bod Q leží na přímce, jestliže tIR takové, že

Řešení této soustavy je . Bod Q proto leží na přímce.

Poznámka: Pro  = B   A  (přímka určená body A, B) dostaneme

X = A + t (B A) tIR,

Pokud tI< > je to rovnice úsečky AB .

Vzájemná poloha dvou přímek

Uvažujme v    přímky  p, q

p: X₁ = P + r 

q:  X₂ = Q + s 

a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů  r, s, které dosazeny do uvedených rovnic určí bod  X₁ = X₂. Pro  r, s dostáváme rovnici

r    s = Q   P

Rozepíšeme ji po složkách a dostaneme

ra₁   sb₁ = q₁   p₁

ra_n   sb_n = q_n   p_n

soustavu n rovnic o neznámých  r, s. Pro přímky  p, q  pak nastane jedna z možností:

Soustava má řešení a vektory  ,   jsou LZ (h(A) = h() = 1). Přímky  p, q  jsou totožné.

Soustava nemá žádné řešení a vektory  , jsou LZ (h(A) = 1, h() = 2). Přímky  p, q  jsou rovnoběžné.

Soustava má právě jedno řešení a vektory  ,   jsou LN (h(A) = h() = 2). Přímky  p, q  jsou různoběžné.

Soustava nemá žádné řešení a vektory  ,   jsou LN (h(A) = 2, h() = 3). Přímky  p, q  jsou mimoběžné. (jenom pro n >

Příklad: Rozhodněte o vzájemné poloze přímek v .

p: X₁ = P + r

q:  X₂ = Q + s

jestliže

a)          P = ,  = , Q = ,  = 

b)          P = ,  = , Q = ,  = .

Řešení

a)          Protože   =  3, jsou vektory  , lineárně závislé. Přímky  p, q  jsou tedy rovnoběžné, musíme však zjistit, zda totožné nebo různé. Soustava rovnic má tvar

3r + 9s =  10

r + 3s  =  2

r   3s = 

Þ h(A) ¹ h() 

Soustava nemá řešení a tedy přímky  p, q jsou rovnoběžné.

b)          Vektory , jsou lineárně nezávislé. Přímky  p, q  jsou různoběžky nebo mimoběžky. Nyní budeme řešit soustavu rovnic

3r     s = 

2r   2s = 

  r   3s = 

Þh(A) = h() = 2 = n

Soustava má jediné řešení   s = 1, r =  2. Existuje tedy jediný průsečík přímek  p, q, bod  R = Q + s  = P + r  = . Přímky  p, q  jsou různoběžné.

Rovina

LP dimenze 2 vnořený do se nazývá rovina v . Rovina r daná počátkem P = a směrovými vektory  =  a  =  je tedy množina bodů X, pro které platí :

r X = P + t + u t,uIR,

Rozepsáním této bodově-vektorové rovnice pomocí souřadnic dostaneme parametrické rovnice roviny r

Lineární obal <,> = t + u je zaměřením roviny r

Příklad: Určete parametrické rovnice roviny  r, procházející body  A = , B =  a C = .

Řešení : Jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme r

Volbou   = B   A = ,  = C   A =  sestrojíme její směrové vektory (jsou LN) a dostaneme bodově‑vektorovou rovnici roviny

r X = A + r + s =  + r  + s

a dále parametrické rovnice

x  =  1      2s

y  =  1 + r + 2s

z  =  1           s

Nadrovina

LP dimenze n   1 vnořený do se nazývá nadrovina v .

Poznámka: V trojrozměrném prostoru () je nadrovinou právě rovina, v rovině () je nadrovinou přímka, atd.

Vzájemná poloha lineárních podprostorů

Nechť lineární podprostor r_h má zaměření V_h a dimenzi h, podprostor r_k má zaměření V_k a dimenzi k, a nechť h ³ k . Potom :

Podprostory r_k a r_h jsou rovnoběžné, jestliže V_k Ì V_h . Pokud r_k r_h ¹ Æ jsou rovnoběžné incidentní , jinak rovnoběžné neincidentní ( r_k r_h Æ

Podprostory r_k a r_h jsou různoběžné, nejsou-li rovnoběžné a jejich průnik není prázdný tj. r_k r_h ¹ Æ

Podprostory r_k a r_h jsou mimoběžné, nejsou-li rovnoběžné a jejich průnik je prázdný tj. r_k r_h Æ

Praktický výpočet

Uvažujme v    lineární podprostory:

X = P   +   t₁ + t₂ …+ t_h,

Y = Q  +  u₁ + u₂ …+ u_k,

kde dimenze h ³ k a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů, které dosazeny do uvedených rovnic určí body  X = Y. Dostáváme rovnici

t₁ …+ t_h  u₁ u_k= Q   P

Rozepíšeme ji po složkách a dostaneme soustavu n rovnic o (h + k) neznámých. Početně určíme vzájemnou polohu tak, že řešíme .

Je‑li hod(A) = h, pak V_k Ì V_h a tedy podprostory jsou rovnoběžné. Pokud h(A) = h() , tj. pokud r_k r_h ¹ Æ jsou rovnoběžné incidentní, jinak jsou rovnoběžné neincidentní.

Je‑li hod(A) > h  a h(A) = h() jsou různoběžné, jinak mimoběžné.

Příklad: Určete vzájemnou polohu rovin a a r v , jsou‑li :

a

r .

Řešení: Hledejme společné body obou rovin. Přitom dimenze h = k = 2. Položíme sobě rovny pravé strany obou rovnic. Rozepsáním do souřadnic získáme soustavu čtyř rovnic o 4 neznámých. Její rozšířená matice soustavy je

Þ h(A) = 4 > h

(nejsou rovnoběžné) a zároveň h(A) = h() = 4 = n (soustava má právě jedno řešení) s₂ = 2, s₁ = 1, t₂ = 1, t₁ = 3.

Dosazením do rovnice kterékoliv z rovin a r vypočteme společný průsečík obou rovin tj.  a r  , např. pro r

Q == 

Zkoumané roviny jsou tedy různoběžné a jejich společným průnikem je bod Q

§2.4 Obecný zápis Lineárního podprostoru

Množině všech řešení určité SLR můžeme dát geometrický význam. Množina je buď Æ, nebo je lineárním podprostorem vnořeným do prostoru . Jeho dimenzí je počet volitelných neznámých v dané soustavě rovnic, tj. n   h.

Příklad: Řešte SLR :

Řešení

= Þh(A) = h() = 2 < n

Interpretujeme‑li řešení jako bod z , pak

Zápis odpovídá rovnici lineárního podprostoru dimenze 2 vnořeného do . Množinu všech řešení dané soustavy lze tedy interpretovat jako rovinu vnořenou do prostoru E₄ .

Příklad: Obecný zápis LP

je tedy SLR

Je zřejmé, že jedna lineární rovnice o n neznámých

= b

definuje LP dimenze n   1 vnořený do , protože == 1. Tato rovnice je obecná rovnice nadroviny v . Koeficienty určují normálový vektor  =, tj. vektor, který je kolmý k nadrovině (tj. kolmý ke všem směrovým vektorům LP).

Např. rovnice

je obecná rovnice přímky v rovině () a její normálový vektor je  =.

Příklad1: Určete obecný zápis roviny   v , známe‑li její parametrické vyjádření

Řešení : Hledané rovnice dostaneme vyloučením parametrů  r, s.

Þ řešení bude

Jedná se zřejmě o nadrovinu v , protože se dá vyjádřit jedinou rovnicí.

Příklad2: Určete parametrické rovnice přímky  p v , která má obecný zápis: , .

Řešení : Bod  X  hledaného průniku musí vyhovovat oběma rovnicím a je tedy řešením soustavy dvou rovnic o třech neznámých.

Þ h(A) = h() = 2 <

Þ , , z = t, závisí na jednom parametru  t I R  a je parametrickým vyjádřením přímky  p.

Příklad3: Rozhodněte o vzájemné poloze přímky  p a roviny  r v .

Řešení : Rovnici přímky rozepíšeme po složkách do parametrických rovnic

x = 3     t 

y = 1   4t

z = 3 + 3t

Dosadíme x, y, z do rovnice roviny, tj. hledáme takové  t, aby platilo

 t) + 2 (1   4t) + 3 (3 + 3t) + 4 = 0

Po úpravě dostaneme  18 = 0. Rovnice nemá řešení, neexistuje společný bod, přímka  p  je rovnoběžná s rovinou  r

§2.5 Vzdálenost bodu od PODPROSTORU

Vzdálenost bodu M  od podprostoru  X = P  +   t₁  + t₂  …+ t_h 

kde t_i I R, je velikost vektoru = X   M , pro který platí:

. = 0

pro i = 1,..,h, tj. je kolmý na všechny vektory ze zaměření LP.

Příklad: V určete vzdálenost bodu M =  od roviny , kde P = , =, =.

Řešení: Vektor  = X   M = . Podmínky kolmosti tohoto vektoru k vektorům , jsou ve tvaru :

. = 0, . = 0,

tj.

. = 0

. = 0

a určují soustavu rovnic pro t , u :

5t + 2u = 

t  +  u  = 

Řešení soustavy t = 1, u = Þ = Þ hledaná vzdálenost bodu M od dané roviny je =.

Poznámka: Vzdálenost bodu B =  od nadroviny = b  je daná vztahem :

Þ Rovina z předchozího příkladu je nadrovinou v . Bylo by proto možné určit její obecnou rovnici

Þ

a počítat podle vzorce

d ===

§2.6 Vzdálenost DVOU PODPROSTORů

Vzdálenost dvou podprostorů

X = P  +   t₁ + t₂ …+ t_h,

Y = Q  +  u₁ + u₂ …+ u_k,

je velikost vektoru =    , kde I , I, pro který platí:

. = 0, i = 1,,h

. = 0, j = 1,,k.

Příklad: V určete vzdálenost dvou mimoběžek:

p: x =  7 + 3t  q: x = 21 + 6r 

y =  4 + 4t y =   4r

z =   2t z =   2     r

Řešení: Vzdálenost je velikost vektoru

 =    = 

kde I p, Iq, který je kolmý k oběma směrovým vektorům přímek, tj.

. = 0, . = 0,

Provedeme součiny

.   = 0

. = 0

a dostaneme soustavu

Řešení soustavy je t = 2, r = Þ =

hledaná vzdálenost je === 13 .

§2.7 Lineární kombinace bodů

Přepíšeme‑li rovnici přímky určené dvěma body A,B

X = A + t.(B A) tIR,

na tvar

X = (1 t).A + t.B tIR,

potom při označení l  t, l  = t lze psát

X = l  A + l  B

Mluvíme o lineární kombinaci bodů A, B. Čísla l l  mohou být libovolná, musí však pro ně platit

l l

Pokud tI< > je to rovnice úsečky AB , tj. platí

l ³ l ³

Potom mluvíme o konvexní lineární kombinaci bodů A, B.

Důkaz: Každý bod X trojúhelníka ABC lze psát ve tvaru

X = l  A + b  U , kde l b l ³ b ³

kde U je bod na úsečce CB Þ můžeme jej zapsat U = j  C + j  B, kde j j  = 1 , j ³ j ³ 0 (jinak, U je konvexní LK bodů C, B).  Dosazením dostaneme

X = l  A + b j  C + j  B ) = l  A + b j C + b j  B  

kde  l b j j l ³ b ³ j ³ j ³

Položíme‑li b j l b j l   , je

l l l   = 1, kde l ³ l ³ l ³ 0, cbd.

§2.8 Konvexní množiny

Podmnožina v se nazývá konvexní, když s každými body A, B obsahuje i každý bod úsečky AB.

Tak např. úsečka, trojúhelník, kruh jsou konvexní, avšak mezikruží není. Konvexní množina je také I kvadrant v rovině xy.

Konvexní polyedr je vlastně jakýsi konvexní lineární obal bodů A₁, A₂,, A_p, je to totiž nejmenší konvexní množina, která všechny dané body obsahuje.

Příklad: Trojúhelník ABC je dán vrcholy : A = , B = , C = . Vyjádřete souřadnice libovolného bodu trojúhelníka pomocí konvexní lineární kombinace jeho vrcholů. Ověřte, zda body P =  a Q =  leží v trojúhelníku ABC.

Řešení: Pro XIABC platí:

X = l  A + l  B + l  C

l l l

l ³ l ³ l ³

Označíme‑li X = a dosadíme-li za A, B, C dostaneme

l  + l  + l  

a po rozepsání do složek

x = l l l

y = l l

Nejprve řešíme pro bod P = :

4 = l l l

4 = l l

Ke dvěma rovnicím můžeme připojit třetí rovnici 

1 = l l l

Rozšířená matice soustavy vypadá

Þ l   = , l = , l = 

Jak vidíme, není splněná podmínka l ³ Þ bod PÏABC.

Pro bod Q = :  2 = l l l

3 = l l

1 = l l l

Rozšířená matice soustavy vypadá

Þ l   = , l = 0, l = 

Jsou splněné podmínky l ³ l ³ l ³ 0 Þ bod QIABC.

§2.9 Poloprostory

Obecná rovnice nadroviny v E_n je

nebo

V prostoru E₂ je nadrovinou přímka a víme , že každá přímka v rovině nám rozdělí tuto rovinu na dvě poloroviny. V prostoru E₃ je nadrovinou vlastně rovina a každá rovina rozdělí prostor na dva tzv. poloprostory. Analogicky si můžeme představit, že každá nadrovina v prostoru nám opět rozdělí celý prostor E_n na dva poloprostory. Lze dokázat, že jestliže do této rovnice dosadíme souřadnice bodu X, který v nadrovině neleží, rovnice nebude splněná a znaménko čísla b závisí na tom, ve kterém ze dvou poloprostorů určených nadrovinou leží bod X. Čili pro body jednoho z poloprostoru bude platit

pro body druhého poloprostoru bude platit

Příklad: Přímka o rovnici je nadrovina v . Tato přímka rozděluje na dva poloprostory (v tomto případě mluvíme o polorovinách) dané podmínkami , .

Poznámka: Množinu všech řešení určité soustavy lineárních nerovnic můžeme geometricky interpretovat jako průnik poloprostorů. Protože každý z poloprostorů je konvexní množinou, průnikem vznikne také konvexní množina, která má navíc konečný počet vrcholů. Lze dokázat, že pokud tato množina je omezená, pak je konvexním polyedrem. Tyto poznatky patří k teoretickému základu pro rozpracování teorie lineárního programování.

Příklad s ekonomickou tématikou: Závod může vyrobit nejvíce 60 kusů výrobků V₁ a nejvíce 20 kusů výrobků V₂ , přitom počet kusů výrobků V₁ musí být nejméně čtyřnásobkem počtu kusů výrobků V₂ . Napište tyto ekonomické podmínky ve tvaru lineárních vztahů.

Řešení: Označme x₁ počet kusů výrobků V₁ a x₂ počet kusů výrobků V₂ . Pak podmínky v úloze lze vyjádřit takto :

, , .

Navíc z ekonomické interpretace proměnných x₁, x₂ vyplývá jejich nezápornost, tj.

, .

Geometricky každá z uvedených pěti podmínek představuje polorovinu a jejich průnik je trojúhelník. Tento trojúhelník je konvexním polyedrem s vrcholy , , .