DIFERENCE A DIFERENČNÍ ROVNICE (DR)

DIFERENCE A DIFERENČNÍ ROVNICE (DR)

§1 Funkce a posloupnosti

Termínem funkce budeme nadále rozumět reálnou funkci jedné reálné proměnné definovanou na intervalu J. Termínem posloupnost budeme rozumět reálnou posloupnost definovanou na množině . Posloupnost budeme zapisovat např. posloupnost

V některých konkrétních situacích bude vhodnější posloupnost definovat na množině přirozených čísel N resp. na množině , kde r je pevně zvolené přirozené číslo, nebo omezit se na konečné množiny kde r, t jsou přirozená čísla, r < t. Pokud nebude definiční obor posloupnosti blíže specifikován, budeme předpokládat, že je roven N₀.

§2 Diference

V řadě problémů ekonomické praxe se setkáváme s funkcemi danými nikoli obecným funkčním předpisem, ale tabulkou funkčních hodnot. Na takto zadanou funkci lze pohlížet jako na (konečnou) posloupnost; zdá se proto užitečné vybudovat pro posloupnosti teorii odpovídající diferenciálnímu počtu funkcí definovaných na intervalu J, s pojmy odpovídajícími derivaci, integrálu a diferenciální rovnici. Tuto teorii nazvěme diferenční počet. Dá se ukázat, že analogickým pojmům z diferenciálního a diferenčního počtu odpovídají i analogická tvrzení.

Diferenční rovnice vlastně představují rekurentní vzorec pro posloupnost a jejich řešení je tzv. funkční vzorec. Tak například pro aritmetickou posloupnost je rekurentní vzorec

diferenční rovnice

a vzorec funkční

řešení

Výhoda funkčního vzorce spočívá v tom, že počet operací, které v němž jsou obsaženy a potřebné k výpočtu určitého a_n nezávisí na velikosti n.

Nyní zavedeme analogii pojmu derivace.

Poznámka: Např. diferencí posloupnosti je posloupnost

Příklad : Stanovme diference posloupností

CIR,

Řešení : Dosazením do definičního vzorce dostáváme

Přímo z definice diference vyplývá

Důkaz : Dokažme např. )

Příklad : Stanovme diferenci posloupnosti b_n = 

Řešení : Platí

Db_n = D

Vyšší diference

Diference členů posloupnosti tvoří posloupnost ; z členů této posloupnosti lze opět vypočítat diference, tzv. druhé diference posloupnosti (a_n). Označíme je ; definujeme tedy

Zcela analogicky definujeme třetí diferenci

Obecně definujeme k‑tou diferenci:

Místo „k‑tá diference“ též říkáme „diference k‑tého řádu“.

Příklad : Stanovme

Řešení : Pomocí definice druhé diference, věty o diferenci násobku posloupnosti a věty o diferenci exponenciály dostáváme:

=

Příklad : Vyjádříme druhou diferenci pomocí členů posloupnosti

Obecně platí následující věta (lze ji dokázat matematickou indukcí)

§3 Diferenční rovnice

Tak jako v diferenciálním počtu studujeme tzv. diferenciální rovnice, tj. rovnice obsahující neznámou funkci a její derivace, tak v diferenčním počtu diferenční rovnice představují rovnice o neznámé posloupnosti a jejích diferencích:

Poznámka : Řešit danou diferenční rovnici znamená nalézt posloupnost vyhovující dané rovnici pro všechna nIN_r , tj. pro všechna n = r, r+1, ¼ . Předpoklad, že daná posloupnost je řešením dané rovnice, nejsnáze ověříme tak, že ji do dané rovnice dosadíme. Např. řešením diferenční rovnice

je y_n =  +C,

neboť

+C  +C) = n

Poznámka : Řešení závislé na obecné konstantě se nazývá obecné řešení. Konkrétní volbou konstanty C dostáváme tzv. partikulární řešení; je tedy obecné řešení vzorcem popisujícím množinu všech partikulárních řešení. Partikulární řešení lze sestrojit z obecného také jinak než dosazením za konstantu, a to pomocí tzv. počátečních podmínek. Jsou to souřadnice bodu, jímž má graf partikulárního řešení procházet. Někdy se vyskytuje řešení, jež nezávisí na obecné konstantě ani ho nelze sestrojit z obecného. Takové řešení se nazývá singulární.

Příklad : Nechť obecným řešením diferenční rovnice je . Stanovme partikulární řešení procházející bodem

Řešení : Graf partikulárního řešení (posloupnosti) má procházet bodem , tj. pátý člen posloupnosti má být roven dvěma, tj.

y₅ =  Þ C = 15

Partikulární řešení má tedy tvar

y₅ = 

Diferenční rovnice vyšších řádů

Poznámka : Diference v uvedené rovnici lze nahradit hodnotami členů posloupnosti (y_n) podle vzorce

Po úpravě a osamostatnění dostáváme diferenční rovnici k‑tého řádu ve tvaru

kde h je funkce vzniklá z funkce g osamostatněním na levé straně rovnice.

§4 Lineární diferenční rovnice

Dále označujeme

F(n) ¼ obecné řešení lineární rovnice,

y(n) ¼ partikulární řešení lineární rovnice,

(n) ¼ obecné řešení zkrácené rovnice,

Příklad : Rovnice y_n+1 + (ln n)y_n = n² je lineární rovnice 1. řádu, zatímco rovnice y_n+1 + n(y_n)² = 1 lineární není - podstatné je, aby se členy neznámé posloupnosti y_n v dané rovnici vyskytovaly pouze jako lineární kombinace; koeficienty této lineární kombinace, tj. dané posloupnosti (p_i(n)) a posloupnost (q_n) nemusí být lineární.

Příklad : Rovnice y_n+1 ‑ n²y_n ‑ 3n = 0 není zkrácená, kdežto rovnice y_n+1 = 2ⁿy_n zkrácená je - nezáleží totiž na zápisu rovnice, ale na tom, zda rovnice kromě výrazů zahrnující členy neznámé posloupnosti (y_n) obsahuje ještě další nenulový výraz. V prvém případě je obvyklejší psát y_n+1 ‑ n²y_n = 3n , v druhé případě y_n+1 ‑ 2ⁿy_n = 0.

Pro lineární rovnice platí dvě základní věty:

zkrácená diferenční rovnice s konstantními koef.

Uvažujme zkrácenou rovnici

pro nIN₀ , kde p₁, p₂, ¼, p_k jsou reálné konstanty. Předpokládejme dále, že p_k ¹

Řešením zkrácené rovnice je posloupnost y_n = lⁿ ; po dosazení uvedené posloupnosti do rovnice totiž dostáváme

Pokud tuto rovnici dělíme výrazem  , l ¹ 0, dostáváme tzv. charakteristickou  rovnici příslušnou k zkrácené rovnici:

Stanovení všech řešení závisí na typu kořenů charakteristické rovnice

Charakteristická rovnice má k různých reálných kořenů l l ¼ l_k

Každé řešení této rovnice lze napsat ve tvaru

kde c₁, c₂ , ¼,c_k  jsou reálné konstanty.

Příklad : Řešme diferenční rovnici

Řešení : Charakteristická rovnice má tvar

Kořeny jsou l l Þ

2.) Případ k‑násobného reálného kořenu l . Každé řešení této rovnice lze

napsat ve tvaru

kde c₁, c₂ , ¼,c_k  jsou reálné konstanty.

Příklad : Řešme rovnici

Řešení : Charakteristická rovnice má tvar

Kořeny jsou l  = 1 (jednoduchý), l  = 3 (dvojnásobný)

Þ

Dvojice komplexně sdružených kořenů l  = a + ib, l  = a   ib.

Převedeme kořen l  na goniometrický tvar:

Komplexní řešení lze při použití Moivreovy věty psát ve tvaru

Potom platí

kde c₁, c₂  jsou reálné konstanty.

Příklad : Řešme diferenční rovnici

Řešení : Charakteristická rovnice má tvar

a její kořeny jsou  a

Převeďme na goniometrický tvar

Þ

Platí tedy

lineární diferenční rovnice s konstantními koef.

Uvažujme rovnici

pro nIN₀ , kde p₁, p₂, ¼, p_k jsou reálné konstanty. Předpokládejme dále, že p_k ¹

Platí

Příklad : Řešme diferenční rovnici

Řešení

Charakteristická rovnice příslušná zkrácené rovnici má tvar

Má dvojnásobný kořen l Þ

Platí q_n=, kde m = 0 , r Þ k = 0. Položíme tedy

= A

Zbývá vypočítat hodnotu konstanty A dosazením odhadu y(n) do rovnice

Þ   A   4A + 4A = 1  Þ A = 1 Þ y(n) = 1

Příklad : Stanovme partikulární řešení diferenční rovnice vyhovující počáteční podmínce

Řešení

Charakteristická rovnice příslušná zkrácené rovnici má tvar

Þ l Þ

Platí q_n=, kde m = 1, r Þ k = 1. Položíme tedy

Zbývá vypočítat hodnotu konstant A a B dosazením odhadu y(n) do rovnice

Þ

Þ

Þ

3. Obecné řešení

partikulární řešení vyhovující počáteční podmínce dostaneme z

rovnice

Þ