DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ

Diferenciální počet funkce jedné reálné proměnné

§1 Posloupnosti

Zobrazíme‑li množinu přirozených čísel do množiny reálných čísel, dostaneme posloupnost reálných čísel.

Grafem posloupnosti je množina navzájem izolovaných bodů .

Posloupnost zapisujeme  a₁, a₂, ¼, a_n, ¼, nebo , nebo  .

a_n  nazýváme obecným členem posloupnosti.

Příklady posloupností:

a) 

b) 

c) 

Někdy bývají posloupnosti zadány rekurentním vzorcem, tj. obecný člen je dán pomocí několika členů předcházejících. Přitom je dána hodnota určujících členů.

Např.  a_n = a_n-1 + a_n-2,  a₁ = 1,  a₂ = 1  (Fibonacciova posloupnost), tedy  1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ¼

Vlastnosti posloupností

Posloupnost    se nazývá

rostoucí, když pro všechna  n  platí

klesající

neklesající

nerostoucí

Společný název pro tyto posloupnosti  je ‑ posloupnost monotónní, z nichž typy  1.  a  2.  se nazývají ryze monotónní.

Příklad: Dokažte, že posloupnost    je klesající.

Řešení: Pro klesající posloupnost platí  , tj.    n.

.

Další vlastnosti posloupností

Je‑li množina všech členů posloupnosti  taková, že

 k I R,    n I N :   a_n £ k

říkáme, že posloupnost    je shora omezená (ohraničená). Podobně posloupnost    je zdola omezená (ohraničená), když  

 l I R,    n I N :  a_n ³ l

Posloupnost , která je shora i zdola omezená, se nazývá omezená (ohraničená). Pro všechny členy platí .

Limita posloupnosti

Zapisujeme

Zápis předešlé definice lze vyjádřit

Podle definice je jen konečný počet členů posloupnosti, nejvýše n₀  takových, že  . Říkáme, že uvedená podmínka   musí být splněna pro skoro všechny členy posloupnosti.

Posloupnost  a₁, a₂, ¼, a_n, ¼,  můžeme znázornit body o souřadnicích [1, a₁], [2, a₂], ¼, [n, a_n], ¼ . Má‑li být číslo  L  limitou této posloupnosti, musí skoro všechny členy splňovat nerovnost   , tj. jejich obrazy musí ležet v pásu   a jen konečný počet, nejvýše  n₀ , může být zobrazeno mimo tento pás.

Posloupnost, která má limitu, nazýváme konvergentní posloupnost. Posloupnost, která není konvergentní, je divergentní.

Příklad: Dokažte podle definice, že   .

Řešení: Je třeba dokázat, že pro libovolné  e > 0, platí pro skoro všechna  n  nerovnost  . Lze ji upravit na  .

Stačí dokázat, že tato nerovnost není splněna jen pro konečný počet čísel. Z poslední nerovnosti vychází, že není splněna, pokud platí

neboli   , tedy pro   .

Takových  n  je pro každé  e > 0  zřejmě jen konečný počet.

Poznámka: Zdůrazněme znovu, že v definici limity posloupnosti velikost voleného čísla  e > 0  ovlivňuje počet členů, které nesplňují nerovnost   , stále je jich však pouze konečný počet.

Praktický výpočet limity posloupnosti

Počítat limity posloupností přímo z definice by bylo většinou obtížné. K výpočtům užíváme vlastností posloupností a věty o limitách posloupností. Věty jsou uvedeny bez důkazů.

Každá konvergentní posloupnost má právě jednu limitu.

Konvergentní posloupnost je vždy omezená. Důsledek : Každá neomezená posloupnost je divergentní.

Poznámka: Obrácená věta neplatí. Posloupnost, která je omezená, nemusí mít limitu (nemusí být konvergentní). Např. posloupnost   je omezená, nemá však limitu.

Omezená posloupnost, která je monotónní, má limitu.

Často užívaná bude posloupnost   . Pro ni platí  .

Nechť   a    jsou konvergentní, přičemž

a

Pak platí :

, odtud , c I R

  pro  b ¹

Použití ukážeme na příkladech.

Příklad1: Určete   .

Řešení: Protože posloupnosti  ,   nejsou konvergentní, jak vyžaduje předpoklad vět o limitách, nelze přímo užít věty o podílu limit (). Proto čitatel i jmenovatel zlomku vynásobíme  

(neboť  )

Příklad2: Určete  .

Řešení: Výraz v limitě upravíme

 

Poznámka: Tento obrat je často používaný. Používáme vzorce  , pokud ve výrazu  a ‑ b  vystupují druhé odmocniny. Analogicky lze upravit   , vystupují‑li ve výrazu  a ‑ b  třetí odmocniny.

Příklad3: Vypočtěte  

Řešení: Výraz v čitateli můžeme sečíst jako  n  členů aritmetické posloupnosti  , tedy

Číslo e

Dá se dokázat, že posloupnost   má limitu, kterou označíme  e  (Eulerovo číslo), tj.

Poznámka: Číslo  e  je důležitá konstanta, kterou vhodným postupem lze vypočítat na libovolný počet desetinných míst:  e ¼

Této odvozené limity lze použít při výpočtech :

Příklad4: Vypočtěte  , k>

Řešení: Výraz    nahradíme výrazem   , tzn.  n = k m  Þ když  n ¥ , také m ¥

Příklad5: Vypočtěte  .

Řešení

Příklad6: Vypočtěte  .

Řešení

Nevlastní limita posloupnosti

Zápis

resp.

Zápis předešlé definice lze vyjádřit

Poznámka: Má‑li posloupnost nevlastní limitu  +¥ , resp.  ‑¥, říkáme, že její členy rostou nade všechny meze, resp. klesají pode všechny meze.

Příklad: Dokažme, že .

Řešení: Podle definice musí existovat číslo  n₀  tak, aby pro všechna  n > n₀  platilo  a_n > K . Takové číslo lze vždy určit  . Budeme‑li např. K = 1000  bude  n₀ = 10  pro  K = 10⁶  bude  n₀ = 100  atd.

§2 Funkce jedné proměnné

Nechť  D  a  H  jsou dvě neprázdné množiny. Je‑li každému prvku  x I D  přiřazen právě jeden prvek  y I H , je definováno zobrazení množiny  D  do množiny  H . Jsou‑li přitom vyčerpány všechny prvky množiny  H , jde o zobrazení množiny  D  na množinu  H .

Proměnnou  x  nazýváme nezávisle proměnnou, případně argumentem funkce  f ,  y  pak závislou proměnnou.

Vyjádření funkcí bývá nejčastěji zadáno

a)  výrokovou formou

b)  tabulkou

c)  grafem

Je‑li funkce zadána výrokovou formou, pak výroková forma může mít tvar rovnice nebo slovního vyjádření. Většinou se používá zápisu

 y = f(x), x I D 

Je‑li funkce zadána tabulkou, jsou zadány zvolené hodnoty nezávislé proměnné veličiny a na dalším řádku jsou odpovídající hodnoty závisle proměnné veličiny.

Grafem funkce nazveme množinu všech bodů v  E₂  o souřadnicích , kde xID, f(x)IH.

Definiční obor funkce

Je‑li určen jen funkční předpis bez definičního oboru, je definičním oborem maximální množina, pro kterou má předpis smysl. Např.

Tento výraz má smysl pro x + 2 ³ 0, tedy x ³ -2, tj.  D(f) = .

Při určování definičního oboru se řídíme vlastnostmi, které podmiňují reálnou hodnotu funkce.

Ve zlomku musí být jmenovatel různý od nuly.

Sudá odmocnina je definována jen pro nezáporná čísla.

Logaritmus je definován pouze pro kladná čísla.

Funkce  arcsin(x)  a  arccos(x)  jsou definovány jen pro  x I

Příklad1 : Rozhodněte, zda relace    je funkcí.

Řešení: Je třeba zjistit, zda ke každému  x₀ I R  existuje nejvýše jedno  y₀ I R  takové, že platí  . Pro  x₀ < 0  neexistuje  y₀ I R  takové, aby platilo   ; pro  x₀ = 0  existuje právě jedno  y₀ I R , že výrok    je pravdivý. Pro  x₀ > 0  existují dvě vzájemně různá reálná čísla    a   , pro která je výrok    a    pravdivý. Relace tedy není funkcí.

Příklad2 : Nakreslete graf funkce   , která je definována takto: pro  x < 0  je její hodnota  y = ‑1, pro  x = 0  je  y = 0 , pro  x > 0  je  y = 1.

Příklad3 : Najděte definiční obor a zobrazte funkci  .

Řešení: Definiční obor je dán podmínkou

. Graf je horní polovina kružnice o poloměru 2, se středem v bodě .

Některé vlastnosti funkcí:

Pro funkce monotonní v  D  platí  x₁ I D,   x₂ I D 

f je rostoucí v D  Û x₁ < x₂ Þ f(x₁) < f(x₂)

f je klesající v D Û x₁ < x₂ Þ f(x₁) > f(x₂)

f je neklesající v D Û x₁ < x₂ Þ f(x₁) £ f(x₂)

f je nerostoucí v D Û x₁ < x₂ Þ f(x₁) ³ f(x₂) 

f  je shora resp. zdola omezená v D, existuje‑li číslo  K₁  resp.  K₂  takové, že pro všechna  x I D  platí  f(x) £ K₁, resp.  f(x) ³ K₂

 f  je prostá v D 

Obrázek funkce prosté :

Obrázek funkce, která není prostá :

Funkce  f  je periodická, existuje‑li číslo  p  takové, že pro  x I D  platí  , neboli  .

Nejmenší kladné číslo této vlastnosti nazýváme periodou funkce  f

Funkce  f  se nazývá

sudá, jestliže f(x) = f(‑x)  pro  x I D ( tj. graf je souměrný podle osy  y),

lichá, jestliže f(-x) = ‑f(x)  pro  x I D ( tj. graf je souměrný podle počátku).

Funkce složená

Nechť  f  je zobrazení množiny A do množiny B, g  je zobrazení množiny B do množiny C. Potom zobrazení  h  definované

zobrazuje množinu A do množiny C a nazývá se zobrazení složené. Jsou‑li A, B, C číselné množiny, pak  h  je funkce složená z funkcí  f  a  g. Platí:

D(h) =

Např. z = sin x³

je složená  y = x³ , z = sin y

Poznámka: Ve složené funkci  nazýváme f funkcí vnitřní a g funkcí vnější. Funkce může být i několikrát složená. Např. Þ .

Funkce inverzní

Nechť f : y = f(x)   x I A  je funkce prostá. Oborem funkčních hodnot je  H = B. K prostému zobrazení existuje inverzní zobrazení, které každému  y I B  přiřazuje jediné  x I A , pro které  f(x) = y. Toto zobrazení značíme   . Grafy funkcí  y = f(x)  a  x = f  (y)  jsou totožné, neboť u funkcí  f  a  f    je vyměněna pouze závislost proměnných. Definiční obor  D(f) = A  funkce  f  bude oborem funkčních hodnot  H(f ^‑1) = A  funkce  f ^‑1  a obor funkčních hodnot  H(f) = B  funkce  f  bude definičním oborem  D(f ^‑1) = B  funkce  f   . Chceme‑li nezávisle proměnnou vynášet na vodorovnou osu  x , provedeme přeznačení : u funkce  x = f ^‑1(y)  bude nezávisle proměnná opět značena  x  a závisle proměnná  y , tedy  y = f ^‑1(x).

Þ Grafy funkcí  f  a  f ^‑1  budou souměrné podle přímky  y = x.

Není‑li v celém oboru funkce  f  prostá, musíme se omezit jen na tu jeho část, v níž je  f  prostá funkce.

Příklad1: Najděte inverzní funkci a její graf k funkci  .

Řešení: D = H = , v celém intervalu je funkce prostá.

Z rovnice vypočteme x :   .

Přeznačíme proměnné  f ^‑1 :

D(f ^‑1) = , H(f ^‑1) =.

Grafy budou souměrné podle přímky y = x

Příklad2: Najděte inverzní funkci a její graf k funkci  y = .

Řešení: D(f) = , H(f) =  . Je třeba se omezit na interval, v němž je funkce prostá.

Např. D(f) =    H(f) = 

Z rovnice vypočteme x :   .

Přeznačíme proměnné  f ^‑1 :

D(f ^‑1) =   H(f ^‑1) = 

Graf

Pro D(f) = ,  H(f) =

Z rovnice vypočteme x :   .

Přeznačíme proměnné  f ^‑1 :

D(f ^‑1) = ,  H(f ^‑1) = 

Graf bude

Základní elementární funkce

Jejich definiční obor budeme označovat  D, obor funkčních hodnot H.

Lineární funkce je každá funkce daná předpisem

kde k, q I R. Platí D = H = R (pro k ¹

Grafem je přímka, která svírá s kladnou osou úhel a takový, že tg a = k a prochází bodem Q= na ose y. K určení grafu přímky potřebujeme znát dva body nebo jeden bod a úhel a

Lineární funkce je prostá pro všechna k ¹

a) je rostoucí pro k >

b) je klesající pro k <

c)   je konstatní pro k = 0 .

Kvadratická funkce je každá funkce daná předpisem

kde a ¹ 0 , a, b, c I R , D = R.

Lineární lomená funkce je funkce daná předpisem

kde c ¹ 0 , ad - cb ¹ 0 . D = R .

Speciálním případem je funkce y = tj. nepřímá úměrnost Jejím grafem je rovnoosá hyperbola se středem v bodě S = , asymptotami v osách x a y a osami y = x. Abychom získali graf funkce , upravíme pravou stranu rovnice (dělením) na tvar a použijeme transformaci posunutím .

Racionální funkce je daná předpisem

kde P(x) a Q(x) jsou polynomy. D = R

Iracionální funkce je funkce s nezávisle proměnnou x pod odmocninou.

Uvedeme ty nejjednodušší.

y = D = H = . Grafem je část paraboly y² = x.

y = D = H = R.

y =  

D :  9 - x² ³ 0 Þ x² £ 9 x £ 3 Þ xI ñ

H :  rovnici umocníme y² = 9 - x² Þ x² + y² = 9 , tj. kružnice se středem S = a poloměrem r = Pro naši funkci ale musí být y ³ 0 , tj. yI. Grafem je horní část kružnice x² + y² = 9.

Exponenciální funkce je funkce daná předpisem

kde a > 0,  a ¹ 1. D =  , H = . V celém definičním oboru je daná funkce prostá.

Pro  a > 1  je   rostoucí, pro  a < 1  je    klesající.

Grafy :

Logaritmické funkce je funkce daná předpisem

kde a > 0.

Lze odvodit jako inverzní funkci k funkci exponenciální . Proto 

D = , H = .

V celém definičním oboru je daná funkce prostá. Graf můžeme sestrojit jako souměrnou křivku k   vzhledem k přímce  y = x.

Goniometrické funkce

A.       D = , H = 

B.       D = , H = 

Funkce  y = sin x  i  y = cos x  jsou periodické s periodou 2p

C.         x I ,

k - celé číslo, H = 

D.         x I ,

k - celé číslo, H = 

Funkce  y = tg x  a  y = cotg x  jsou periodické s periodou  p

Cyklometrické funkce

Odvodíme je jako inverzní funkce k funkcím goniometrickým.

E.      

Vyjdeme od funkce  f : y = sin x  a omezíme se na interval, v němž je funkce prostá, tedy  ,  H = 

f ^‑1 : x = arcsin y  a po přeznačení proměnných

y = arcsin x , kde  D = , .

Graf je sestrojen jako souměrně sdružená křivka k funkci  y = sin x  pro podle přímky  y = x .

F.       

f : y = cos x   ,  H = 

f ^‑1 : x = arccos y  a po přeznačení proměnných

y = arccos x , kde  D = , H = 

G.     

f :  y = tg x    D =, H = 

f ^‑1 : x = arctg y  a po přeznačení proměnných

y = arctg x , kde D =, H =

H.      

f :  y = cotg x    D = , H = 

f ^‑1 : x = arccotg y  a po přeznačení proměnných

y = arccotg x , kde D = , H =

Příklad: Najděte inverzní funkci k funkci  y = 2.

Řešení

D =  , funkce je prostá v celém D.

H = , tj. yI

Z rovnice y = 2 vypočteme x :

=ÛÛÛ

Přeznačíme proměnné  f ^-1 :  pro xI, y.