OPAKOVANIE KOMBINATORIKY

Opakovanie kombinatoriky

Príklad 1

Určte počet všetkých kladných celých čísel, v ktorých sa všetky číslice 0, 1, 3, 4, 7, budú vyskytovať práve raz.

Riešenie:

Žiadna z číslic sa nesmie opakovať. Počet možností, ktorými môžeme usporiadať 5 číslic predstavuje počet permutácií bez opakovania z piatich prvkov. Z toho počtu musíme vylúčiť všetky možnosti, v ktorých je na prvom mieste nula, čo je počet permutácií bez opakovania z štyroch prvkov.

Hľadaný počet všetkých kladných celých čísel je rovný

P(5) – P(4) = 5! – 4! = 96.

Príklad 2

Určte počet všetkých šesťciferných prirodzených čísel zostavených z číslic 1, 2, 3, 4, 5, 6, ak sa každá číslica môže ľubovoľnekrát (až šesťkrát) opakovať.

Riešenie:

Ide o permutácie s opakovaním z šiestich prvkov. Počet permutácií s opakovaním z šiestich prvkov je

P'(6) = 6⁶ = 46 656.

Príklad 3

Určte počet všetkých prirodzených čísel menších ako 500, v ktorých zápise sú iba číslice 4, 5, 6, 7 a to každá najviac raz.

Riešenie:

V prípade jednociferných čísel ide o variácie bez opakovania prvej triedy zo štyroch prvkov, v prípade dvojciferných čísel ide o variácie bez opakovania druhej triedy zo štyroch prvkov. V prípade trojciferných čísel musí byť vždy na prvom mieste štvorka. Ide teda o variácie bez opakovania druhej triedy z troch prvkov. Počet všetkých prirodzených čísel splňujúcich dané podmienky je rovný

V₁(4) + V₂(4) + V₂(3) = .

Príklad 4

Štátna poznávacia značka osobného automobilu je tvorená usporiadanou sedmicou, ktorej prvé tri členy sú písmena a ďalšie štyri členy číslice. Určte koľko poznávacích značiek možno vytvoriť z 28 písmen a 10 číslic.

Riešenie:

Prvá časť štátnej poznávacej značky je usporiadaná trojica písmen zostavená z 28 písmen, pričom písmená sa môžu v usporiadanej trojici ľubovoľnekrát opakovať.

Ide teda o variácie s opakovaním tretej triedy z 28 prvkov. Druhú časť štátnej poznávacej značky tvorí usporiadaná štvorica číslic, ktoré sa môžu v štvorici ľubovoľnekrát opakovať. Ide o variácie s opakovaním štvrtej triedy z 10 prvkov. Celkový počet poznávacích značiek, ktoré môžeme za daných podmienok vytvoriť, je súčinom obidvoch výrazov

V₃'(28) · V₄'(10) = 28³ · 10⁴ = 219 520 000.

Príklad 5

Na volejbalový turnaj sa prihlásilo šesť družstiev. Určte počet všetkých stretnutí, ak sa hrá turnaj systémom každý s každým.

Riešenie:

Ide o kombinácie bez opakovania druhej triedy z šiestich prvkov. Počet stretnutí je

.

Príklad 6

Detská hra domino predstavuje súbor kociek, z ktorých každá je rozdelená na dve polovice a každá polovica kocky je samostatne označená bodmi nula až osem. Každá kocka sa vyskytuje v jednej hre iba raz. Určte počet kociek jednej hry.

Riešenie:

Ide o kombinácie s opakovaním druhej triedy z deviatich prvkov. Počet kociek jednej hry je

.

Príklady

Ak sa zväčší počet prvkov o dva, zväčší sa počet permutácií bez opakovania dvadsaťkrát. Koľko je prvkov?

Koľko rôznych dvojciferných čísel je možné zostaviť z číslic 1,2,3,4,5, keď sa nemajú ani v jednom čísle číslice opakovať?

Desať predmetov sa vyučuje po jednej hodine denne. Koľkými spôsobmi je možné zostaviť rozvrh hodín na jeden deň, keď sa vyučuje päť predmetov.

V triede je 14 dievčat a 18 chlapcov. Koľkými spôsobmi možno zvoliť 3 zástupcov triedy, ak to majú byť:

a) len chlapci

b) len dievčatá

c) dvaja chlapci a jedno dievča?

Koľkými spôsobmi možno vytiahnuť 4 karty z 32 kariet?

Koľkými spôsobmi možno označiť lístok na električku?

Na kotúči bezpečnostnej schránky je 12 písmen a heslo k otvoreniu bezpečnostnej schránky má 5 písmen. Koľko nepodarených pokusov môže urobiť ten, kto toto heslo nepozná?

Krotiteľ má do manéže priviesť 5 levov a 4 tigre. Koľkými spôsobmi ich môže priviesť, ak nesmú ísť dva tigre za sebou?

Na vrchol hory vedie 5 ciest. Koľko trás má k dispozícii turista pre výlet na vrchol a späť:

a) ak môže ísť späť tou istou cestou

b) ak neide späť tou istou cestou?

Z 52 účastníkov konferencie má byť vybraná 5 členná komisia. Koľkými spôsobmi to môžeme urobiť?

Koľkými spôsobmi môžeme uskutočniť voľbu 5 členov z 52 účastníkov (viď predchádzajúci príklad), ak volíme členov výboru do funkcií – predseda, podpredseda, tajomník, pokladník a hovorca.

Určite, koľko dvojjazyčných slovníkov je potrebných na to, aby bola zaistená možnosť priameho prekladu z anglického, francúzskeho, nemeckého a italského jazyka do každého z nich.

Výsledky