ČÍSELNÉ RADY A ICH VLASTNOSTI

Definícia:

Nech je daná postupnosť . Postupnosť , kde , sa nazýva postupnosť čiastočných súčtov postupnosti . Ak existuje , potom nazveme súčtom radu a povieme, že rad je konvergentný.

Ak je však divergentný, nazývame rad divergentným. Ak je hovoríme, že rad diverguje k .

Príklad

a)         Rad diverguje k , pretože

.

b)         Rad diverguje k , pretože

c)         Rad diverguje (v tomto prípade sa tiež hovorí, že osciluje), pretože súčty tvorí postupnosť , ktorá nemá limitu.

Príklad

Uvažujme o geometrickom rade . Pre je postupnosť čiastočných súčtov daná vzťahom: .

a)     Ak je , potom , rad diverguje k :

b)    Ak je , potom , rad konverguje.

c)     Ak je , potom neexistuje a rad diverguje.

Príklad

Uvažujme o rade .

Pretože platí: ,

je ,

potom , rad konverguje.

Príklad

Rad konverguje, lebo jeho súčet je rovný 0 . Ak však vynecháme zátvorky, získame rad divergentný:

Alebo naopak, pridaním vhodných zátvoriek sme z divergentného radu získali rad konvergentný.

Nasledujúca veta hovorí, že súčet radu sa pridaním zátvoriek nezmení, ak je rad konvergentný alebo či diverguje k .

Veta:

Nech , kde môže byť aj alebo , a je rastúca postupnosť prirodzených čísel. Potom je:

.

Veta:

Nech sú konvergentné rady, . Potom je:

.

Nutná podmienka konvergencie radu:

Veta:

Keď rad konverguje, je .

Dôkaz

Označme . Pretože rad konverguje, existuje vlastná limita . Pretože .

Pozor, veta hovorí, že z konvergencie radu vyplýva nulová limita postupnosti jej členov, avšak z nulovej limity obecne nevyplýva konvergencia radu!

Príklad

Uvažujme o tzv. harmonickom rade .

Uvažujme takto:

Vybraná postupnosť z postupnosti čiastočných súčtov diverguje k .

Pretože postupnosť je rastúca, , jej limita existuje, a to konečná alebo a je rovná limite akejkoľvek vybranej postupnosti.

Teda: .

Harmonický rad teda diverguje k , aj keď je .

Rady s nezápornými členmi

Veta:

Keď existuje také, že pre všetky platí nerovnosť , potom

z konvergencie radu vyplýva konvergencia ,

z divergencie radu vyplýva divergencia .

Veta:

Nech asú rady s nezápornými členmi.

Potom platí:

Keď existuje konečná limita , potom z konvergencie radu vyplýva konvergencia .

Keď existuje (konečná alebo nekonečná) nenulová limita , potom z divergencie radu vyplýva divergencia .

Keď existuje konečná nenulová limita , potom rady asúčasne konvergujú alebo divergujú.

Veta:

Cauchyho odmocninové kritérium

Keď existuje také, že pre všetky je , potom rada konverguje.

Avšak pre každé existuje také, že , potom rada diverguje.

Veta:

Cauchyho limitné odmocninové kritérium

Nech a . Ak je , rada konverguje, ak je , rada diverguje.

Veta:

d`Alembertovo podielové kritérium

Nech je . Keď existuje také, že pre všetky je , potom rada konverguje.

Keď existuje také, že pre všetky je , tak rada diverguje.

Veta:

d`Alembertovo limitné podielové kritérium

Nech a existuje . Ak je , konverguje, ak je , diverguje.

Veta:

Raabeho kritérium

Nech a existuje . Ak je , rada konverguje, ak je však , rada diverguje.

Alternujúce rady

Veta:

Leibnizovo kritérium pre alternujúce rady

Nech je monotónna postupnosť, pre ktorú platí . Potom rada je konvergujúca.

Príklad

Podľa Leibnizovho kritéria konverguje napríklad rada .

Veta:

Ak konverguje rada , konverguje aj .

Definícia:

Ak je konvergentná rada , nazýva sa rada absolútne konvergentná.

Ak je však rada konvergentná a rada divergentná, nazýva sa rada neabsolútne konvergujúca.