Plokšèiøjø figûrø simetrijø grupës

Plokšèiøjø figûrø simetrijø grupës

Sakykime, kad plokštumoje turime kažkoki¹ figûr¹ . Plokštumos transformacija f, kuria figûra atvaizduojama á save vadinama figûros simetrija. Jei Jei . Aišku, kad id:

Iš èia matyti, kad figûros simetrijø aibë yra grupë kompozicijos atžvilgiu. Ši grupë vadinama figûros simetrijø grupe.

Egzistuoja figûros, kuriø simetrijø grupë susideda iš vienos tapatingosios transformacijos, pvz.: bet koks trikampis ( nelygiašonis, nelygiakraštis). Sakoma, kad tokios figûros   neturi simetrijø. Lygiašonis trikampis turi simetrijø grupê iš dviejø elementø. Jeigu tiesë l jo pagrindo vidurio statmuo, tai jo simetrijos grupê sudaro dvi transformacijos

Pav. 1

Jeigu ašinë simetrija yra figûros simetrijø grupës elementas, tai tiesë l yra vadinama figûros simetrijos ašimi, o figûra vadinama simetriška tiesës l atžvilgiu.

Kita figûra turinti simetrijø grupê iš dviejø transformacijø, tai lygiagretainis.

Pav. 2

Jo simetrijø grupê sudaro dvi transformacijos: tapatingoji ir , t.y. , èia O yra ástrižainiø sankirtos taškas.

Jeigu centrinë simetrija priklauso figûros simetrijø grupei, tai figûra vadinama simetriška taško O atžvilgiu, o taškas O yra vadinamas jos simetrijos centru. Sakoma, kad taškas O yra figûros n-tosios eilës simetrijos centras, jeigu figûros simetrijø grupei priklauso posûkiai apie tašk¹ O, kampais , , èia k = 1, 2, 3,…, n. Pvz.: kvadrato centras yra 4 – osios eilës (n = 4) simetrijos centras.

Pav. 3

Bet koks taisyklingasis n – kampis turi n – tos eilës simetrijos centr¹, t.y. apibrëžto ir ábrëžto apskritimo centr¹. Egzistuoja figûros turinèios be galo daug simetrijø. Pvz.: juosta tarp dviejø lygiagreèiø tiesiø. Jei tiesë l eina per jø vidurá, tai juostø simetrijø grupë yra tokia .

Apskritimas irgi turi be galo daug simetrijø.

Pav. 4

.

Be to iš judesiø savybiø išplaukia, kad jeigu figûra turi dvi statmenas simetrijos ašis, tai tø ašiø sankirta yra jos simetrijos centras. Jeigu yra simetrijos ašys, tai . O – simetrijos centras, nes .

TEOREMA. Taisyklingojo n – kampio simetrijø grupê sudaro 2n transformacijø.

Árodymas. Sakykime, kad A yra taisyklingojo n – kampio viršûnë, o B ir C gretimos viršûnës.

Pav. 5

Tarkime, kad kokia nors transformacija f: viršûnë A atvaizduojama i viršûnê . Nesunku patikrinti, kad jeigu transformacija f daugiakampá atvaizduoja á já patá, tai viršûnê atvaizduoja á viršûnê. Tarkim trikampis ABC turi atsivaizduoti á jam lygø trikampá. Tuomet jeigu taško A vaizdas bus kokios tai kraštinës viduje, o ne viršûnëje, tai viršûniø B ir C vaizdai nebus daugiakampio kraštinëse.

Jeigu ir yra viršûnës gretimos viršûnës, tai gauname, kad trikampiai ABC ir yra lygûs ir lygiašoniai. Galimi du atvejai:

Kadangi du lygûs trikampiai pilnai apibrëžia judesá, tai mes gavome du judesius ir , kurie n – kampá atvaizduoja patá á save.

Kadangi A yra bet kuri iš viršûniø, o kiekvienai iš viršûniø egzistuoja dvi daugiakampio simetrijas, tai iš èia matyti, kad taisyklingasis n – kampis turi 2n simetrijø.

Árodyti, kad daugiau tokiø simetrijø nebus, pakanka pasinaudoti tuo, kad viršûnë atvaizduojama á viršûnê ir gaunamos vienas iš jau nagrinëtø judesiø.