ELEMENTY GEOMETRJI ANALITYCZNEJ W PRZESTRZENI

ELEMENTY GEOMETRJI ANALITYCZNEJ W PRZESTRZENI

Def:

Przestrzeni¹ R³ nazywamy zbiór wszystkich uporz¹dkowanych trójek (x,y,z) liczb rzeczywistych.  R³ =

Uwaga:

Przestrzeñ R³ bêdziemy interpretowaæ geometrycznie na trzy sposoby:

1. Zbiór wszystkich punktów P=(x,y,z) w przestrzeni. W tej interpretacji elementy przestrzeni R³ nazywamy punktami i oznaczamy dusymi literami.

z

B . . A

y

. C

x

2. Zbiór wszystkich wektorów zaczepionych  a = 0P. Wektory te maj¹ wspólny pocz¹tek O=(0,0,0) i koniec (koñce) P = (x,y,z).

z

o y

x

3. Zbiór wszystkich wektorów w swobodnej przestrzeni. Przez wektor swobodny rozumiemy tutaj zbiór wszystkich wektorów zaczepionych w rósnych punktach, które maj¹ ten sam kierunek, .zwrot oraz d³ugoœæ.

z

b a

b

y

a

x

Def:

1. Mówimy se punkty A,B,C (wektory a, b ) s¹ wspó³liniowe, jeseli istnieje prosta, do której nales¹ te punkty (w której zawarte s¹ wektory)

A . B . C . a b

2. Mówimy se punkty A,B,C,D s¹ wspó³p³aszczyznowe (wektory a b c ) jeœli istnieje p³aszczyzna, do której nales¹ te punkty (wektory)

B . . C a

b

. A . D  c

Def:

Dzia³ania na wektorach:

Niech wektor u = [x,y,z] w = [x₁,y₁,z₁] v = [x₂,y₂,z₂] oraz L I R

Sumê wektorów w i v okreœlamy wzorem : w + v = [ x₁+x₂, y₁+y₂, z₁+z₂]

z

v +w

v

w

y

x

Rósnicê wektorów w i v okreœlamy wzorem : w - v = [ x₁-x₂, y₁-y₂, z₁-z₂]

z

v

w

y

-v w - v

x

Iloczyn wektora u przez liczbê rzeczywist¹ L okreœlamy wzorem: L * u = [L*x, L*y, L*z]

Def:

Uk³adem wspó³rzêdnych w przestrzeni nazywamy trzy ustalone proste x,y,z, przecinaj¹ce siê w jednym punkcie O które s¹ wzajemnie prostopad³e. Taki uk³ad wspó³rzêdnych oznaczamy przez O_xyz, proste O_x, O_y, O_z nazywamy osiami uk³adu, a p³aszczyzny O_zy, O_xz, O_yx nazywamy p³aszczyznami uk³adu wspó³rzêdnych.

Def: (Oriêtacja uk³adu wspó³rzêdnych w przestrzeni)

W zalesnoœci od wzajemnego po³osenia osi O_x, O_y, O_z uk³adu wspó³rzêdnych wyrósniamy dwie jego oriêtacje. z z

Uk³ad Prawostronny lewostronny x

y

x y

Def:

Wektory i = [1,0,0] j = [0,1,0] k = [0,0,1] nazywamy wersorami odpowiednio

Oœ: O_x,, O_y, O_z

z

k

j

o y

i

x

Def:

D³ugoœæ wektora v = [x,y,z] jest okreœlona wzorem: IvI = x²+y²+z²

Przyk³ad: Obliczyæ d³ugoœæ wektora a = [-3,0,4]

A = (-3)²+0²+4²) = 5

Def:

Niech u, v bêd¹ dowolnymi wektorami w R³ to iloczyn skalarny tych wektorów okreœlamy wzorem: u * v ^def= IuI * IvI * cosL

Gdzie L jest k¹tem miêdzy tymi wektorami

z u

L y v

x

Wzór skalarny: Niech u = [x₁,y₁,z₁] oraz v = [x₂,y₂,z₂] bêd¹ wektorami R³

u * v = x₁*x₂+y₁*y₂+z₁*z₂

cosL = u * v

IuI * IvI

Uwaga:

Wektory u i v s¹ prostopad³e gdy u * v = 0

Def:

Iloczyn wektorowy

Niech u, v bêd¹ nie wspó³liniowymi wektorami przestrzeni R³.

Iloczynem wektorowym uporz¹dkowanej pary wektorów u i v nazywamy wektor w, który spe³nia warunki:

1. Jest prostopad³y do wektora u i v u w i v w (kierunek)

2. Jego d³ugoœæ jest równa IwI = IuI*IvI*sinL (d³ugoœæ)

gdzie L- k¹t miêdzy tymi wektorami

Orientacja trójki wektorów u, v, w jest zgodna

z orientacj¹ uk³adu wspó³rzêdnych O_xyz (zwrot).

Iloczyn wektorowy pary wektorów u i v oznaczamy przez u x v

z

u x v 

v

u

Interpretacja geometryczna iloczynu wektorowego

b

a

Ia x bI = IaI * IbI * sinL

P = IaI x IbI - Pole równoleg³oboku zbudowanego na wektorach

P ½ ( a x b ) - Pole trójk¹ta zbudowanego na wektorach

Uwaga: i j k

a x b = x₁ y₁ z₁

x₂ y₂ z₂

Przyk³ad Obliczyæ iloczyn wektorowy wektorów a = [-1,2,5] b =[2,0,-3]

i j k 2 5 -1 3 -1 2

a x b = -1 2 5 = i (-1)² 0 –3 + j*(-1)³ 2 -3 + k*(-1)⁴ 2 0 =

2 0 -3

= i (-6) – j(-7) + k(-4) = -6i + 7j – 4k = -6[1,0,0]+7[0,1,0]-4[0,0,1] =[-6,0,0]+[0,7,0]+[0,0,-4]

Obliczyæ pole trójk¹ta o wierzcho³kach: A=(1,2,3) B=(0,-1,2) C=(0,4,0)

C

P = ½ IAB x ACI

A B

AB = [0-1,-1-2,2-3] = [-1,-3,-1]   AC = [0-1,4-2,0-3] = [-1,2,-3]

i j k

AB x AC -1 –3 -1 = [11,-2,-5]

-1 2 -3

P = ½IAB x ACI = ½ 11²,(-2)²,(-5)² = ½