OPROCENTOWANIE SKŁADANE

Zasada oprocentowania składanego (złożonego) polega na tym, że po upływie każdego ustalonego okresu odsetki dodaje się do kapitału i w następnym okresie oblicza się odsetki od kapitału o zwiększonej wartości. Mówimy wówczas, że odsetki podlegają kapitalizacji.

Założenia: Okresem kapitalizacji jest okres podstawowy (zwykle jeden rok) oraz .

Po pierwszym okresie kapitał wynosi , po drugim , po trzecim, itd. Wartość kapitału po upływie n okresów jest więc równa:

Czynnik (1+i) nazywamy czynnikiem oprocentowującym.

Odsetki za rok n-ty wynoszą

Wnioski

Przyszła wartość kapitału K_n jest funkcją czasu ..

Ciąg utworzony z wartości K_n dla n=0, 1, 2, jest ciągiem

STOPA EFEKTYWNA

Stopa efektywna dla n-tego okresu wynosi przy oprocentowaniu składanym

Wniosek

W oprocentowaniu składanym efektywna stopa procentowa jest .

PORÓWNANIE ZMIAN WARTOŚCI KAPITAŁU W CZASIE PRZY OPROCENTOWANIU PROSTYM I SKŁADANYM

KAPITALIZACJA ODSETEK W PODOKRESACH

Niech m oznacza liczbę (częstotliwość) kapitalizacji odsetek w okresie podstawowym. Stopę procentową i^(m) nazywamy stopą nominalną przy m-krotnej kapitalizacji w ciągu okresu podstawowego, jeśli odsetki są doliczane do kapitału przy stopie procentowej po każdej m-tej części okresu.

Przyszła wartość kapitału po n latach jest wyrażona wzorem

Z porównania (2.1) i (2.4) otrzymujemy wzór na stopę efektywną

Twierdzenie

Skracanie okresu kapitalizacji odsetek powoduje .

Przy ustalonej stopie nominalnej d wyznaczymy graniczną wartość kapitału K_n po n latach przy kapitalizacji odsetek prowadzonej w sposób ciągły, tzn. przy .

Ponieważ

,

to stosujemy podstawienie . Ponieważ , to także . Po podstawieniu otrzymujemy

.

Wartość kapitału po n latach ciągłej kapitalizacji odsetek przy nominalnej stopie procentowej d jest więc dana wzorem

Stopę nominalną d przy kapitalizacji ciągłej nazywamy intensywnością (siłą) oprocentowania.

Biorąc pod uwagę wzory (2.1) i (2.6) można zapisać, że

PRZECIĘTNA STOPA PROCENTOWA

Niech interesujący nas okres n lat składa się z k następujących po sobie podokresów o długości takich, że oraz w każdym podokresie stopa procentowa nie zmienia się i w skali roku odpowiednio wynosi i₁, i₂, , i_k. Końcowa wartość kapitału po n latach wyniesie więc

Stopę przeciętną wyznaczymy więc z równania

Wniosek

Do obliczenia przeciętnej stopy procentowej stosujemy formułę średniej ..

DYSKONTO RZECZYWISTE SKŁADANE

Znając przyszłą wartość kapitału K_n można wyznaczyć ze wzoru (2.1) początkową wartość K_o

Wartość K_o nazywamy zdyskontowaną wartością kapitału K_n na n lat wstecz.

Czynnik nazywamy czynnikiem dyskontującym.

Wniosek

Jeśli w momencie t wartość kapitału wynosi K, to wartość aktualna w momencie t’ tego kapitału wynosi bez względu na to czy t’ > t (oprocentowujemy kapitał), czy t’ < t (dyskontujemy kapitał).

DYSKONTO HANDLOWE SKŁADANE

Niech d będzie efektywną stopą dyskontową niezależną od czasu.

Dyskontując kapitał K_n o jeden okres wstecz otrzymujemy , o dwa okresy wstecz , o trzy okresy wstecz itd. Początkowa wartość kapitału wynosi więc

W przypadku kapitalizacji w podokresach d^(m) oznacza nominalną stopę dyskontową, tzn. dyskonto potrącane jest z kapitału przy stopie dyskontowej po każdej m-tej części okresu.

Początkowa wartość kapitału wynosi więc

Porównując (2.10) i (2.11) otrzymujemy wzór na efektywną stopę dyskontową

Podsumowanie

W oprocentowaniu składanym zachodzą następujące relacje między stopami

INFLACJA

Stopa inflacji wyraża wzrost (spadek) przeciętnego poziomu cen towarów i usług w określonym czasie. Inflacja powoduje spadek (wzrost) siły nabywczej pieniądza.

Następujące stopy procentowe dotyczą okresu podstawowego

q – stopa inflacji (jeżeli ceny wzrosły, to …….., jeżeli ceny spadły, to ……..,),

i – stopa oprocentowania kapitału,

r – rzeczywista stopa wzrostu wartości kapitału (po wyeliminowaniu czynnika inflacji).

Po upływie jednego okresu kapitał początkowy K_o będzie miał wartość:

nominalną  K_o(1+i)

rzeczywistą

Posługując się stopą rzeczywistą r mamy K_o(1+r) = .

Otrzymujemy więc zależność między stopami , z której można wyznaczyć

lub

Uwaga

Rzeczywista stopa wzrostu wartości kapitału nie jest różnicą między stopą oprocentowania, a stopą inflacji.

Wnioski

Jeśli stopa inflacji jest dodatnia, to rzeczywista stopa wzrostu wartości kapitału jest ………. niż różnica stóp oprocentowania i inflacji.

Jeśli stopa inflacji jest większa od stopy oprocentowania, to rzeczywista stopa jest i rzeczywista wartość kapitału ..

Jeśli stopa inflacji jest ujemna, to rzeczywista stopa jest i rzeczywista wartość kapitału z powodu inflacji

Niech q₁, q₂, , q_n będą stopami inflacji z kolejnych n okresów o jednakowej długości.

Stopę inflacji łącznie za n okresów obliczymy więc ze wzoru

Przeciętną stopę inflacji przypadającą na jeden okres wyznaczymy z równania

otrzymując