Vibratiile libere ale structurii elastice

Vibratiile libere ale structurii elastice

1.Studiu teoretic

1.1. Pulsatiile proprii decuplate

In situatia in care limita centrelor elastice coincide cu linia centrelor de greutate, momentul static S devine zero si matricea maselor generalizate capata forma:

si sistemul devine:

Dupa cum se observa sistemul este decuplat putandu-se scrie:

Ecuatiile se pot rezolva in mod separat:

pentru prima presupunem solutia de forma

(pentru a nu avea solutia banala)

astfel

A doua ecuatie:

presupunem solutia:

solutie nebanala    

1.2.Moduri normale de vibratii

Ecuatia omogena (fara amortizare):

introducem solutia particulara de forma:

- o functie reala definita pe axa pozitiva

introducem in ecuatie:

notam:

Se poate demonstra ca este un numar pozitiv.

astfel daca

este o forma patratica iar termenii matricelor M si k sunt pozitivi.

Daca

forma patratica

1.3.Problema vibratiilor libere cu conditii initiale neomogene

Folosind rezultatele de mai sus putem nota

- valorile proprii determinate din conditia ca determinantul sa fie 0

Odata determinate valorile proprii se pot determina pulsatiile proprii cuplate.

Revenind la sistemul cu valorile proprii calculate, rezolvam sistemul si obtinem modurile proprii de miscare corespunzatoare.

Cele doua sisteme de rezolvat sunt :

Se obtin 2 moduri proprii.

2.Calcului pulsatiilor proprii decuplate si cuplate si a modurilor proprii corespunzatoare pulsatiilor cuplate

Folosind rezultatele de la metoda V-g se vor calcula valorile si vectorii proprii dupa cum urmeaza

%Pulsatiile proprii decuplate

Mo=[M 0

0 Ja];

Ko=[Kh 0

Ka];

%Matricea corespunzatoare valorilor proprii

Ac=Ko*inv(Mo);

%Valorile proprii

ome=eig(Ac);

%Astfel viteza de fluturare va fi

Vfl=ome(2)*VF;

%Si pulsatia de fluturare

Pul=ome(2)*omega;

%Pulsatiile proprii si modurile proprii cuplate

Mco=[M Sa

Sa Ja];

Kco=[Kh 0

0 Ka];

%Matricea corespunzatoare valorilor proprii

Acc=Kco*inv(Mco);

%Valorile si vectorii proprii le vom determina astfel

[Vect,Val]=eig(Acc);

for i=1:2

vect1(i)=Vect(i,1)

vect2(i)=Vect(i,2)

end

val1=Val(1,1)

val2=Val(2,2)

Rezultate :

Pulsatiile decuplate :

omeh =2.8596

omea =19.4117

Pulsatiile cuplate :

val1 =2.4122

val2 =19531

Vectorii proprii corespunzatori pulsatiilor proprii cuplate :

vect1 =0.1625 0.9867

vect2 =-0.0294 0.9996

Ecuatiile de miscare in forma normala

Vectorii proprii determinati la 1.3. ii normam in raport cu matricea maselor M.

Consideram vectorul propriu q₁ si facem produsul

este pozitiv deoarece este o forma patratica.

notam:

Pentru vectorul q₂ procedam analog:

notam:

ceea ce inseamna ca X₁ si X₂ sunt vectorii proprii normati.

Matricea X ce are drept coloane vectorii proprii normati are proprietatea ca transforma matricea maselor M in matricea unitate, dupa cum urmeaza:

iar matricea rigiditatilor se transforma intr-o matrice diagonala cu valorile proprii pe diagonala

in sistemul initial

Vectorul q se scrie ca o combinatie liniara de vectorii normati dupa cum urmeaza

unde

astfel:

doua ecuatii decuplate care se pot rezolva separat.

Dupa determinarea solutiei se revine in relatia si se determina solutia sistemului initial.

Solutiile celor doua ecuatii sunt de forma:

Cuplajul se remarca totusi la nivelul conditiilor initiale, atunci cand trecem la determinarea constantelor .

Pentru sistemul initial aveam conditiile la limita:

inlocuim

inmultim la stanga cu X^TM si rezulta

In mod analog se obtine

Astfel coeficientii se obtin de forma: