| CATEGORII DOCUMENTE |
| Aeronautica | Comunicatii | Electronica electricitate | Merceologie | Tehnica mecanica |
Analiza stArii de tensiune
Mediul continuu este un model al unui corp material care se caracterizeaza printr-o distributie continua a masei in volumul ocupat de corp. In studiul Rezistentei Materialelor, elementul de volum dv trebuie sa fie suficient de mic pentru ca sa poata fi tratat din punct de vedere matematic ca o marime infinit mica, dar suficient de mare pentru a cuprinde in interiorul lui un numar de molecule, astfel incat efectul mediei statistice a comportarii moleculelor sa fie independenta de starea individuala a moleculelor. Fortele interne infinitetezimale dintr-un mediu continuu sunt concepute, de asemenea, ca valori medii statistice ale fortelor de interactiune dintre moleculele situate de o parte si de alta a unei sectiuni. Evident, aceleasi restrictii se impun si pentru aria dA, adica aceasta trebuie sa fie suficient de mica pentru a putea fi tratata din punct de vedere matematic ca marime infinit mica si suficient de mare pentru ca forta dF ce actioneaza asupra ei sa nu depinda de starea individuala a moleculelor cuprinse in dA.
Ca urmare a cresterii sarcinilor exterioare, eforturile din interiorul corpului, fiecare din ele raspandite pe sectiunea de calcul, nu mai au capacitatea sa se opuna, astfel ca materialul corpului incepe sa se rupa in zona cea mai solicitata din sectiune. In consecinta, este interesant de vazut modul de repartizare a eforturilor RF, RM pe sectiune.
Se considera pe fata pozitiva de arie A a unei sectiuni fictive in jurul unui punct M o arie elementara dA, fig. (1), pe care este repartizat efortul elementar dRF rezultat ca urmare a discretizarii eforturilor RF si RM. Se defineste tensiunea medie ca raportul:
(1)
Fig. 1 Tensiunea medie px med
Deoarece mediul este considerat continuu, la limita obtinem tensiunea px in punctul M; prin x se indica orientarea suprafetei pe care se calculeaza tensiunea:
[MPa] (2)
Tensiunea px reflecta distributia punctuala a efortului sectional de pe suprafata de orientare x. Tensiunea dintr-un punct pentru o suprafata de orientare data este redata matematic printr-un vector; tensiunea din jurul unui punct este redata matematic printr-un tensor. Sistemul de axe se modifica odata cu orientarea suprafetei.
Daca in loc de ipoteza mediului continuu, studiul s-ar face prin prisma structurii atomice discontinue a solidului, tensiunea p va exprima variatia fortelor intermoleculare aferente unui punct la solicitarea corpului. Fiind dependenta de orientarea suprafetei, tensiunea din jurul unui punct este redata printr-un model matematic numit tensor.
Tensiunea dintr-o sectiune este definita prin doi indici: primul arata directia versorului normalei la suprafata sectiunii, al doilea indice reprezinta directia tensiunii. Daca este trecut un singur indice, acesta arata directia normalei la suprafata.
Tensiunea px dintr-un punct M situat intr-un plan, ce admite ca normala axa x, poate fi descompusa dupa normala si dupa cele doua axe din planul sectional, fig. (2 b). Proiectia tensiunii px dupa normala reprezinta tensiunea normala sx (sigma), componentele din planul sectiunii numindu-se tensiuni tangentiale t (tau), notate txz txy. Tensiunile sunt insotite de indici conform explicatiilor date anterior.
Din descompunerea tensiunii px (diagonala paralelipipedului) in tensiunile componente, se poate scrie relatia:
(3)
Fig. 2 Proiectia tensiunii px
Daca in jurul punctului M se considera o sectiune cu o alta orientare, tensiunea p capata o alta valoare si o alta directie.
Ansamblul tensiunilor corespunzatoare tuturor sectiunilor trecand prin punctul M determina starea de tensiune din jurul punctului. Aceasta poate fi exprimata considerand tensiunile de pe trei plane perpendiculare. Pentru redarea acestora pe fetele vizibile ale cubului elementar se reprezinta tensiunile in varful N, fig. (3), omolog cu M,conform fig. (4).
Fig. 3 Tensiunile din varful N al cubului elementar
din interiorul unui corp solicitat
In cadrul acestui studiu, o reflectare a ipotezei mediului continuu este evidentiata prin tensiunile tangentiale care apar simultan pe suprafete ortogonale. Pentru aceasta in sistemul de axe x, y, z se considera din punctul M un paralelipiped elementar dx dy dz supus unei stari omogene de tensiune pe intregul volum, fig. (4).
Fig. 4 Cubul elementar
Scriind ecuatia de echilibru a momentelor elementare in raport cu punctul G, se constata:
rezultantele tensiunilor normale nu creeaza moment, deoarece suportul rezultantelor trece prin G;
scriind ecuatia de momente in raport cu una din directiile sistemului ortogonal, se observa ca in echilibrul momentului orientat dupa aceasta actioneaza doar forte elementare generate de t ce sunt definite pe perechi de suprafete opuse.
Fiind o stare omogena pe intregul volum, pentru o directie data, Gy', tensiunile fiind constante pe fetele paralelipipedului elementar, se poate scrie:
; 
(4)
In mod analog, scriind 
si 
, rezulta relatiile:
(5)
Relatiile (5) exprima proprietatea de dualitate a tensiunilor tangentiale potrivit careia, fiind date doua plane normale unul pe celalalt, in interiorul unui corp, de-a lungul muchiei de intersectie a celor doua plane, componentele tensiunilor tangentiale din aceste doua plane sunt normale pe muchie, egale in modul si converg sau diverg de la muchia respectiva.
Tensiunile care iau nastere
intr-un corp nu au aceeasi valoare in fiecare punct decat in cazul unei
stari omogene de tensiuni. Presupunand ca tensiunile variaza de
la punct la punct, atunci, daca pe una din fetele elementului
actioneaza, de exemplu, tensiunile sx txy txz, fig. (5), pe fata opusa
actioneaza aceleasi tensiuni plus cresterile respective,
adica 
, 
, 
. In mod analog se stabilesc tensiunile si pe celelalte
fete.
Tensiunile dau nastere unor forte avand directia tensiunii respective si marimea egala cu produsul dintre valoarea tensiunii si suprafetele pe care actioneaza. Neglijand fortele masice, fortele care actioneaza pe cele sase fete ale elementului trebuie sa mentina elementul in echilibru.
Scriind ecuatia de proiectii pe Ox se obtine:
(6)
rezultand relatia diferentiala:
(7)
Fig. 5 Variatia tensiunilor pe cubul elementar
In mod analog, din ecuatiile de proiectii pe Oy si Oz se obtin alte doua relatii, astfel ca rezulta urmatoarele ecuatii diferentiale de echilibru:
(8)
cunoscute sub denumirea de ecuatiile diferentiale de echilibru ale lui Cauchy.
Studiul
variatiei tensiunilor in jurul unui punct urmareste stabilirea
expresiilor tensiunilor 
, 
, 
dintr-un plan oarecare
de orientare 
in functie de
tensiunile de pe suprafetele unui sistem ortogonal ales.
Expresiile tensiunilor pentru o suprafata oarecare data se stabileste astfel:
- din insumarea vectoriala a componentelor
sale determinate in baza ecuatiilor de echilibru a fortelor ce
actioneaza pe un volum elementar;
- din insumarea proiectiilor pe
directia 
a componentelor lui ;
- din calcul vectorial cunoscand si .
Se
considera un punct M dintr-un corp solicitat, fig. (6). Se izoleaza in jurul acestuia un volum
elementar de forma unui tetraedru dreptunghiular MBCD ale carui
suprafete rectangulare de marime dAx, dAy,
dAz admit versorii 
, 
, 
ai unui sistem
oarecare de axe x, y, z.
Fig. 6 Volumul elementar
Planul
secant BCD de orientare oarecare si marime 
este definit in raport
cu sistemul de axe adoptat de cosinusii directori l, m, n:
, 
, 
. (9)
Fig. 7 Tensiunile de pe fetele tetraedrului elementar
In
urma solicitarii, pe fetele tetraedrului se dezvolta tensiunile , 
, 
, 
, in fig. (7) fiind reprezentate tensiunile si , impreuna cu componentele lor. Tensiunile de pe fetele tetraedrului
studiat de versori , , , pot fi scrise
vectorial dupa axele x, y, z sub forma:
, (10)
(11)
Considerand
ca starea de tensiune este omogena si avand in vedere
componentele tensiunilor definite de (11), echilibrul fortelor elementare
pe fiecare directie se scrie tinand cont de (10) si de 
, sub forma:
(12)
Inlocuind
in relatia (12) expresiile (9), dupa simplificari rezulta
valoarea componentelor tensiunii pentru o orientare oarecare 
in raport cu orientarea initiala , , (x, y,
z).
(13)
Deoarece dimensionarea structurilor metalice se face si prin folosirea calculului matricial, expresia (13) mai poate fi scrisa sub forma:
, (
14)
sau:
, (
15)
unde:
. (
16)
Relatia
(14) permite caracterizarea printr-o singura expresie a starii de
tensiune din punctul considerat prin intermediul notiunii 
, numita tensorul tensiunilor.
. (
17)
Cum
si 
sunt matrice
coloana asociate unor vectori, relatia (15) arata ca este o matrice
asociata unui tensor, simetric de ordinul al II-lea. Avand in vedere
relatia de reciprocitate a tensiunilor tangentiale, se constata
ca aceasta matrice este simetrica. De asemenea, infinitatea de
tensiuni din jurul punctului M este perfect definita, pentru o
orientare data, de sase marimi algebrice distincte 
, 
, 
, 
, 
, 
.
De
remarcat ca in matricea Ts coloanele reprezinta componentele tensiunii , , de pe suprafetele
rectangulare date, definite de versorii , , relatia (11).
Tensorul tensiunilor, relatia ( 17), este util in determinarea tensiunii
periculoase si a directiei pe care aceasta actioneaza.
Cu ajutorul relatiilor ( 13) se
determina vectorul care reprezinta tensiunea totala. Inseamna
ca tensiunea de pe o suprafata de orientare are valoarea:
. (18)
Daca se face proiectia componentelor lui pn
(pnx, pny, pnz) dupa
axa normala pe planul
secant, rezulta tensiunea :
. (19)
Introducand in (19) expresiile din ( 13), se obtine:
. (20)
Tensiunea
tangentiala , cealalta componenta ortogonala a lui , fig. (7), situata in planul secant, se determina
cunoscand , astfel:
. (21)
Studiul tensiunilor are ca scop stabilirea valorilor extreme in jurul punctului considerat. In cazul tensiunilor normale, acestea se determina asimiland relatia (20) cu o suprafata de gradul II.
Din geometria analitica se cunoaste
ca prin rotirea axelor de coordonate se ajunge intr-o pozitie in care
cosinusii directori au o valoare l', m', n',
situatie pentru care termenii dublului produs (ce contine tensiunile t) din relatia mentionata sunt nuli. Deoarece 
, 
rezulta ca
exista un sistem de axe x, y, z in raport cu care
tensiunile tangentiale din relatia (20), ,, sunt nule. Axele in
aceasta situatie reprezinta directiile principale (axele
principale) si se noteaza cu
1, 2, 3. Planele ortogonale corespondente se numesc plane principale, iar
tensiunile normale de pe aceste plane se numesc tensiuni normale principale
(deoarece numai asupra lor se distribuie intreaga stare de tensiune) care, in
ordinea marimii lor algebrice, respecta conditia:
, (22)
in care:
- tensiunea
normala maxima;
- tensiunea
normala minima in planul 12;
dar tensiune normala
maxima in planul 23;
- tensiunea
normala minima.
Pe
fiecare dintre planele principale 1, 2, 3 tensiunea pn se
manifesta numai sub forma uneia dintre tensiunile normale principale 
. Prin urmare relatiile de echilibru ( 13) se scriu:
(23)
Se observa ca tensiunea totala intr-un punct prin componentele sale poate fi determinata si numai functie de tensiunile normale principale ( 23).
Determinarea tensiunii principale se face egaland expresia tensiunii pn scrisa pentru directiile oarecare x, y, z, ( 13) cu cea scrisa pentru directiile principale 1, 2, 3 (23).
. (24)
Datorita
relatiei fundamentale a cosinusilor directori 
, sistemul (24) nu admite solutia banala 
, astfel ca rezulta conditia (25):
. (25)
Determinantul (25)
exprima o ecuatie de gradul III in ale carei
radacini 
sunt functie de
starea de tensiune si nu depind de sistemul de axe initial adoptat.:
. (26)
In consecinta, chiar daca axele se rotesc, coeficientii ecuatiei (26) I1, I2, I3 raman invariabili. Acestia se numesc invariantii starii de tensiune avand valorile:
, (27)
, (28)
, (29)
unde 
este determinantul
matricii asociate tensorului scris pe
directiile principale 1, 2, 3 avand forma:
. (30)
Prin prisma tensiunilor normale principale, relatia (20) se scrie sub forma:
, (31)
unde l, m, n reprezinta cosinusii directori ai directiilor principale.
Daca se
considera cate doua din ecuatiile sistemului (24) in care s-au
introdus solutiile si formand un nou
sistem in care este cuprinsa si relatia fundamentala a
cosinusilor directori, rezulta pe rand valoarea cosinusilor
directori l, m, n.
In raport de valorile ce le capata invariantii, starea de tensiune poate fi:
spatiala,
cand 
, 
, 
, de unde 
, 
, 
;
plana, cand
unul din invarianti are valoarea zero, de exemplu , 
, , de unde , 
, ;
liniara, cand , , 
, de unde , , 
.
Determinand
tensiunile , ecuatiile (23) sunt verificate de solutiile
obtinute folosite corespunzator, astfel:
(32)
Inlocuind cosinusii directori din relatia (32) in relatia fundamentala a acestora, rezulta:
. (33)
Marimile
, 
, 
pot fi considerate ca
niste coordonate ale tensorului tensiunii totale pn ce
descrie un elipsoid ale carui semiaxe sunt tensiunile normale , fig. (8).
Fig. 8 Elipsoidul tensiunilor
Odata determinate directiile tensiunilor normale principale intr-un punct, s-a pus problema orientarii acestora in punctele invecinate. Una din posibilitatile de evidentiere a acestor orientari este prin fotoelasticitate, metoda de investigare bazata pe principiile opticii experimentale. Astfel se pot determina izoclinele, locul geometric al punctelor din plan in care tensiunile normale principale au o directie constanta. Izoclinele pot fi folosite si pentru trasarea traiectoriilor tensiunilor normale principale, numite izostatice. Liniile izostatice sunt curbele care se bucura de proprietatea ca tangentele in fiecare punct coincid cu una din directiile principale, prin fiecare punct trecand doua curbe reciproc ortogonale.
Prin prisma relatiei (21), se
poate deduce expresia tensiunilor tangentiale maxime mai simplu, deoarece
tensiunile si pot fi exprimate
si functie de tensiunile normale principale, asa cum s-a
aratat in paragraful precedent.
In plus, de regula se cunoaste unul din planele principale care trece prin punctul studiat, astfel ca celelalte doua plane principale se determina dintr-o familie de plane ortogonale pe planul principal identificat.
Prin prisma premizelor prezentate se
considera cubul lui Cauchy, fig. (9), orientat dupa axele principale
(
) din care se decupeaza o prisma
dreptunghiulara, fig. (10). Aceasta se obtine ducand un plan oblic ce
ramane tot timpul paralel cu una din axele principale (axa y in
cazul prezentat), indiferent de marimea unghiului de inclinare a. Pentru reprezentarea din fig. (9), versorul suprafetei oarecare (a nu se confunda versorul
suprafetei oarecare cu cosinusul director n)
formeaza cu versorul al axei z,
axa de referinta (pentru inaintarea surubului drept
dupa axa y, axa z este cea care se suprapune peste axa x,
x-y-z-x-y),
unghiul oarecare a. Pentru acest caz, cosinusii
directori au valorile, fig. (9):
,
,
.
Fig. 9 Sectiune prin cubul lui Cauchy
Reprezentare valabila pentru cazul
in care tensiunea pn este in planul vertical (m =
0)
Fig. 10 Prisma dreptunghiulara decupata
Studiul
se face in continuare pentru cazul general unde si 
. Daca se cunosc tensiunile normale principale,
tensiunea totala , prin inlocuirea relatiei (32) in relatia (18),
capata forma:
. (34)
Cunoscand
calculat conform
relatiei (31), tensiunea tangentiala, relatia (21), se
poate calcula functie de tensiunea normala principala:
(35)
Rezulta:
(36)
Inlocuind
unul din cosinusii directori prin ceilalti doi 
rezulta:
. (37)
Pentru determinarea tensiunii tangentiale maxime, se anuleaza derivata partiala a expresiei (37) in raport cu l, respectiv cu n:
; (38)
. (39)
In cazul general, cand 
, ecuatiile obtinute pot fi simplificate prin
impartire cu diferenta tensiunilor principale, iar dupa o
transformare simpla se pot scrie sub forma:
. (40)
Solutia 
trebuie
eliminata, deoarece ea corespunde directiei axei Oy. Nu este
posibil nici cazul 
, deoarece, simplificand ecuatiile (40) prin l,
respectiv n si scazand una din alta, se obtine 
, ceea ce contravine conditiilor initiale puse.
Astfel, raman doua posibilitati si anume:
- 
si 
, cand rezulta din prima ecuatie 
, , 
;
- 
si 
, cand rezulta din a doua ecuatie , 
, .
Prin derivare in raport cu m, se obtine in mod asemanator inca o solutie:
, 
, . (41)
Inseamna ca valorile extreme ale tensiunilor tangentiale
apar in plane ale caror normale fac unghiuri egale (
) cu cate doua din directiile principale 1, 2, 3
si sunt paralele cu cea de a treia, fig. (11). In aceste reprezentari
unghiul oarecare 
este reprezentat
separat pentru fiecare pereche de plane. Astfel in planul secant determinat de
planele principale 1 si 2 (si paralel cu directia 3) s-au notat
cu 4 si directiile ce determina planele in care se dezvolta
tensiunile tangentiale maxime pentru situatia prezentata. Analog
s-au notat cu 5 si si cu 6, respectiv 6 directiile dupa care se dezvolta celelalte tensiuni tangentiale
maxime.
Fig. 11 Planele in care se dezvolta tensiunile tangentiale extreme
Inlocuind in relatia (36) solutiile obtinute pentru cosinusii directori, rezulta valorile extreme ale tensiunilor tangentiale:
; 
; 
, (42)
egale asadar cu semidiferenta tensiunilor principale. Alaturi de ele, pe aceste plane in care se dezvolta tensiunile tangentiale extreme, actioneaza si tensiuni normale, egale cu semisuma tensiunilor principale:
; 
; 
. (43)
Spre exemplu, in cele doua
plane inclinate cu (planul 6), respectiv 
(planul 6')
fata de directia lui , in planul (1, 3) se dezvolta tensiunea
tangentiala 
cat si tensiunea
normala 
, respectiv 
, 
. Evidentierea tensiunilor tangentiale maxime tmax este redata in fig. (12) pentru
cazul planelor ce contin directiile 3, 6, 1, 6'.
Tensiunea
tangentiala maxima corespunde semidiferentei celei mai mari
dintre tensiunile principale. Daca 
, atunci:
. (44)
Fig. 12 Tensiuni tangentiale maxime
6 Tensiuni octaedrice
Planele egal inclinate fata de directiile principale 1, 2, 3 se numesc plane octaedrice, la care cosinusii directori au aceeasi valoare:
. (45)
In
acest plan se dezvolta tensiunile octaedrice 
si 
, fig. (13).
Din relatia (34) rezulta expresia tensiunii totale octaedrice:
, (46)
iar din relatia (20) tensiunea normala octaedrica:
, (47)
egala ca valoare cu media tensiunilor normale principale din punctul considerat.
Fig. 13 Tensiuni octaedrice
Prin
prisma tensiunilor normale octaedrice, relatia (47), tensorul tensiunilor
scris pe directiile principale 
se poate descompune in
doi tensori de forma:
, (48)
unde:
, (49)
este numit tensor sferic al tensiunilor, iar:
, (50)
este numit tensor deviator al tensiunilor.
Se poate calcula si tensiunea tangentiala octaedrica:
. (51)
Dupa inlocuire rezulta:
. (52)
Functie de tensiunile tangentiale principale, tensiunea tangentiala octaedrica are valoarea:
. (53)
7 Expresiile tensiunilor pentru starea plana
Starea plana de tensiuni se poate deduce din starea spatiala prin anularea parametrilor caracteristici uneia din directii. Pentru aprofundarea fenomenului se face in continuare un studiu independent al starii plane de tensiune. Dealtfel, in majoritatea cazurilor practice, unul din planele principale in punctul studiat poate fi indicat de la inceput; celelalte doua plane se determina din familia de plane perpendiculare pe primul, stabilirea orientarii acestora facandu-se in studiul starii plane.
Se considera un corp sub forma de placa de grosime constanta, solicitat in planul median zx. Se considera un punct M in interiorul corpului, iar in jurul acestuia o prisma triunghiulara elementara cu inaltimea de marimea grosimii. Sarcinile actioneaza in planul zx conform fig. (14).
Ca si in starea spatiala problema este de a determina tensiunile de pe o suprafata elementara dAn in raport cu tensiunile de pe doua suprafete ortogonale dAx si dAz, cazul solicitarii in planul zx, fig. (15). Suprafetele elementare reprezinta ariile laterale ale prismei; suprafata dAn facand unghiul a oarecare cu planul orizontal xy. Tensiunile sn si tn din starea spatiala se regasesc in tensiunile sa si ta, tensiuni dependente de unghiul a pentru o solicitare data.
Fig. 14 Planul de actiune al sarcinilor
Intre suprafetele laterale ale prismei exista relatiile:
(54)
Fig. 15 Suprafata elementara
Din conditia de echilibru
dupa axa , fig. (15), rezulta:
. (55)
Inlocuind relatia (54) in (55) si simplificand prin dAn rezulta:
. (56)
Se observa ca functiile trigonometrice ale unghiului a se pot transcrie pentru a nu avea produs de functii trigonometrice sub forma cosinusilor directori ai suprafetelor astfel:
, 
, m = 0 (
y) (57)
Punand conditia m = 0 in relatia (20), rezulta aceeasi expresie a tensiunii normale in starea plana, relatia (56):
. (58)
Studiul functiei tensiunii sa se face mai usor pentru cazul in care functia trigonometrica se scrie functie de argumentul 2a. Rezulta:
, (59)
sau:
. (60)
Din conditia de echilibru
dupa axa 
, fig. (15), rezulta:
. (61)
Inlocuind relatia (54) in (61) si simplificand prin dAn rezulta:
. (62)
Scriind relatia (62) pentru argumentul 2a, rezulta:
. (63)
Orientarea planelor principale 1 si 3, ce definesc tensiunile normale maxime si minime, sub un unghi as, este data de solutia obtinuta prin anularea derivatei functiei (60):
. (64)
Se observa ca in cazul plan se regaseste conditia dedusa pentru starea spatiala in care tensiunile tangentiale sunt nule pe directiile tensiunilor normale principale.
Din relatia (64) rezulta:
. (65)
Intrucat functia tangenta determinata de parametrii sx sz tzx, perpendiculari intre ei, are perioada p, rezulta ca pe un cerc intreg sunt doua solutii, 2a si 2a , decalate intre ele cu p. Se observa ca directiile principale 1 (a ) si 3 (a ) formeaza un unghi drept intre ele.
Procedand in mod similar asupra functiei (63) se obtine orientarea planelor principale 6 si 6', sub unghiul at, pentru tensiuni tangentiale extreme:
. (66)
Rezulta:
. (67)
Directiile 6 (a ) si 6' (a ) sunt rectangulare din aceleasi considerente exprimate pentru directiile 1 si 3.
Ecuatia (67) este reciproca si negativa in raport cu ecuatia (65):
. (68)
Relatia
(68) arata ca valorile argumentului 2a determinate in cele doua situatii (67, 65) sunt decalate
intre ele cu p. Inseamna ca directiile [1
(a ) si 3 (a )] si [6 (a ) si 6' (a )] formeaza intre ele unghiuri de .
Daca
in relatia tensiunilor normale s (60) se
inlocuiesc functiile 
si 
prin functia 
exprimata pentru
directiile principale si anume:
(69)
rezulta expresia tensiunilor normale principale:
. (70)
Semnul plus din fata radicalului este asociat tensiunii s , semnul minus este corespunzator tensiunii s
Adunand tensiunile normale principale rezulta:
(invariantul
starii de tensiune). (71)
Procedand ca mai inainte pentru expresia tensiunilor tangentiale t (63) prin folosirea relatiei (67) se obtine:
. (72)
Rezulta ca tensiunea tangentiala maxima are aceeasi valoare cu cea minima in concordanta cu legea dualitatii tensiunilor tangentiale pentru doua suprafete ortogonale.
Din compararea relatiilor (71) si (72), se observa ca t se mai poate exprima sub forma:
. (73)
Inlocuind relatia (67) in relatia (60), rezulta ca, in planele in care actioneaza tensiunile tangentiale extreme, tensiunea normala are valoarea:
. (74)
Pentru redarea imaginii starii plane de tensiune (planul zx) a unui punct, se procedeaza astfel, fig. (16):
se considera in jurul unui punct M un cub elementar supus unei stari plane si omogene de tensiune sx sz txz tzx, reprezentat in planul solicitarii prin suprafata hasurata de laturi dx, dz (pentru simplificarea figurii nu s-au reprezentat tensiunile);
suprafata
studiata rotita fata de axa z cu unghiul a dupa o directie oarecare pe
care se dezvolta tensiuni sa si ta
se reprezinta la o scara mai mica;
prin rotirea
elementului (suprafetei) studiate cu unghiul as as reprezentat la o scara si mai
mica se obtin directiile principale 1 si 3; pe
colturi, perpendicular pe diagonale, s-au reprezentat suprafetele ce
au versorii dupa directiile principale 6 si 6', rotite cu fata de directiile 1 si 3.
Fig. 16 Starea plana de tensiune
In starea plana de tensiune, daca asupra elementului studiat actioneaza numai tensiuni tangentiale extreme, solicitarea se numeste forfecare pura. Astfel, din relatia (74), punand conditia ca pe directia principala 6 tensiunea normala sa fie nula, rezulta:
, de unde 
. (75)
de unde, conform
relatiei (60), se obtine 
.
Inseamna
ca pe directiile principale 1 si 3 rotite la , fata de starea de forfecare pura,
exista o stare echivalenta (reprezentarea s-a facut la o
scara mai mica) in care tensiunile normale sunt egale si de sens contrar, fig. (17).
Fig. 17 Starea de forfecare pura
Cercul
lui Mohr este o reprezentare geometrica a relatiilor intre tensiunile
si 
pentru starea
plana sau spatiala de tensiune.
In planul zx relatiile (60) si (63) definesc un cerc, ceea ce se poate demonstra rescriindu-le astfel:
(76)
(77)
Ridicand la patrat cele doua ecuatii si adunandu-le, obtinem:
(78)
De
remarcat ca 
sunt constante ce
reprezinta o stare de tensiune data; si reprezinta
variabilele. Rezulta ca 
este o constanta C,
iar membrul din dreapta al ecuatiei (78) este o alta constanta, R.
Folosind aceste notatii, ecuatia (78) devine:
(
79)
Ecuatia
(79) reprezinta, in sistemul de coordonate 
, un cerc cu raza:
, (80)
al carui
centru este deplasat la dreapta, fata de origine, pe axa cu distanta OC
care are marimea constantei C:
. (81)
Fig. (18)
reprezinta cercul lui Mohr pentru o stare plana de tensiune. Centrul C
reprezinta media tensiunilor normale, iar raza R este ipotenuza
triunghiului dreptunghic CDM. Prin punctele E,F,G sunt redate tensiunile extreme
, 
, 
.
Fig. 18 Cercul lui Mohr
Punctele M de
pe cerc redau proprietatile starii plane de tensiune. Spre
exemplu, se poate observa ca tensiunea tangentiala maxima
este egala cu raza cercului, deci cu semidiferenta tensiunilor
principale si corespunde unui unghi 
fata de
directiile principale de solicitare.
Starea plana de tensiune poate avea mai multe cazuri particulare, dupa cum urmeaza:
Starea liniara
de tensiune cand 
(78). Ea se produce in
barele drepte solicitate la intindere sau compresiune uniaxiala si in
cazul incovoierii pure:
. (82)
Fig. 19 Cercul lui Mohr pentru starea liniara
Reprezentarea s-a facut pentru 
; pentru 
(cercul se afla
in partea stanga).
Starea de forfecare
pura daca 
(78). Ea se
realizeaza in barele solicitate la forfecare pura sau torsiune:
(83)
Fig. 20 Cercul lui Mohr pentru starea de forfecare pura
Starea de tensiune
cu 
, 
. In acest caz tensiunile 
sunt dirijate in
lungul directiilor principale de solicitare. Aceasta stare se
produce, in mod aproximativ, in peretele unui cazan solicitat de o presiune
interioara:
, 
(84)
Fig. 21
Cercul lui Mohr pentru cazul ,
In mod asemanator ca in starea
plana de tensiune, tensiunile in starea spatiala se
reprezinta in sistemul de referinta prin trei cercuri ale
lui Mohr in planele normale pe cele trei axe principale, fig. (22).
Fig. 22 Cercul lui Mohr pentru starea spatiala
P 1 Intr-un anumit punct dintr-un
corp solicitat, tensiunile principale sunt 
MPa si 
MPa. Sa se
determine tensiunile normale si tangentiale corespunzatoare planelor
a caror normale fac unghiurile de
si 
cu axa x.
Pentru rezolvarea problemei, se
ilustreaza starea de tensiune data, in fig. (P.1.1). Stiind
ca MPa si t = 0, se obtine punctul A (80,0). Similar rezulta B
(-40,0). Se traseaza cercul cu diametrul 
. Sub un unghi 
, se duce dreapta DE, in care punctul D are
coordonatele (
,
), iar punctul E are coordonatele (
,
).
Prin urmare:
iar pe planul perpendicular:
Fig. P.1.1
Tensiunile
normale si tangentiale corespunzatoare planelor cu normale de si fata de axa x
sunt reprezentate in fig. (P.1.2).
Fig. P.1.2
10 Starea liniara de tensiune
Starea liniara de tensiune se caracterizeaza prin faptul
ca, indiferent de orientarea sectiunii de calcul, tensiunile se
dezvolta pe o aceeasi directie. Este caracteristica
solicitarii axiale a barelor. Bara fiind solicitata dupa axa x,
inseamna ca, oricare ar fi orientarea suprafetei de calcul pn 
pnx,
axa x este pe directia principala 1. Planul ortogonal pe
directia pe care se dezvolta tensiunile normale principale s are tensiunile tangentiale nule.
Starea liniara de tensiune se deduce simplu din starea plana prin anularea parametrilor caracteristici uneia din directii. Tratarea analitica prezentata in continuare se abordeaza pentru o intelegere mai usoara a solicitarilor simple.
Se considera o bara solicitata axial si un punct M in interiorul acesteia in jurul caruia se decupeaza o prisma triunghiulara, fig. (23).
Fig. 23 Bara solicitata axial
Pentru
starea liniara de tensiune, la fel ca si in celelalte stari
studiate, problema este de a determina tensiunea 
(prin componentele sale 
si 
) de pe o suprafata
elementara dAn oarecare, in raport cu tensiunea de pe o
suprafata ortogonala pe directia solicitarii dAx
(avand in vedere orientarea solicitarii si a suprafetei, 
). Pentru elementul studiat, fig. (24), relatiile intre
caracteristicile geometrice sunt aceleasi ca in cazul plan.
Fig. 24 Suprafata elementara
Din conditia
de echilibru dupa axa rezulta:
, (85)
.
(86)
Aceasta relatie se obtine direct din starea:
spatiala, punand conditiile m = 0, sz tzx
;
plana, punand conditiile sz tzx
.
Din conditia
de echilibru dupa axa rezulta:
, (87)
.
(88)
Relatia se obtine direct din starea plana punand conditiile sz tzx
. (89)
Tensiunile principale se deduc anuland derivata expresiilor tensiunilor. In cazul tensiunilor normale:
(90)
Se observa ca si pentru starea liniara pe directia tensiunilor normale principale, tensiunile tangentiale sunt nule. Sintetizand cele prezentate, se poate scrie pn = pnx = sx s s. In solicitarea axiala tensiunea normala se simbolizeaza simplu s fara indice.
Inlocuind valorile lui a deduse in expresia lui sa (74), rezulta s si s
Se verifica invariantul tensiunilor
normale: 
Determinarea tensiunii tangentiale extreme se face prin anularea derivatei functiei tensiunii ta
(91)
Inlocuind valorile lui a pentru directiile principale 6 si 6' in expresia lui ta (88), rezulta t si t . Tensiunile normale pe aceste directii se determina prin folosirea relatiei (86):
Se
verifica dualitatea tensiunilor tangentiale: 
.
Pentru redarea imaginii starii liniare de tensiune (planul zx) din jurul unui punct, se procedeaza astfel:
se reprezinta cubul elementar din jurul punctului M prin fata din planul zx;
se studiaza
cazul pentru suprafetele orientate cu unghiurile si ;
la o scara mai
mica se reprezinta elementul studiat pentru .
Fig. 25 Starea liniara de tensiune
Fig. 25 Starea liniara de tensiune
|
Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare |
Vizualizari: 2549
Importanta: 
Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2024 . All rights reserved
