CATEGORII DOCUMENTE |
Aeronautica | Comunicatii | Electronica electricitate | Merceologie | Tehnica mecanica |
Dinamica rigidului
1. Dinamica rigidului cu axa fixa
1.1. Formularea problemei
Se considera un solid rigid ( C ) avand doua
puncte, si
, fixate (adica dreapta
este imobila).
Presupunem ca asupra rigidului actioneaza un sistem de
forte exterioare arbitrare
, care pot fi inlocuite cu torsorul
. Sub influenta acestor forte rigidul va
capata o miscare de rotatie in jurul axei
(figura T 1).
Figura T 1
A cunoaste miscarea rigidului inseamna a
cunoaste legea , unde
. In plus, importante vor fi reactiunile
si
ce apar in punctele
fixe (articulatiile sferice)
si
.
Studiul miscarii va fi facut in raport cu
triedrele triortogonale (fix) si Oxyz (mobil,
solidar cu rigidul) avand
, axele
(axa de rotatie
) si centrul de masa C al rigidului continut
in planul mobil Oxz.
Notand
cu si
proiectiile reactiunilor
si
pe axele reperului
mobil, necunoscutele problemei sunt in numar de 7 si anume:
,
,
.
1.2. Studiul miscarii rigidului
Se utilizeaza teorema energiei cinetice si a
lucrului mecanic in raport cu punctul fix . Fortele de legatura
si
si rezultanta
a fortelor
exterioare nu dau lucru mecanic deoarece punctele
si
sunt fixe.
Lucrul mecanic elementar produs de este egal cu:
(1)
Rigidul are o miscare de rotatie astfel incat energia cinetica are expresia:
(2)
Din (1), (2) si (15.51) gasim:
sau
(3)
deoarece .
Integrarea ecuatiei diferentiale (3), unde , permite obtinerea legii de miscare
.
1.3. Determinarea reactiunilor
Pentru obtinerea reactiunilor si
se aplica
teoremele impulsului si momentului cinetic.
Teorema impulsului. Notand cu proiectiile
rezultantei
a fortelor
exterioare pe axele reperului mobil Oxyz, teorema impulsului
(relatia 15.?) capata forma:
(4)
sau, in proiectie pe axele reperului mobil Oxyz,
,
,
(5)
Dar
astfel incat:
(6)
Din (5) si (6) obtinem sistemul:
(7)
Teorema momentului cinetic in raport cu punctul fix
. Din (15.?) gasim ca:
(8)
Notand
cu proiectiile
momentului rezultant al fortelor exterioare in raport cu punctul
, observand ca
si ca:
(9)
unde , din (8) obtinem prin proiectii pe axele reperului
Oxyz ecuatiile:
(10)
Dar (vezi relatia 15.?)
astfel incat:
(11)
Din (10) si (11) rezulta sistemul:
(12)
Observatie: Ultima ecuatie a sistemului
(12) coincide cu ecuatia de miscare (3). Pentru determinarea
componentelor reactiunilor si
avem la
dispozitie doar cinci ecuatii (ecuatiile (15.8) si primele
doua ecuatii (12)) astfel incat o componenta a reactiunilor
(
sau
) ramane nedeterminata. In practica, pentru
inlaturarea acestei nedeterminari se inlocuieste
articulatia sferica din
cu una cilindrica
(
= 0). Din ultima relatie (7) se obtine ca
.
1.4. Echilibrarea rotorilor
Un solid rigid aflat in miscare de rotatie
poarta numele de rotor. In
practica se doreste ca reactiunile si
din lagarele
articulatiilor sa fie cat mai mici pentru ca uzura materialelor din
care acestea sunt confectionate sa fie cat mai redusa. Din
ecuatiile (7) si (12) se observa ca aceste reactiuni
depind de miscare prin factorii
si
, putand lua teoretic valori foarte mari. Se pune in mod
firesc intrebarea daca este posibil sa se ia masuri astfel incat
cresterea modulului vectorului viteza unghiulara sa nu
aiba ca urmare cresterea intensitatilor componentelor
normale la axa fixa, corespunzatoare celor doua forte ce
imobilizeaza axa.
Sa consideram sistemul de ecuatii ce ar corespunde starii de repaus a rigidului, adica sistemul obtinut din (7) si (12) pentru:
deci si pentru :
,
,
,
Reactiunile corespunzatoare starii de
repaus au fost notate cu ,
si se numesc reactiuni statice. Reactiunile
corespunzatoare starii de miscare se numesc reactiuni dinamice si vor fi notate prin
,
. Ele se determina din sistemul format din
ecuatiile (7) si (12).
In practica exista interesul de a realiza rotori la care reactiunile dinamice sa fie egale cu cele statice, adica rotori pentru care miscarea nu influenteaza intensitatea reactiunilor. Un asemenea rotor se numeste echilibrat.
Conditiile pentru ca un rotor sa fie echilibrat se obtin inlocuind, in sistemul ce rezolva problema dinamicii rigidului cu axa fixa, reactiunile dinamice cu cele statice:
,
(14)
Din (13) si (14) rezulta:
Deoarece, in general, si
, din primele doua relatii (15) obtinem o
prima conditie pentru echilibrajul rotorilor:
(16)
Aceasta inseamna ca axa de rotatie trebuie sa fie axa centrala, adica sa contina centrul de masa C. Un rotor pentru care este indeplinita conditia (16) se numeste echilibrat static.
A treia si a patra relatie (15) formeaza
un sistem liniar si omogen in necunoscutele si
. Cum
si
, acest sistem va trebui sa aiba si solutii
nenule, conditie indeplinita daca determinantul sau este
nul:
(17)
Din (17) gasim ca axa de rotatie Oz va trebui sa fie axa principala de inertie. Un rotor pentru care este indeplinita aceasta conditie se numeste echilibrat dinamic. In concluzie, pentru ca un rotor sa fie echilibrat atat static cat si dinamic este necesar si suficient ca axa de rotatie sa fie axa centrala si principala.
2. Dinamica rigidului cu un punct fix
2.1. Formularea problemei
Sa consideram un solid rigid avand punctul O
fix si care este supus actiunii unui sistem de forte exterioare
oarecare, care se reduce in O la torsorul .
Rigidul are in O o articulatie sferica care se
inlocuieste, in conformitate cu principiul actiunii si
reactiunii, cu reactiunea , de modul si directie necunoscuta (figura T 2).
Studiul miscarii in jurul punctului fix O se face in raport cu
doua sisteme de referinta si anume:
sistemul fix avand originea in O (
);
sistemul mobil Oxyz,
solidar cu rigidul, avand axele Ox, Oy si Oz axe principale
de inertie in raport cu punctul O. Pozitia rigidului in raport cu
reperul fix este determinata de unghiurile lui Euler si
(vezi Cinematica,
capitolul 8).
Miscarea rigidului este cunoscuta daca sunt cunoscute functiile:
(18)
Pe
langa aceste necunoscute mai este necesar a fi determinate si
componentele reactiunii pe axele reperului
mobil Oxyz, astfel incat necunoscutele problemei sunt in numar de
sase.
Figura T 2 Figura T 3
2.2. Deducerea ecuatiilor de miscare. Relatii intre componentele vectorului viteza unghiulara instantanee si unghiurile lui Euler.
Pentru studiul miscarii se utilizeaza
teorema momentului cinetic in raport cu punctul fix O. Deoarece suportul
reactiunii contine punctul O
aceasta forta nu da moment fata de O.
Din (15.28) obtinem:
(19)
Am considerat ca Ox, Oy si Oz sunt axe principale de inertie astfel incat expresia momentului cinetic este:
unde sunt momentele de
inertie principale in raport cu punctul fix O.
este un vector
raportat la axele sistemului mobil, deci:
Notand prin si
componentele
momentului rezultant
al fortelor
exterioare, din (19) si (20) se obtine sistemul ecuatiilor
diferentiale ale miscarii:
(21)
cunoscute si sub numele de ecuatiile lui Euler pentru un rigid cu un punct fix.
Pentru integrarea ecuatiilor (21) sunt necesare
relatiile de legatura dintre componentele vectorului viteza
unghiulara si unghiurile lui
Euler
si
. Unghiurile
si
sunt independente,
modificarea unuia neafectand valorile celorlalte doua. Variatiei
fiecarui unghi ii corespunde o rotatie independenta de viteza
unghiulara
, respectiv (figura T 3). O rotatie in jurul axei
determina doar
variatia unghiului
, vectorul viteza unghiulara corespunzator
avand directia axei
si scalarul
. O rotatie in jurul axei Oz determina doar
variatia unghiului
, vectorul viteza unghiulara corespunzator
fiind orientat pe Oz si avand scalarul
. In fine, o rotatie in jurul dreptei nodurilor ON
determina numai modificarea unghiului
. Vectorul viteza unghiulara corespunzator are
directia ON si scalarul
.
Compunand vectorii viteza unghiulara corespunzatori
celor trei rotatii se obtine vectorul viteza unghiulara . Astfel:
(22)
unde este versorul axei
nodurilor.
Dreapta apartine planului
(ON 'z), unde
, astfel incat:
Deoarece , obtinem:
(23)
In plus,
(24)
Din (22) - (24) rezulta componentele vitezei
unghiulare pe axele reperului
mobil Oxyz:
(25)
Functiile se obtin
rezolvand sistemul (21), cu
date de (25) si
,
,
. Integrarea sistemului (21) nu a putut fi realizata
pentru orice set de conditii initiale decat in trei cazuri
particulare si anume:
i) Cazul
Euler - Poinsot : Se considera ca (adica
). O astfel de situatie se obtine in cazul unui
rigid actionat numai de propria greutate si suspendat in centrul de
masa.
ii) Cazul Lagrange
- Poisson : Se considera ca centrul de masa se afla pe axa
mobila Oz si ca
. Rigidul este actionat numai de propria greutate.
iii) Cazul Sofia
Kovaleskaia : Centrul de masa se afla in planul Oxy ,
iar rigidul este actionat
doar de propria greutate.
2.3. Determinarea reactiunii
Reactiunea se obtine prin
aplicarea teoremei impulsului:
(26)
Dar si
astfel incat, din (26), gasim:
2.4. Giroscopul. Stabilitate. Efect giroscopic.
Miscarea de precesie regulata. Moment giroscopic.
2.4.1. Generalitati
Giroscopul este un
corp de revolutie avand un punct fix O si care se roteste cu
viteza unghiulara foarte mare in jurul axei sale de simetrie (ce
contine punctul O). Se considera in plus ca momentul de
inertie (principal) in raport cu axa de simetrie, notat , este mult mai mare decat celelalte doua momente de
inertie principale
si
(egale intre ele):
(28)
Giroscopul poate fi:
a) Giroscop centrat - daca punctul fix O coincide cu centrul de masa C si singura forta ce actioneaza asupra rigidului este propria greutate;
b) Giroscop necentrat - daca centrul de masa nu coincide cu punctul fix O dar se afla pe axa de simetrie a acestuia iar singura forta ce actioneaza asupra rigidului este propria greutate.
2.4.2. Stabilitatea giroscopului centrat
Giroscopul centrat reprezinta o particularizare a cazului Euler - Poinsot. Suspendarea giroscopului se realizeaza printr-o suspensie cardanica ce permite rotirea simultana a lui in jurul a trei axe perpendiculare intre ele si concurente in punctul O (care coincide cu centrul de masa). Axa de simetrie se considera a fi axa Oz a triedrului mobil, solidar cu giroscopul.
Deoarece momentul singurei forte care
actioneaza asupra rigidului (propria greutate) in raport cu punctul
fix O este nul si ecuatiile lui
Euler (21) devin:
(29)
Din obtinem
, adica:
= constant (30)
Din (30) si a doua ecuatie (29) gasim ca:
(31)
Derivand prima ecuatie (29) si utilizand (30) obtinem:
(32)
Inlocuind (31) in (32) se obtine urmatoarea
ecuatie diferentiala in necunoscuta (33)
S-a utilizat notatia . Solutia generala a acestei ecuatii este:
(34)
unde si
sunt constante de integrare
ce depind de conditiile initiale ale miscarii. Din prima
ecuatie (29) si (34) se determina si componenta
a vitezei unghiulare
instantanee:
sau
(35)
dupa cum sau
.
Daca giroscopul nu este perturbat, atunci la
momentul initial sunt indeplinite
conditiile:
(36)
Din (35)-(36) gasim ca, in aceste conditii:
adica:
(37)
giroscopul nedeviind de la directia Oz. Miscarea giroscopului este stabila.
Daca giroscopul este foarte putin perturbat la
momentul initial, atunci si
sunt foarte mici, ceea
ce inseamna ca si
si
sunt foarte mici
(solutii ale sistemului format din ecuatiile (34) si (35). Cum
si
depind de timp prin
intermediul functiilor marginite
si
, rezulta ca aceste componente ale vitezei
unghiulare raman foarte mici in timpul miscarii fata
de componenta
presupusa foarte
mare.
Rezulta ca vectorul nu deviaza prea
mult de la pozitia initiala, neperturbata, adica
miscarea giroscopului este stabila. Aceasta proprietate a
facut ca giroscopul sa fie folosit in practica ca busola
si ca stabilizator.
2.4.3. Efectul giroscopic
Se
considera un giroscop centrat (figura T 4) avand drept axa de
rotatie axa Oz a triedrului mobil. Notand cu
viteza unghiulara
(foarte mare) a giroscopului si cu J momentul de inertie
fata de axa de rotatie, atunci momentul cinetic
al giroscopului va fi
dirijat pe Oz si va avea modulul
. Actionand asupra giroscopului cu o forta
, paralela cu Oz, aceasta produce un moment
in raport cu punctul O
avand directia axei Oy.
Figura T 4
Acest moment produce o variatie a momentului cinetic
, variatie data de teorema momentului cinetic:
(38)
Vectorul este coliniar cu
. Noua valoare a momentului cinetic este:
(39)
Suportul vectorului reprezinta noua
axa de rotatie a giroscopului. Ea este inclinata fata
de axa initiala de rotatie Oz cu un unghi mic
, datorita proprietatii de stabilitate a
giroscopului.
In consecinta, daca se actioneaza asupra giroscopului centrat cu o forta, atunci axa de rotatie a acestuia sufera o mica deplasare intr-un plan perpendicular pe directia fortei.
Acest fenomen poarta numele de efect giroscopic.
3. Dinamica miscarii plan - paralele
Se considera un rigid in miscare plan-paralela
actionat de un sistem de forte exterioare care se reduc in raport cu
centrul de masa C al rigidului la torsorul .
Studiul miscarii (figura T 15.5) se face in
raport cu un reper fix , avand planul
paralel cu planul fix
in raport cu care are loc miscarea (a se revedea "Cinematica
miscarii plan-paralele") si care contine centrul de
masa
si un reper mobil
Oxyz, solidar cu rigidul, avand originea in centrul de masa
.
La un moment arbitrar de timp t, coordonatele centrului
de masa fata de reperul fix sunt iar
. Pozitia rigidului este determinata de trei
parametri scalari independenti si anume:
Figura T 5 Figura T 6
Pentru determinarea acestor functii necunoscute se aplica teorema miscarii centrului de masa si teorema momentului cinetic fata de centrul de masa.
Teorema miscarii centrului de masa:
(40)
se proiecteaza pe axele sistemului de referinta fix. Se obtin ecuatiile:
(41)
Proiectiile ecuatiei vectoriale reprezentand teorema momentului cinetic in raport cu centrul de masa C pe axele reperului mobil au aceiasi forma ca la rigidul cu axa fixa:
,
,
(42)
unde .
Conditiile initiale pentru integrarea
ecuatiilor (41) si (42) se refera la pozitia si viteza
la momentul initial :
(43)
Caz particular:
In cazul unei placi plane, care se misca in planul sau,
studiul miscarii se face fata de un reper fix (ales in planul miscarii) si fata de
reperul mobil Cxy, solidar cu rigidul, cu originea in centrul de
masa C si axele Cx si Cy axe principale si
centrale de inertie. Ecuatiile de miscare, obtinute prin
particularizarea ecuatiilor (41) si (42), sunt:
(44)
Daca rigidul este liber, parametrii sunt
independenti, intre ei neexistand relatii de legatura.
Ecuatiile ramase disponibile in sistemul (44) servesc la determinarea
reactiunilor.
4. Dinamica rigidului in miscarea generala
Se considera un rigid in miscare generala,
supus actiunii unui sistem de forte exterioare care se reduc in
raport cu centrul de masa C la torsorul . Studiul miscarii se face in raport cu reperul fix
si reperul mobil Oxyz,
avand originea in centrul de masa
iar axele Ox, Oy si Oz axe principale
si centrale de inertie (figura T 6).
Pozitia rigidului este fixata, la un moment de
timp t, prin intermediul coordonatelor ale centrului de masa
in raport cu reperul fix si unghiurile lui Euler
. Cei sase parametri ai miscarii corespund
celor sase grade de libertate ale
rigidului liber.
Pentru determinarea ecuatiilor de miscare se aplica teorema miscarii centrului de masa si teorema momentului cinetic in raport cu centrul de masa. Rezulta ecuatiile:
(45)
unde sunt momentele de
inertie principale,
proiectiile
fortei rezultante
pe axele reperului fix
iar
proiectiile
momentului rezultant
pe axele reperului
mobil.
Conditiile initiale ale miscarii se refera la pozitie si viteza la momentul initial:
(46)
Rezolvarea sistemului (45) in conditiile initiale (46) permite obtinerea functiilor necunoscute:
,
,
.
5. Probleme rezolvate
R 1) Corpul cilindric omogen 1, de masa m = 50 kg, raza r = 15
cm si inaltime h = 2r,
este fixat solidar cu arborele 2, de
masa neglijabila, care se poate roti in jurul axei orizontale AB
(figura R 1.1). Axa de simetrie a cilindrului
formeaza unghiul
cu axa de rotatie AB
Cz. Asupra arborelui
actioneaza un cuplu de forte situat intr-un plan perpendicular
pe axa arborelui, avand momentul constant
.
Figura R 1.1
Cunoscand distanta AB = 2h = 4r = 60 cm, stiind ca sistemul porneste din repaus si neglijand frecarile din lagarele A si B, sa se determine:
a) Legea de miscare a corpului cilindric 1;
b)
Reactiunile din
lagarele A si B la momentul de timp .
Rezolvare Deoarece corpul cilindric 1 are
o miscare de rotatie singurul grad de libertate este unghiul format de
planul Cyz cu el insusi intre momentele de timp t = 0 si t = arbitrar.
Notam cu
si
reactiunile din lagarele A si B
si aplicam teorema momentului cinetic in raport cu punctul A:
(1)
Deoarece reactiunile si
din lagarele A si B si greutatea
nu dau moment pe directia z, ecuatia (1) se rescrie
ca:
(2)
Din (2), prin integrari succesive, se gaseste ca:
(3)
Constantele de integrare sunt nule datorita
conditiei initiale: .
Valoarea momentului de inertie va fi determinata ulterior.
b) Pentru determinarea
reactiunilor si
se aplica teorema
miscarii centrului de masa:
(4)
si teorema momentului cinetic in raport cu centrul de masa C:
(5)
Intrucat centrul de masa C se gaseste pe
axa fixa AB acceleratia sa este nula (). Proiectand ecuatia (4) pe axele sistemului de
referinta mobil Cxyz se obtin urmatoarele ecuatii
scalare:
(6)
Derivata in raport cu timpul a momentului cinetic al corpului cilindric 1, avand axa fixa Cz, are expresia:
(7)
Totodata:
(8)
Proiectand ecuatia (5) pe axele reperului Cxyz si utilizand (7) si (8) gasim ecuatiile scalare:
(9)
Evident, ultima ecuatie (9) coincide cu ecuatia (1).
Rezolvand sistemul format din ecuatiile (6) si primele doua ecuatii (9) se obtin proiectiile reactiunilor din lagarele A si B:
Singurele elemente care mai trebuiesc determinate sunt
momentele centrifugale si
momentul de inertie axial
. Pentru obtinerea lor se determina mai
intai momentele de inertie axiale ale cilindrului in raport cu axele
sistemului de referinta
legat de
corp, care sunt axe principale de inertie.
In conformitate cu rezultatul gasit in rezolvarea problemei R 14.2 avem:
Datorita simetriei avem si:
(12)
unde
(13)
Notand cu densitatea
materialului din care a fost confectionat cilindrul gasim ca:
(14)
Pentru a calcula integrala tripla din relatia
(13) (pe intreg domeniul ocupat de corpul cilindric) se utilizeaza
sistemul de coordonate cilindrice prezentat in figura R 1.2.
Deoarece
din (13) se obtine:
Figura R 1.2
Tensorul momentelor de inertie al cilindrului
fata de sistemul de referinta este:
(17)
Tensorul momentelor de inertie [J] fata de sistemul Cxyz are expresia:
in care
este matricea de
transfer de la sistemul la sistemul
Cxyz.
Din (17), (18) si (19) rezulta:
(20)
de unde:
(21)
Utilizand datele numerice din enuntul problemei se obtin urmatoarele valori:
.
R 2) O bila de greutate G si raza r este aruncata dintr-un turn de inaltime h cu viteza orizontala . In momentul aruncarii i se imprima o viteza
unghiulara
dupa o
directie perpendiculara pe planul miscarii (figura R 2).
Sa se determine:
a) Legile miscarii plan-paralele a bilei;
b) Timpul dupa care bila atinge solul;
c) Distanta de la baza turnului la punctul de impact cu solul;
d) Viteza cu care bila loveste solul;
e) Numarul de rotatii efectuat de bila in aer.
Figura R 2
Rezolvare: a) Pentru studiul miscarii se
considera un sistem de referinta fix , avand axa
suprapusa peste axa turnului si
trecand prin centrul de masa C
in pozitia initiala a bilei, si un sistem de
referinta mobil Cxy, solidar cu rigidul (vezi figura R 2).
Notand cu si cu
coordonatele centrului de masa C in
raport cu sistemul fix, sistemul de ecuatii diferentiale al
miscarii este:
unde Cz este perpendiculara in C pe planul Cxy.
Prin integrari succesive in raport cu timpul t se obtine:
(2)
si
Conditiile initiale ale miscarii:
(4)
permit obtinerea
constantelor de integrare
Ecuatiile parametrice ale miscarii plan-paralele a bilei sunt:
(6)
b) Bila atinge solul
atunci cand , adica pentru:
de la inceputul miscarii.
c) Distanta de la baza turnului (verticala punctului de aruncare) la punctul de impact cu solul este:
d) Viteza centrului de masa al bilei la un moment arbitrar de timp are componentele:
(9)
In momentul impactului cu solul putem scrie ca:
Viteza unui punct al bilei aflat la periferia acesteia (deci si a aceluia care atinge solul) se compune din viteza centrului bilei si viteza de rotatie in jurul centrului bilei:
Deoarece este
orizontala si dirijata in sens opus sensului pozitiv pe Ox,
viteza punctului cu care bila vine in contact cu solul are componentele:
si modulul
e) Unghiul cu care s-a rotit bila in timpul miscarii prin aer este egal cu
astfel incat numarul de rotatii efectuate de bila este:
R 3) Locomotiva unui tren descrie o
curba de raza R cu viteza v a centrului sau de masa.
Stiind ca greutatea locomotivei este G, ca distanta dintre roti este l si ca raza rotilor este r, sa se precizeze cu cat se maresc sau
micsoreaza reactiunile si
(figura R 3).
Figura R 3 Figura R 4
Rezolvare: Inainte de intrarea in curba cele doua reactiuni sunt egale in modul:
(1)
In curba, ansamblul roti-axa de legatura formeaza un giroscop cu axa orizontala avand o rotatie proprie de viteza unghiulara:
(2)
si o miscare de precesie de viteza unghiulara:
(3)
Notand cu momentul de
inertie in raport cu axa de inertie Cz si observand ca
, gasim ca momentul giroscopic
are
directia si sensul de deplasare al trenului, marind presiunea pe
sina exterioara si micsorand-o pe cea interioara cu
aceiasi forta:
Reactiunile si
in
curba vor avea valorile:
R 4) Un corp de revolutie, cu
axa de simetrie Oz, se roteste in jurul axei fixe , care trece prin centrul de greutate al corpului
(figura R 4). Cunoscand viteza unghiulara constanta
a corpului,
unghiul
dintre Oz
si
, distanta l dintre lagarele A si B si momentele de inertie
si
ale
corpului, sa se determine reactiunile din lagare.
Rezolvare: Deoarece punctul O apartine axei
fixe viteza sa
este nula, astfel incat corpul de revolutie se trateaza ca un rigid
cu punct fix. Alegand axa Ox in planul
se
obtin urmatoarele proiectii ale vectorilor
si
Singurele forte care dau moment fata de
punctul O sunt reactiunile si
. Ecuatiile lui Euler in cazul acestei
probleme conduc la:
Deci:
Momentul va fi
dirijat in lungul axei Oy si va fi produs de componentele
si
(care
formeaza un cuplu de forte). Modulul sau este:
de unde:
(4)
Celelalte componente ale reactiunilor in A si B sunt nule.
R 5) O bara cotita
omogena ABC are
greutatea 3G si este
articulata in punctul B (figura R 5.1). Bara este prinsa in A de un
resort avand constanta elastica k.
In pozitia de echilibru latura BC formeaza unghiul
cu
orizontala. Sa se determine unghiul
astfel
incat perioada micilor oscilatii sa fie minima. Care este
valoarea acestei perioade?
Figura R 5.1. Figura R 5.2
Rezolvare: Se considera bara intr-o
pozitie oarecare, definita de unghiul fata de pozitia de echilibru
(figura R 5.2). Asupra ei actioneaza fortele de greutate
si
(in
centrele de masa ale segmentelor de bara AB si BC, respectiv)
si forta elastica
(perpendiculara pe AB in A), de modul
reprezinta valoarea fortei elastice
in pozitia de echilibru a barei. Ea se determina din ecuatia de
momente in
raport cu punctul B
(vezi figura R 5.1, pentru
Rezulta:
Pentru studiul micilor oscilatii ale barei se
utilizeaza teorema momentului cinetic in proiectie pe axa , perpendiculara pe planul barei in B:
(3)
in care:
(4)
(5)
Dar
(6a)
(6b)
deoarece pentru micile
oscilatii ale barei se poate considera si
. Cu relatiile (6), ecuatia de
miscare a barei capata forma:
(7)
Pulsatia micilor oscilatii are expresia iar perioada micilor
oscilatii:
(8)
Deoarece
(9)
Conditia
de obtinere a valorii extreme a perioadei micilor oscilatii, , permite obtinerea valorii cautate a unghiului
:
(10)
Se poate arata ca aceasta valoare
corespunde unui minim al functiei . Acesta este:
(11)
6. Probleme propuse
6.1. Teste clasice
TC 1) O bara omogena OA,
de lungime l si greutate , se poate roti in jurul axei orizontale ce trece
prin punctul O (figura TC 1.1). In momentul initial bara se
gaseste in repaus la orizontala. Lasand libera bara,
aceasta se misca sub actiunea propriei greutati.
Stiind ca momentul de frecare in
articulatia O este , sa se determine:
a)
Acceleratia
unghiulara in
functie de pozitia
a barei;
b)
Reactiunea in
articulatia O in momentul in care bara se gaseste in
pozitie verticala;
c)
Unghiul corespunzator
pozitiei extreme a barei.
Figura TC 1.1 Figura TC 2.1
TC 2) O bara AB, de masa m si lungime l, se deplaseaza cu frecare intr-un plan vertical astfel incat
capetele sale se sprijina in permanenta pe doi pereti, unul
vertical si unul orizontal (figura TC 2.1). Coeficientul de frecare intre
bara si pereti este . La momentul t = 0 capatul A se gasea
la distanta
de ghidajul
vertical si avea viteza
. Sa se determine ecuatia
diferentiala a miscarii barei.
TC 3) Un disc de greutate si
raza r se rostogoleste
fara alunecare pe un plan inclinat cu unghiul
fata de orizontala (figura TC 3).
Coeficientul de frecare de rostogolire este s.
Sa se stabileasca legile de miscare daca in momentul
initial discul porneste de la inaltimea h fara viteza
initiala.
TG 1) Care din urmatoarele formule exprima teorema momentului cinetic in miscarea absoluta a unui punct material ?
a)
; b)
; c)
; d)
.
Figura TC 3 Figura TG 2
TG 2) Un disc de raza r si greutate este
infasurat de un fir inextensibil, de greutate neglijabila, a
carei extremitate superioara este fixata de o grinda
(figura TG 2). Daca la momentul initial discul este lipit de
grinda, sa se stabileasca valoarea tensiunii din fir in timpul
miscarii discului.
a)
; b)
; c)
; d)
.
7. Indicatii si raspunsuri
TC 1) Vezi figura TC 1.2.
a) Se aplica teorema momentului cinetic in raport cu punctul fix O:
Cum , se gaseste ca
b) Teorema
miscarii centrului de masa, , se proiecteaza pe Ox si Oy: Se
obtine:
si
iar si
Patratul vitezei unghiulare, , se obtine prin aplicarea teoremei energiei
cinetice si a lucrului mecanic:
iar acceleratia
unghiulara din relatia (*). Rezulta .
Pentru obtinem:
c) Se aplica teorema energiei cinetice si a lucrului mecanic intre momentul initial (bara este la orizontala) si momentul opririi:
Unghiul
va fi
solutia ecuatiei:
.
Figura TC 1.2 Figura TC 2.2
TC 2) Se elibereaza bara de legaturile
sale (reazemele cu frecare din A si B) si se introduc fortele de
legatura corespunzatoare si
(figura TC 2.2).
Sistemul de ecuatii diferentiale ale miscarii plan-paralele
a barei este:
la care se aduga
relatiile:
Coordonatele sunt legate prin
relatiile:
Se obtine astfel un sistem de 7 ecuatii
si 7 necunoscute: . Eliminand reactiunile normale si
fortele de frecare se obtine urmatoarea ecuatie
diferentiala neliniara si neomogena de ordinul al
doilea in necunoscuta
Conditiile initiale ale miscarii sunt:
.
TC 3) Se utilizeaza un sistem de referinta fix Cxy, cu axa Cx paralela cu planul inclinat si originea in pozitia initiala a centrului maselor C. Sistemul ecuatiilor diferentiale ale miscarii este:
unde . S-a folosit faptul ca
= constant (miscarea centrului discului este
paralela cu planul inclinat). Intre viteza centrului discului si
viteza unghiulara a miscarii plan-paralele a discului
exista relatia
(CIR-ul
este in punctul de contact al discului cu planul inclinat). De aici deducem
ca
si
. In conditiile initiale:
(2)
prin integrarea sistemului ecuatiilor diferentiale (1), se obtin urmatoarele legi ale miscarii discului:
(3)
TG 1 Rezultat teoretic. Raspuns corect: c)
TG 2) Discul are o miscare plan-paralela. Se aplica teorema miscarii centrului de masa si teorema momentului cinetic fata de punctul C:
Dar si
, astfel incat
. Raspuns corect: c).
Brandeu L., Orgovici L., Chioreanu M., Teoremele generale ale dinamicii, Culegere de probleme, Timisoara, 1991.
Ceausu V., Enescu M., Ceausu F., Culegere de probleme de mecanica, Institutul Politehnic Bucuresti, 1984.
Dumitrascu Ghe., Deleanu D., Mecanica teoretica, Editura ExPonto, Constanta 1998.
Deleanu D., Dumitrascu Ghe., Seminarii de mecanica, Editura Printech, Bucuresti, 2002.
Deleanu D., Dumitrascu Ghe., Statica, Culegere de probleme, Editura Printech, Bucuresti, 2000.
Deleanu D., Dumitrascu Ghe., Cinematica, culegere de probleme, Editura Printech, Bucuresti, 2000.
Deleanu D., Dumitrascu Ghe., Dinamica, Culegere de probleme, Editura Printech, Bucuresti, 1999.
Iacob C., Mecanica teoretica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1980.
Landau L., Lifsit F., Mecanica, Editura Tehnica, Bucuresti, 1966.
Niculescu M, Dinculescu N., Marcus S., Analiza matematica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1966.
Olariu V., Sima P., Achiriloaie V., Mecanica teoretica, Editura Tehnica, Bucuresti, 1982.
Olariu V., Analiza matematica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1981.
Ripianu A., Popescu P., Balan B., Mecanica teoretica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1979.
Rosca I., Mecanica pentru ingineri, Editura MatrixRom, Bucuresti, 1998.
Rosculet M., Analiza matematica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1983.
Silas M., Mecanica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1968.
Targ S., Theoretical Mechanics, Editura Mir, Moscova, 1975.
Tocaci E., Mecanica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1968.
Voinea R, Voiculescu D., Ceausu V., Mecanica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1983.
Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare |
Vizualizari: 3694
Importanta:
Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2025 . All rights reserved