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Proiect didactic Clasa: a XII-a Informatica - Calculul numeric al determinantilor

didactica pedagogie

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P r o i e c t     d i d a c t i c

v    Data: 21.11.2007



v    Clasa:  a  XII-a

Liceul  Teoretic  Pelinia

Obiectul: Informatica

Profesor:  

Durata  lectiei:  45 min

Subiectul:  C a l c u l u l    n u m e r i c    al    d e t e r m i n a n t i l o r    

Tipul  lectiei:  Lectie  de  asimilare  a  noilor  cunostinte.

Strategii  didactice:

1. Metode  si  tehnici  de  invatare:

                cooperarea, conversatia  euristica, dialogul, problematizarea, explicatia, lucrul  cu  consepctele  de  reper,

               studiul  individual, exercitiul, algoritmizarea, notarea  pe  tabla.

2. Materiale  didactice:

·        Programe  la  calculator,  conspecte  de  reper,  manuale,  algoritmi,  calculatoare  PC.

Obiectivele  lectiei:

1. Obiective  cadru:

Cunoasterea  si  utilizarea  metodelor   de  rezolvare  numerica  a   sistemelor  de  ecuatii  liniare. 

2. Obiective  de  referinta:

Ø     Sa  explice  algoritmul  de  calcul  numeric  al  determinantilor;

Ø     Sa  elaboreze  un  program  pentru  calculul  determinantilor;

3. Obiective  operationale:

O1:  Sa  defineasca  notiunea  de  determinant;

O2:  Sa  explice  regula  lui  Sarrus  de  calcul  numeric  al  determinantilor  de  ordinul  3;

               O3:  Sa  defineasca  notiunea  de  minor  al  determinantului  unei  matrice  de  ordin  n; 

               O4:  Sa  defineasca  determinantul  matricei  A  de  rang  n;

     O5:  Sa  stabileasca  algoritmul  de  calcul  al  determinantilor  de  ordin  n;

     O6:  Sa  elaboreze  un  program  pentru  calculul  determinantilor.

D e s f a s u r a r e a    a c t i v i t a t i i

Nr.

d/r

Evenimentele   instructionale

O.

Activitatea  profesorului

Activitatea  elevilor

Evaluare

I.

Momentul   organizatoric

1.Captarea  atentiei.

Initiala

II.

Anuntarea obiectivelor

Profesorul  anunta  subiectul  si  obiectivele  lectiei.

Elevii  noteaza  in  caiete  subiectul  lectiei  si  unele  obiective.

III.

Actualizarea cunostintelor

1. Ce  reprezinta  o  matrice ?

2. Alcatuiti  o  matrice  patratica  arbitrara  de

ordin  n.

Elevii  explica  ce  reprezinta  o  matrice.

Elevii  alcatuiesc  matricea.

Orala

Curenta

IV.

Prezentarea sarcinilor, a situatiilor de invatare

O1

O2

O3

O4

Definiti  notiunea  de  determinant.

Explicati  regula  lui  Sarrus  de  calcul  numeric  al  determinantilor  de  ordinul  3.

det(A)=a1,1 a2,2 a 3,3 + a1,3 a2,1 a3,2 + a1,2 a2,3 a3,1    



               a1,3 a2,2 a 3,1    a2,1 a1,2 a 3,3    a1,1 a2,3 a 3,2   

Definiti  notiunea  de  minor  al  determinantului  unei  matrice  de  ordin  n , n-1. 

Se  numeste  minor  de  ordinul  n-1 al  elementului 

ai,j  al  matricei  A  de  rang  n (n>1) determinantul  matricei  de  rang  n-1, obtinuta  din  matricea  A  prin  excluderea  rindului  i  si  a  coloanei  j .

Minorul  elementului  ai,j  se noteaza  prin Ai,j  unde

i – indica  rindul  iar  j -  coloana  la  intersectia  carora  se  afla  elementul  ai,j .

A=     A2,3==1∙2 – (–1) ∙2=4.

Definiti  notiunea determinantul  matricei  A  de  rang  n.

Se  numeste  determinant  al  matricei  A  de  rang n  valoarea  expresiei:      

        

Obtinerea  termenilor   Obtinerea  termenilor

pozitivi  al  sumei          negativi al  sumei

pentru  calculul              pentru  calculul 

determinantului              determinantului

Elevii  definesc  notiunea  de  minor.

Se  numeste  minor  al  elementului  ai,j  al matricei  patratice  A  determinantul  M i,j  format  din  elementele  acestei  matrice, care  nu  sunt  situate  pe  linia  i  si  coloana  j (pas- trind  ordinea  lor  din  matrice).

 Elevii  isi  fac  notite  in  caiete.

Orala 

Curenta

Orala 

Formativa

O5

Conform  definitiei:

Δ=det(A)=

Fie  data  matricea  de  ordinul  4:

det(A)=a1.1A1,1  a1.2A1,2  + a1.3A1,3  a1.4A1,4

Fiecare  dintre  minorii  A1,j , j=1,,4  este  determinantul  unei  matrice  de  ordinul  3 si  poate fi  calculat  direct.

         ALGORITMUL  DE  CALCUL 

Fie  data  matricea  A  de  ordinul  n:

   Algoritmul  de  calcul  al  determinantului  unei  matrice de ordin  n  se  bazeaza  direct  pe definitie.

  Se  aplica  dezvoltarea  determinantului  dupa  prima  linie  a  matricei:

          det(A)=

In  aceasta  formula  elementele  necunoscute  sunt  minorii  elementelor  din  prima  linie. Fie  un  minor  arbitrar  A1,j. El  este  determinantului  unei  matrice  de  ordinul  n-1. Pentru  al  calcula  urmeaza  sa  se  rezolve  o  problema  echivalenta  cu  problema initiala, dar de  dimensiune  mai mica.

Deoarece  la  un  moment  dat  se  ajunge  la  calculul  unui  determinant  de  ordin  1, 2, sau 3,  care  pot  fi  calculati  direct, se  respecta  regula  de  consistenta  si  poate  fi  aplicat  un  algoritm  recursiv:




a) Exista  un  caz  elementar: matricea, ce  corespunde  minorului  curent  are  ordinul 1.

b) La  nivelul  k se  fac  k  apeluri  pentru  calculul  determinantilor  de  ordin  k-1.  Prin  urmare  procesul  converge  spre  un  caz  elementar.

Fie  matricea  A  are  ordinul  R.

           ALGORITM (R): 

Cazul  elementar: Daca  ordinul  matricei  A  este 1, atunci  determinantul  este  egal  cu  valoarea  unicului  element  al  matricei.

    In  caz  contrar:

Cazul  de  reducere: 

1) Se  dezvolta  determinantul  matricei  A  dupa  prima  linie. Valoarea  determinantului  Δ  se  initializeaza cu  0.

2) Pentru  toti  j  de  la  1  la  R

a) Se  formeaza  matricea  M 1,j  prin  excluderea  din  matricea  curenta  A  a  liniei  1  si  coloanei  j.

b) Se  calculeaza  determinantul  det(M 1,j)  al  matricei  M 1,j  utilizind  apelul  recursiv  al  algoritmului  curent.

c) Se  actualizeaza  valoarea  determinantului 

   Δ = Δ + (-1)1+jdet(M 1,j) 

Elevii  isi  fac  notite  si  participa  la  elaborarea   algoritmului  de  calcul.

V.

Fixarea  noilor  cunostinte  si  realizarea  feedback-ului.

O6

Problema  4 (pag.57 manual).

Vezi  anexa.

Elevii  analizeaza  functia  det  descrisa  in  manual  si  elaboreaza  programul  pentru  calcul  determinantilor  de  ordinul  n (n≤10).

Programul  este  alcatuit  in  limbajul  de  programare  PASCAL  la  calculatoare.

Scrisa 

Sumativa

VI.

Tema  pentru  acasa.

De  invatat  tema: Determinati  numerici, §4.1

Problema  2 (pag.57 manual).

Aprecierea  raspunsurilor  elevilor  si  argumentarea  notelor  primite.

Elevii  isi  fac  notite  in  caiete  referitor  la  tema  de  acasa.

                                                                 

                                                                           A n e x a

Problema  4  (pag57,manual)

 

Program  Determinant ;

   const nmax=10;                                                                                          

   Type  mat=array[1..nmax,1..nmax] of real;

var  a:mat;  i,j,n:integer;  d:real;

  function  det (var  x:mat;  t:integer): real;

  var  i,j,k,l: integer;

      s: real;

      minor: mat;

  begin

      if t=1 then det:=x[1,1]

             else

      begin

        s:=0;

        for k:=1 to t do

          begin

            for i:=1 to t-1 do

               for j:=1 to k-1 do

                 minor[i,j]:=x[i+1,j];

                 for i:=1 to t-1 do

                   for j:=k to t-1 do

                     minor[i,j]:=x[i+1,j+1];

            if odd(k) then S:=S + x[1,k] * det(minor,t-1)

                     else  S:=S - x[1,k] * det(minor,t-1);

          end;

        det:=s;

      end;

   end;

begin

 writeln ('introduceti ordinul matricei');

 readln(n);

  for i:=1 to n do

    for j:=1 to n do

     begin

      write('a[',i,' , ',j,']=');

      readln(a[i,j]);

     end;

    d:=det(a,n);

 writeln ('Valoarea determinantului este d=',d:8:2);

 readln;

end.

Problema  2 (pag.57, manual)

Program  Determinat_Sarus ;

Type  mat = array [1..3,1..3]  of  real;

var  M:mat;

    i, j : integer;

    Det : real;

Function   Sarrus (D : mat) : real;         

begin

   Sarrus :=D[1,1]*D[2,2]*D[3,3] + D[2,1]*D[3,2]*D[1,3] + D[3,1]*D[1,2]*D[2,3]

                   D[3,1]*D[2,2]*D[1,3] D[1,1]*D[3,2]*D[2,3] D[2,1]*D[1,2]*D[3,3];    

end;

  begin

   writeln ('Indicati elementele determinantului');

     for i:=1 to 3 do

       for j:=1 to 3 do

          begin

             write  ('M [',i,' , ',j,'] = ');

             readln  (M[i,j]);

          end;

   Det := Sarrus ( M );

   writeln (' Determinantul este ', Det:16:4);

   readln;

end.








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