Scrigroup - Documente si articole

Username / Parola inexistente      

Home Documente Upload Resurse Alte limbi doc  

CATEGORII DOCUMENTE





AstronomieBiofizicaBiologieBotanicaCartiChimieCopii
Educatie civicaFabule ghicitoriFizicaGramaticaJocLiteratura romanaLogica
MatematicaPoeziiPsihologie psihiatrieSociologie


Siruri de variabile aleatoare. Legea numerilor mari - Teoreme limita

Matematica

+ Font mai mare | - Font mai mic







DOCUMENTE SIMILARE

Trimite pe Messenger
REGULILE ALGEBREI
Siruri si serii de elemente - Aplicatii la caracterizarea unor puncte, multimi si functii remarcabile
Siruri de variabile aleatoare. Legea numerilor mari - Teoreme limita
TEME SI TESTE Matematica-Informatica Clasele V-VI
Permutari, Matrice, Determinanti - probleme
FUNCTIA ‘PARTE FRACTIONARA’ - PROIECT LA MATEMATICA
INDICII SI RITMUL VARIATIEI FENOMENELOR ECONOMICO-SOCIALE
INTEGRAREA NUMERICA A FUNTIILOR
FISA DE LUCRU - Unghiuri adiacente; bisectoarea unui unghi
Structurile sistemelor numerice

Siruri de variabile aleatoare. Legea numerilor mari.

Teoreme limita.



Teorema 5.1. (Inegalitatea lui Cebisev).  Daca variabila aleatoare X  are valoare medie si dispersie, atunci pentru orice   are loc inegalitatea

care este echivalenta cu

Demonstratie.  Vom considera cazul cand variabila aleatoare X este de tip continuu, adica are densitatea de probabilitate . In cazul discret, demonstratia urmeaza aceeasi cale.

            De asemenea, ne ocupam numai de a doua forma a inegalitatii. 

            Din proprietatile densitatii de probabilitate avem ca

Deoarece  avem ca  prin urmare, putem face urmatoarele majorari:

Retinand extremitatile acestuii sir de relatii avem ca

adica a doua forma a inegalitatii lui Cebisev.

            Din aceasta forma a inegalitatii se obtine cealalta, daca se foloseste probablitatea evenimentului contrar, adica

Observatia 5.2.  Daca in inegalitatea lui Cebisev se ia unde atunci aceasta devine

Astfel, pentru  se obtine

ceea ce inseamna ca probabilitatea ca valorile lui X sa se abata de la valoarea medie

 mai putin de trei ori abaterea standard este nai mare decat

Definitia 5.3.  Spunem ca sirul de variabile aleatoare  converge in probabilitate la variabila aleatoare X, si vom nota  daca pentru orice  avem ca

Definitia 5.4.  Spunem ca sirul de variabile aleatoare  converge in medie de ordin k la variabila aleatoare X, si vom nota  daca

Observatia 5.5.  In cazul particular  avem ceea ce numim convergenta in medie patratica. Asadar, aceasta are loc daca

Definitia 5.6.  Spunem ca sirul de variabile aleatoare  converge in repartitie la variabila aleatoare X, si vom nota  daca avem ca  unde  si F sunt respectiv functiile de repartitie ale variabilelor aleatoare  si X, iar limita considerata exista pentru orice punct de continuitate  al functiei F.

Observatia 5.7.  Se arata ca daca  atunci care la randul sau implica

De asemenea, avem ca daca  pentru , atunci

Definitia 5.8.  Spunem ca sirul de varibile aleatoare  urmeaza legea (slaba) a numerelor mari, daca pentru orice  avem ca

adica

Teorema 5.9. (Markov).  Daca sirul de variabile aleatoare  verifica conditia (lui Markov)

atunci aceasta urmeaza legea numerelor mari, adica

oricare ar fi

Demonstratie.  Se utilizeaza inegalitatea lui Cebisev pentru variabila aleatoare

 anume

Trecand la imita in dubla inegalitate, astfel obtinuta, si avand in vedere conditia lui Markov, rezulta ca

Teorema 5.10. (Cebisev).  Fie sirul  de variabile aleatoare independente  doua cate doua si care au dispersiile egal marginite, adica  (L finit), atunci sirul urmeaza legea numerelor mari, adica 

oricare ar fi

Demonstratie. Deoarece variabilele aleatoare sunt independente doua cate doua si au dispersiile egal marginite, se obtine ca

Daca se retin extremitatile acestui sir de relatii si se trece la limita, rezulta ca

deci conditia lui Markov este indeplinita. Aplicind teorema lui Markov se obtine afirmatia din teorema lui Cebisev.

Observatia 5.11.  Daca in teorema lui Cebisev, variabilele aleatoare au aceeasi valoare medie, adica  atunci avem

adica  Prin urmare, media aritmetica a primelor n variabile aleatoare din sirul considerat isi pierde caracterul aleator, pentru .

Teorema 5.12. (Poisson).  Daca intr-un sir de repetari independente ale unui experiment, probabilitatea de aparitie  a evenimentului fixat A, la repetarea de rang n, este  atunci

m fiind numarul aparitiilor evenimentului A in primele n repetari ale experimentului.

Demonstratie.  Fie  variabila aleatoare care ne indica aparitia evenimentului A la repetarea de rang k a experimentului. Atunci, variabila aleatoare  va avea distributia

Variabilele aleatoare, astfel introduse, sunt independente si au dispersiile egal marginite, anume  Folosind teorema lui Cebisev si avand in vedere ca

obtinem rezultatul din enuntul teoremei.

Teorema 5.13. (Bernoulli).  Daca intr-un sir de repetari independente ale unui experiment, probabilitatea de aparitie a evenimentului fixat A, la fiecare repetare este 

atunci

unde m este numarul aparitiilor evenimentului A in primele n repetari ale experimentului.

Demonstratie. Conditiile sunt aceleasi cu cele din teorema lui Poisson cu

. Prin urmare, folosind teorema lui Poisson, se obtine rezultatul dorit.

Teorema 5.14. (Leapunov).  Fie sirul  de variabile aleatoare independente pentru care exista momentele centrate de ordinul trei si care satisfac conditia (Leapunov)

si fie




atunci sirul de variabile aleatoare  converge in repartitie la o variabila aleatoare ce urmeaza legea normala , adica

 fiind functia de repartitie a variabilei aleatoare .

Observatia 5.15.  Problema determinǎrii legii de probabilitate a variabilei aleatoare , definitǎ mai sus, cand , poartǎ denumirea de problemǎ limitǎ, iar teorema care rezolvǎ o problemǎ limitǎ se numeste teoremǎ limitǎ.

            Dacǎ legea de probabilitate limitǎ este normalǎ, atunci avem o teoremǎ limitǎ centralǎ.

            Prin urmare, teorema lui Leapunov este o teoremǎ limitǎ centralǎ si aratǎ rolul important pe care il are legea normalǎ, ceea ce se va vedea si mai departe, in statistica matematicǎ.

Corolarul 5.16.  Fie sirul de variabile aleatoare independente si identic repartizate  adicǎ au aceeasi lege de probabilitate, si fie  si  pentru orice , atunci sirul variabilelor aleatoare unde

converge in repartitie la o variabilǎ aleatoare ce urmeazǎ legea normalǎ  adicǎ

 fiind functia de repartitie a variabilei aleatoare .

            Demonstratie. Vericǎm dacǎ este indeplinitǎ conditia din teorema lui Leapunov. Pentru aceasta avem cǎ

Fiind indeplinitǎ conditia lui Leapunov, avem cǎ

adicǎ

urmeazǎ legea normalǎ , cand , ceea ce trebuie arǎtat.

Teorema 5.17. (Moivre-Laplace).  Dacǎ variabila aleatoare X urmeazǎ legea binomialǎ, adicǎ are distributia

atunci, pentru  avem cǎ

adicǎ

Demonstratie.  Dacǎ se considerǎ variabiale aleatoare independente, cu aceeasi distributie

 atunci

            Pe de altǎ parte, avem cǎ  si folosind rezultatul corolarului precedent, se obtine cǎ

urmeazǎ legea normalǎ pentru . Prin urmare, se obtine cǎ

Folosind acest rezultat, se poate scrie succesiv

Observatia 5.18.  Deoarece  se obisnuieste ca formulele din teorema lui Moivre-Laplace sǎ se scrie

respectiv

Observatia 5.19.  Folosind functia lui Laplace,

tabelatǎ in Anexa I, avem cǎ

Observatia 5.20.  Deoarece functia lui Laplace este functie imparǎ, adicǎ  aceasta trebuie tabelatǎ numai pentru argumente pozitive. Asadar, vom avea

Aplicatia 5.21.  Dacǎ se doreste calculul urmǎtoarei probabilitǎti  aceasta se obtine din faptul cǎ

Astfel, rezultǎ cǎ

Exemplul 5.22.  Probabilitatea ca o unitate hoteliera sa fie ocupata in mod acceptabil intr-o zi este . Vrem sa calculam probabilitatea ca unitatea respectiva sa fie ocupata acceptabil intr-o luna de 30 de zile, un numar de zile cuprins intre 10 si 25.

            Daca notam prin k numarul de zile cand unitatea este ocupata acceptabil, avem de calculat probabilitatea  Deoarece  si

 avem ca

Din Anexa I se extrag valorile  si  deci putem scrie ca

.

Observatia 5.23. (Regula celor trei ).  Daca in formula Moivre-Laplace se considera  atunci

Prin urmare, rezulta ca . Deoarece, abaterea medie patratica a variabilei aleatoare X ce urmeaza legea binomiala este  avem regula urmatoare cunoscuta sub denumirea de regula celor trei : probabilitatea ca frecventa absoluta k sa se abata de la valoarea medie  mai putin de trei ori abaterea medie patratica este mai mare decat .

Aplicatia 5.24.  Daca variabila aleatoare X urmeaza legea hipergeometrica, adica are distributia

atunci pentru  si n suficint de mari se obtine

unde  . Acest rezultat se bazeaza pe Observatia 3.12.








Politica de confidentialitate

DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 1272
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2019 . All rights reserved

Distribuie URL

Adauga cod HTML in site