SISTEME DE COMUNICATII PENTRU TRANSPORTURI

SISTEME DE COMUNICATII PENTRU TRANSPORTURI

Lucrarea de laborator

Variabile aleatoare

1. Obiectivul lucrarii

In aceasta lucrare, se studiaza generarea variabilelor aleatoare cu ajutorul calculatorului.

2. Introducere teoretica

Notiunea de variabila aleatoare (VA) a fost introdusa la cursul de "Teoria informatiei si a codarii". Dupa cum spune si numele, o VA ia diverse valori numerice cu anumite probabilitati (spre deosebire de o variabila determinista, care ia valorile cu certitudine). Utilizam variabile aleatoare pentru a reprezenta marimi si fenomene ce intervin in transmisiunea informatiei pe canale fizice, de la semnalul de emisie si cel de receptie pana la diversele zgomote si perturbatii ce apar natural in lumea reala. Zgomotele ce se manifesta in dispozitivele electronice si in canalele de transmisiune limiteaza capacitatea noastra de a comunica la mari distante si de a detecta semnale relativ slabe. Pentru a putea studia efectele zgomotelor prin simularea pe calculator a sistemelor de comunicatie si de a evalua performanta acestora in prezenta zgomotelor, se utilizeaza generatoare de numere aleatoare.

Un generator de numere aleatoare distribuite uniform genereaza un mumar cuprins intre 0 si 1 cu egala probabilitate. Iesirea unui generator de numere aleatoare este o variabila aleatoare. Daca notam cu X o astfel de VA, domeniul ei de existenta este intervalul

Un calculator digital are o precizie limitata, astfel incat este imposibil sa reprezentam orice numar din intervalul continuu Putem admite, totusi, ca numarul de biti cu care calculatorul reprezinta o marime de iesire este suficient de mare pentru a indreptati ipoteza pe care o facem ca orice valoare din interval este o posibila iesire a generatorului.

Functia densitate de probabilitate uniforma pentru o variabila aleatoare X, notata cu , este ilustrata in figura 1(a). Valoarea medie a lui X, notata cu , este = . Functia de distributie a probabilitatii pentru VA X este, prin definitie,

Deoarece intreg domeniul de definitie este evenimentul sigur, a carui probabilitate este egala cu 1, avem in acest caz:

Domeniul de existenta al lui este pentru Functia de distributie a probabilitatii este aratata in figura 1(b).

Figura 1. (a) Functia densitate de probabilitate si (b) functia de distributie a probabilitatii ale unei variabile aleatoare distribuite uniform X.

Daca dorim sa generam zgomot distribuit uniform in intervalul nu avem decat sa luam iesirea X a unui generator de numere aleatoare si sa o deplasam cu a. Se poate astfel defini o noua VA, notata cu Y, astfel:

Aceasta VA are valoarea medie De exemplu, daca va-riabila aleatoare Y este uniform distribuita in intervalul asa cum se arata in figura 2(a). Functia sa de distributie a probabilitatii este aratata in figura 2(b).

Figura 2. (a) Functia densitate de probabilitate si (b) functia de distributie a probabilitatii ale unei variabile aleatoare distribuite uniform de medie zero.

O VA distribuita uniform in intervalul poate fi utilizata pentru a genera variabile aleatoare cu alte functii de distributie a probabilitatii. Sa presupunem ca dorim sa generam o VA notata cu Z avand functia de distributie a probabilitatii , ilustrata in figura 3.

Figura 3. Aplicatia inversa de la variabila aleatoare distribuita uniform X la o noua variabila aleatoare Z.

Deoarece domeniul de existenta al lui este intervalul , incepem prin a genera o VA notata cu X distribuita uniform in . Fie

Atunci

Solutia acestei ecuatii ne furnizeaza valoarea lui Z pentru care In acest fel, obtinem o noua VA notata cu Z avand functia de distributie a probabilitatii . Aceasta aplicatie inversa de la X la Z este ilustrata in figura 3.

3. Probleme rezolvate cu MATLAB

Problema

Sa se genereze o variabila aleatoare X care are functia de densitate de probabilitate liniara aratata in figura 4(a):

Rezolvare:

Aceasta VA are functia de distributie a probabilitatii

care este ilustrata in figura 4(b). Generam o VA distribuita uniform Z si punem De unde

Explicitand X, obtinem

Generam, deci, o VA notata cu X avand functia de distributie a probabilitatii asa cum se arata in figura 4(b).

Figura 4. (a) Functie densitate de probabilitate liniara si (b) functia corespunzatoare de distributie a probabilitatii.

Pentru generarea unor variabile aleatoare distribuite Gaussian se poate utiliza programul de mai jos.

function [gsrv1,gsrv2]=gngauss(m,sgma)

[gsrv1,gsrv2]=gngauss(m,sgma)

[gsrv1,gsrv2]=gngauss(sgma)

[gsrv1,gsrv2]=gngauss

GNGAUSS genereaza doua variabile aleatoare Gaussiene %independente cu medie m si deviatie standard sgma. Daca unul din %argumentele de intrare lipseste, programul ia media drept 0.

%Daca nu se dau nici media si nici varianta, programul genereaza doua %variabile aleatoare Gaussiene standard.

if nargin ==0,

m=0; sgma=1;

elseif nargin ==1,

sgma=m; m=0;

end;

u=rand; % o variabila aleatoare uniforma pe

%intervalul (0,1)

z=sgma*(sqrt(2*log(1/(1-u))); % o variabila aleatoare distribuita

%Rayleigh

u=rand; % alta variabila aleatoare uniforma

% pe intervalul (0,1)

gsrv1=m+z*cos(2*pi*u);

gsrv2=m+z*sin(2*pi*u);