Scrigroup - Documente si articole

Username / Parola inexistente      

Home Documente Upload Resurse Alte limbi doc  

CATEGORII DOCUMENTE




loading...



Gradinita

PROIECT DIDACTIC Clasa: a XII-a Morfisme si izomorfisme de grupuri

didactica pedagogie

+ Font mai mare | - Font mai mic




PROIECT DIDACTIC




Data: 2007

Clasa: a XII-a D

Profil tehnologic, 3 ore saptamana, M2

Profesor:

Unitatea de invatamant: G.S.,, Traian Demetrescu’’ Craiova

Unitatea de invatare: Grupuri

Titlul lectiei: Morfisme si izomorfisme de grupuri

Tipul lectiei: Predare de noi cunostinte

Durata: 50 minute

Locul desfasurarii: sala de clasa

COMPETENTE GENERALE:

CG1. Folosirea corecta a terminologiei specifice matematicii in contexte variate de aplicare.

CG2. Exprimarea si redactarea corecta si coerenta in limbaj formal sau cotidian a rezolvarii sau a strategiilor de rezolvare a unei probleme

CG3.Analiza unei situatii problematice si determinarea ipotezelor necesare pentru obtinerea concluziei

CG4.Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual, cuprinse in enunturi matematice

CG5. Utilizarea corecta a algoritmilor matematici in rezolvarea de probleme cu diferite grade de dificultate, sau pentru caracterizarea locala sau globala a unei situatii concrete

CG6. Generalizarea unor proprietati prin modificarea contextului initial de definire a problemei sau prin imbunatatirea si generalizarea algoritmilor

COMPETENTE SPECIFICE:

CS1. Utilizarea unor modalitati elementare variate de identificare a morfismelor sau a izomorfismelor

CS2. Determinarea si verificarea poprietatilor unei structuri algebrice

CS3. Utilizarea proprietatilor operatiilor pentru identificarea legaturilor intre structuri (izomorfe sau neizomorfe)

CS4.Utilizarea aplicatiilor liniare pentru a identifica proprietati si legaturi intre structuri

CS5.Transformarea intre structuri izomorfe a datelor initiale si a rezultatelor pe baza proprietatilor operatiilor, corelarea proprietatilor unor structuri algebrice prin intermediul unei functii bijective

STRATEGII DIDACTICE

Principii didactice:

- Principiul participarii si invatarii active

- Principiul asigurarii progresului gradat al performantei

- Principiul explicativ-demonstrativ(conversatia si exercitiul)

- Principiul conexiunii inverse (feed-back)

Metode de invatare instruire:

- Conversatia euristica

- Explicatia

- Exercitiul

- Problematizarea

- Descoperirea dirijata

Forme de organizare a clasei:

- Frontala

- Individuala

- Pe grupe

Forme de evaluare:

- Observatia

- Prin lucru individual

Resurse materiale

-Materiale didactice: fise de lucru,manual, proiect didactic

-Mijloace de invatamant: tabla, creta

Resurse procedurale:

- Investigatia stiintifica

- Observarea sistematica a elevului

- Rezolvarea de probleme/ situatii problema

Resurse psihologice:

Capacitatea de invatare de care dispune clasa: elevii poseda cunostinte legate de legi de compozitie, notiunea de grup, functii surjective, injective, bijective, compunerea functiilor

Elevii prezinta interes pentru lectie deoarece li s-a descris campul de aplicabilitate al acesteia

Etapele activitatii didactice:

I. Moment organizatoric( 2 minute)

Notarea absentelor in catalog, asigurarea conditiilor ergonomice necesare lectiei, verificarea materialului didactic necesar.

II. Reactualizarea si verificarea cunostintelor asimilate anterior:

(7 minute)

Se reamintesc definitiile functiilor injective, surjective, bijective si compunerea functiilor, precum si notiunea de grup.

III. Anuntarea competentelor (1minut)

IV. Prezentarea continutului lectiei noi (24minute)

Fie (G ) si (G ) doua grupuri.

DEFINITII

Functia f : G→G se numeste morfism (omomorfism) de grupuri daca:

f (xy) =f(x) f(y), x ЄG

■ Functia f : G→G se numeste izomorfism de grupuri daca f este morfism de grupuri si este functie bijectiva

■ Grupurile (G ) si (G ) se numesc grupuri izomorfe si se scrie

G G, daca intre ele exista cel putin un izomorfism de grupuri.

Fie (G, ) un grup

Un morfism f: G→G, se numeste endomorfism al grupului G

Un izomorfism f: G→G, se numeste automorfism al grupului G.



Multimea endomorfismelor unui grup se noteaza End (G), iar multimea automorfismelor lui G se noteaza Aut(G).

Exemple:

▪Functia f: Z→, f(n)=(-1) este izomorfism intre grupurile (Z, +) si

▪Functia f : R→ (0, ∞), f(x)= este izomorfism intre grupurile (R, +) si

TEOREMA

Fie (G ) si (G ) doua grupuri cu elementele neutre e si e, si

f : G→G, un morfism de grupuri. Atunci :

a) f(e1)= f(e2)

b) f(x)=(f(x)) , x ЄG

c) f(x )= ( f(x)) , x ЄG si nЄZ

OBSERVATIE

In scriere aditiva, relatiile anterioare se scriu:

a)     f(0)= 0

b)    f(-x)= - f(x), oricare x Є G

c)     f(nx)= nf(x), x ЄG si n x Є Z

TEOREMA:

Fie grupurile (G1,·), (G2,·) si (G3,·).

a)    Daca f: G1→G2 si g: G2→G3 sunt morfisme de grupuri, atunci h: G1→G3, h=g◦f este morfism de grupuri.

b)    Daca f: G1→G2 este izomorfism de grupuri, atunci f ¹: G2→G1este izomorfism de grupuri.

Demonstratie

a)     Avem succesiv: h(xy)=g(f(xy))=g(f(x)· f(y))=g(f(x))·g(f(y))=h(x)·h(y),x,y ЄG

b)    Functia f ¹: G2→G1 este bijectiva.

Fie y si y G2. Deoarece f bijectiva, rezulta ca exista xsi x G1, astfel ca f(x)=ysi f(x)= y .

Avem:

f ¹( y y f ¹(f(x f(x f ¹(f(x· x x· x f ¹( y f ¹( y

Deci, f ֿ ¹ este izomorfism de grupuri.

TEOREMA

Fie (G, ) un grup. Atunci:

a) (End(G), ) este monoid;

b) Aut(G), ) este grup.

V. Realizarea feed-back-ului

Secventele activitatii

didactice

Activitatea

profesorului

Activitatea

elevului

Metode

Procedee

de evaluare

Captarea

atentiei

(2 min.)

Se verifica prezenta

si se capteaza

atentia

elevilor

Elevii

se pregatesc

pentru   ora



Conversatia

Observatia

Actualizare

(8min)

Se verifica prin sondaj

tema de acasa

Se reactualizeaza

notiunea de functie

injectiva,

surjectiva, bijectiva,

compunerea functiilor

Elevii raspund la

intrebari si noteaza

in caiete

definitiile si

exemplele de

functii

Conversatia

Explicatia

Analiza

raspunsurilor

Anuntarea competentelor

si prezentarea continutului

lectiei noi

(25min)

Profesorul anunta

competentele lectiei si

prezinta continutul

Elevii urmaresc

notiunile prezentate

la tabla, noteaza

in caiet si

raspund la

intrebari

Expunere

Conversatia

Explicatia

Observatia

Analiza

raspunsurilor

Asigurarea transferului

Obtinerea de performante

(8min)

Dirijarea invatarii:

-se reactualizeaza

notiunile teoretice

-se rezolva la tabla

exercitii simple ca

aplicatii la notiunile prezentate

Elevii raspund la

intrebari, rezolva

exercitiile de pe

fisa de lucru

Se prezinta la tabla

Explicatia

Problematizarea

Invatarea prin descoperire

Analiza

raspunsurilor

de pe fise

Feed-back-ul

(5min)

Tema pentru

acasa

(2min)

Tema pentru acasa

Manual(Burtea)

ex1,2,pag.59si de

rezolvat exercitiile din

fisa

Rezolva

subiectele din

chestionar

Noteaza tema

Activitate independenta

pe chestionar

Analiza

raspunsurilor

de pe

chestionare

Fisa de lucru

1. Fie ( C, +) grupul aditiv al numerelor complexe. Sa se arate ca f: C C unde f(z)= este automorfism de grupuri.

2. Fie ( C, · ) grupul multiplicativ al numerelor complexe.

Sa se arate ca f: C C, f(z)= este automorfism de grupuri

3. Fie (Z, +) grupul aditiv al numerelor intregi.

a) Sa se determine monoidul ( End (Z),

b) Sa se determine Aut(Z) si sa se arate ca grupurile (Aut(Z), ) si (Z, +) sunt  izomorfe .

4.Sa se arate ca functia f: C R, f(z)= este morfism intre grupurile (C,·) si (R,·)

5. Se considera :

M = .

Sa se arate ca :

a)    (M, +) este grup.

b)    f: R→M, f(x)= A (x) este izomorfism de grupuri intre (R,+) si (M, +)

6. Pe multimea R se definesc legile de compozitie:

xy=x+y+a, x┴y =x+ay-1.

Sa se determine a si b real pentru care f: R→R, f(x) =x+b, sa fie izomorfism intre grupurile (R, ◦) si (R,┴).

7. Fie F= unde f : R Rsi f1(x)= x, f2= -x, f3=

f . Sa se arate ca:

a) (F, ) este grup comutativ

b) (F, ) este izomorf cu grupul lui Klein

Nota :

Exercitiile din fisa vor constitui si tema pentru acasa.

Fisele de lucru, insotite de rezolvari vor completa portofoliul elevului



loading...






Politica de confidentialitate

DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 3017
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2020 . All rights reserved

Distribuie URL

Adauga cod HTML in site