Ecuatia de transfer termic. Cazul unidimensional, stationar.

Ecuatia de transfer termic. Cazul unidimensional, stationar.

Se considera o bara, de lungime L si sectiune tranversala A, incalzita la un capat (Fig. 1a). Caldura se transmite de-a lungul barei astfel incat, la un moment dat, se va inregistra o crestere de temperatura la capatul opus. Considerand ca bara are peretii izolati, caldura se transmite in lungul abscisei x, printr-un process de conductie unidimensionala. Asa cum se obisnuieste in literatura de specialitate, pentru demonstrarea ecuatiei tranferului termic, se considera un volum elementar inchis (nu face schimb de masa cu exteriorul) (Fig. 1b) situat intre abscisele x si

Pentru acest volum elementar se scrie Legea I a Termodinamicii:

, (1)

unde q_i sunt fluxurile de caldura schimbate de volum cu exteriorul. Se respecta regula cunoscuta din Termodinamica potrivit careia un flux termic este pozitiv daca el este primit de sistem si este negativ in caz contrar; w_i sunt lucrurile mecanice (pe unitatea de timp) schimbate de sistem cu exteriorul. Acestea sunt considerate negative daca sunt efectuate de exterior asupra sistemului si pozitive in caz contrar; E este energia interna a sistemului; t este timpul.

Deci, ecuatia (1) exprima faptul ca modificarea energiei interne a unui sistem inchis se datoreaza schimburilor de caldura si lucru mecanic cu exteriorul.

Pentru Fig. 1b, ecuatia (1) ia urmatoarea forma:

. (2)

Folosim dezvoltarea in serie Taylor a functiei f in punctul :

,

si o rescriem pentru obtinand:

. (3)

Inlocuind (3) in (2), obtinem:

sau

. (2')

Legea lui Fourier stabileste ca fluxul termic este proportional si de sens opus cu gradientul de temperatura. Matematic, aceasta afirmatie este descrisa, in cazul unidimensional, de ecuatia (4)

, (4)

unde k este conductivitatea termica a materialului [W/mK], proprietate ce se gaseste experimental; temperatura este o functie de spatiu si timp.

Pentru demonstratie, se va considera ca lucrul mecanic efectuat asupra sistemului (deci negativ ca valoare) este de natura electrica. El se regaseste in sistem, datorita efectului Joule, sub forma de aport (flux) termic, [W/m³]

. (5)

Energia interna a sistemului este

, (6)

unde ρ este densitatea materialului, u este energia interna a sistemului (du=cdT, c este caldura specifica a materialului barei), astfel incat

. (7)

Inlocuind ecuatiile (47) in ecuatia (2') obtinem ecuatia tranferului termic in cazul unidimensional:

.

Dupa simplificarea cu , ecuatia devine:

. (8)

Daca aria A este constanta, ecuatia (8) devine:

. (8')

Considerand conductivitatea termica a materialului ca fiind constanta, cu alte cuvinte, daca materialul este izotrop, ecuatia (8') se scrie:

, (9)

sau, impartind ecuatia de mai sus cu k,

, (10)

unde [m²/s] este difuzivitatea termica a materialului.

Daca nu exista surse interne de caldura, , ecuatia transferului termic devine

, (11)

sau

, (12)

unde Δ este semnul folosit pentru operatorul lui Laplace.

Daca, in plus, campul termic este stationar, ecuatia campului termic devine

. (13)

Ecuatia (13) poarta denumirea de ecuatia lui Laplace.

In urma unei demonstratii asemanatoare, in cazul unui transfer termic tridimensional, raportat la un sistem de referinta cartezian, xyz, ecuatia transferului termic se scrie

. (14)

Daca materialul este izotrop, conductivitatea termica este o constanta de material iar ecuatia (14) se poate scrie

, (15)

unde

. (16)

Daca nu exista surse interne de caldura, iar campul termic este stationar, se regaseste ecuatia lui Laplace (13).

Sisteme de coordonate cilindrice si sferice

Alegerea sistemului de coordonate este impus de geometria corpului ce se ia in considerare. Sunt cazuri in care sistemul de referinta cilindric (Fig. 2) sau cel sferic (Fig. 3) este recomandat pentru rezolvarea usoara, cu success, a unei probleme.

Fig. 2. Sistem de coordonate cilindric. Fig. 3. Sistem de coordonate sferic.

Sistem de coordonate cilindric: ecuatia transferului de caldura ia forma

. (17)

Pentru un material omogen si izotrop, ecuatia (17) devine

. (18)

Sistem de coordonate sferic: ecuatia transferului de caldura se scrie

(19)

iar daca mediul este considerat omogen, ecuatia (19) devine

. (20)