Tabele si table de adevar

Tabele si table de adevar

Vom considera o valorizare oarecare v pe S(Q) si vom subantelege ca o propozitie S(Q) este adevarata sau falsa daupa cum este adevarata sau falsa in raport cu aceasta valorizare. Tabelele legilor de compozitie pe multimea prezentate in Sectiunea 3. devin atunci tabele de adevar pentru conectorii logici in modul urmator:

, .

Reluam explicit tabelul de adevar pentru fiecare conector logic. Astfel , pentru

S(Q)

se numeste tabelul de adevar al negatiei. Semnificatia sa este evident cea prezentata in Sectiunea 1.: este adevarata daca si numai σ este falsa. Pentru S(Q),

.

se numeste tabelul de adevar al conjunctiei si el arata ca este o propozitie adevarata daca si numai daca σ si sunt ambele adevarate;

se numeste tabelul de adevar al disjunctiei si el arata ca este falsa daca si numai daca σ si τ sunt ambele false;

se numeste tabelul de adevar al implicatiei si el arata ca este falsa daca si numai daca σ este adevarata si τ este falsa;

se numeste tabelul de adevar al echivalentei si el arata ca este adevarata daca si numai daca σ si τ au aceasi valoare de adevar.

1.Teorema. Fie S(Q). Daca si τ sunt tautologii atunci τ este tautologie

Demonstratie. Fie v o valorizare pe S(Q) astfel incat si . Tabelul de adevar al implicatiei arata ca, in aceasta situatie, singura posibilitate este .

Pe de alta parte putem construi tabla de adevar pentru o propozitie oarecare S(Q): in moul urmator: daca este multimea atomilor care apar in expresia lui σ consideram toate valorizarile v pe S( care, evident, sunt in numar de ) si calculam, pentru fiecare, valoarea de adevar . Tabla contine o linie de indexare si linii care corespund cu valorizarile v de mai sus; ea contine n coloane corespunzatoare atomilor , obligatoriu o coloana corespunzatoare lui σ si( dar nu neaparat) un numar neprecizat de coloane care corespund unor subpropozitii ale lui σ si care ajuta la calculul lui . Dupa cateva exemple constructia unei astfel de table devine evidenta.

2.Exemplu.Tabla de adevar a propozitiei este :

Ultima coloana arata ca propozitia data este adevarata in raport cu orice valorizare v pe S(Q) si deci ea este tautologie.

3. Exemplu. Tabla de adevar a propozitiei este:

Aceasta tabla se poate prezenta si sub o forma prescurtata astfel:

Acum pe coloana a doua apare valoarea de adevar a lui si pe coloana a patra valoarea de adevar a propozitiei date in timp ce coloanele 1,3,5 corespund atomilor . Vedem ca in raport cu valorizarile v pentru(linia a sasea) propozitia noastra este adevarata iar in raport cu valorizarile v pentru care (linia a saptea) ea este falsa.

Exemplu. Tabla de adevar a propozitiei este:

iar tabla de adevar prescurtata este

Dam mai jos o lista de tautologii mai importante. Ele se verifica usor folosind una dintre metodele prezentate in Sectiunea 3., Sectiunea sau in sectiunile urmatoare. Unele dintre acestea fac obiectul unor exemple sau exercitii.

legea necontradictiei: ;

legea tertului exclus: ;

legea identitatii: ;

legea dublei negatii: ;

legea contrapozitiei: ;

legea negarii implicatiei: ;

legile lui De Morgan: , ;

tautologia modus ponens: ;

tautologia modus tolens: ;

(10) legile silogismului: ,

(11) lege transportului: .

Exercitii

1. Daca propozititiile A si B sunt adevarate si propozitia C este falsa decideti care din urmatoarele propozitii este adevarata si care este falsa:

(a) , (b) , (c) , (d) , (e) ,

(f), (g) ,   

(h) .

2.Completati urmatoarea tabla de adevar:

3. Construiti tabla de adevar pentru propozitia

Construiti tablele de adevar pentru propozitiile si .

5. Scrieti prescurtat tablele de adevar pentru propozitiile si .

6. Determinati care dintre urmatoarele propozitii este tautologie sau contradictie :

(a), (b) , (c) ,

, (e) , (f) ,

(g) , (h) .

Rezolvari

1. (a) adevarata; (b), (c),(d) false; (e),(f),(g), (h) adevarate:

(a) , (b) , (c) , (d) ,

(d) , (e) ,

(f) , (g) ,

(h) .

2.

.

3.

.

, .

5.

,

6. (a) Este tautologie:

(b) Propozitia nu este contradictie nici tautologie; acest lucru se vede pe coloana 7 a tablei de adevar( prescurtate) de mai jos:

(c) Nu este nici tautologie si nici contradictie

(d) Propozitia este tautologie si acest lucru se vede pe coloana 4 a tablei de adevar de mai jos:

(e) Propozitia este contradictie:

(f) Este tautologie:

(g) Este tautologie: