Scrigroup - Documente si articole

Username / Parola inexistente      

Home Documente Upload Resurse Alte limbi doc  

CATEGORII DOCUMENTE




loading...



AstronomieBiofizicaBiologieBotanicaCartiChimieCopii
Educatie civicaFabule ghicitoriFizicaGramaticaJocLiteratura romanaLogica
MatematicaPoeziiPsihologie psihiatrieSociologie


DIFEOMORFISME

Matematica

+ Font mai mare | - Font mai mic








DOCUMENTE SIMILARE

Trimite pe Messenger
DIFEOMORFISME
Principiul Inductiei Matematice
INTERPOLAREA NUMERICA - Formula de interpolare Lagrange
Schema lui Poisson - Probabilitati
Exercitii matematica
Probleme recapitulative Clasa a-VII-a Matematica - Tip TESTARE NATIONALA
Operatii cu numere rationale
COMBINARI - NUMERE COMPLEXE - LOGARITMI
Algebre Boole. Corpuri de parti
Rezolvarea ecuatiilor de gradul I

DIFEOMORFISME

1. DIFEOMORFISME DE CLASA C1




Fie U si V doua multimi deschise din Rn.

Definitia 1.1 (difeomorfism)

O functie     se numeste difeomorfism de

clasa C1 (C1- difeomorfism) de la U la V, daca:

f este bijectiva

f este de clasa C1 pe U

f -1 este de clasa C1 pe V.

Observatia 1.2

a)      Inversul unui C1-difeomorfism este C1-difeomorfism.

b) Compunerea a doua C1-difeomorfisme este C1-difeomorfism.

Propozitia 1.3

Daca f: U V este un C1-difeomorfism atunci pentru orice x U are loc relatia

, unde y =f(x

Demonstratie:

Cum prin ipoteza, f si f-1 sunt functii continue, diferentiabile iar folosind teorema de diferentiere a functiilor compune, pentru , daca y = f(x ), avem:

de unde .

Teorema 1.4

Fie f:U V un homeomorfism.

Daca f este diferentiabila in x0 I U si este inversabila, atunci f -1este diferentiabila in y0 = f(x0).

Demonstratie:

Cum prin ipoteza, f este bijectiva, pentru k I Rn cu proprietatea ca y0 + k = f(x0 + h) si anume h =f -1(y0+k) – f -1(y0).

Daca f este diferentiabila in x0 I U, atunci din egalitatea y0 + k = f(x0 + h) obtinem:

(1)

unde.

Pe de alta parte, fiind inversabila, avem:

si atunci

pentru i. y0 + kI V.

Daca k Rn, atunci, din continuitatea functiei f-1 rezulta ca h 0Rn si deci, deoarece

atunci:

Vom arata ca raportul este marginit pe o vecinatate a originii .

Din egalitatea (1) rezulta:

Cum apartine sferei unitate care fiind marginita si inchisa din Rn, iar aplicatia

fiind continua avem:

.

Cum aIS este nenul si este inversabila, rezulta ca

Pentru suficient de mic avem: , de unde

.

Functia f-1 fiind continua, pentru suficient de mic, obtinem:

este marginit.

Prin urmare

deci f-1 este diferentiabila in y0.

Vom accepta fara demonstratie urmatoarea teorema:

Teorema 1.5

Fie f:U V un homeomorfism.

Daca f este C1 pe U si dfx este inversabila pentru xIU, atunci f-1este de clasa C1 pe V (adica f-1 este C1-difeomorfism).

Teorema 1.6 (de inversiune locala)

Fie A Ì Rn o multime deschisa si x0 I A

Daca f: AÌRn Rn este o functie de clasa C1 pe A si este inversabila, atunci UÌA deschisa si V I Rn deschisa a.i. functia h: U V, definita prin h(x) = f(x), este C1-difeomorfism.

Demonstratie:

Consideram aplicatiile:

, unde notam

A1 = j(A), B1=Y(f(A)). Functiile j si Y sunt difeomorfisme. Consideram functia f :A1 B1 f1 Y f j

Observam ca

Se arata usor ca functia f este diferentiabila in x0 Û f este diferentiabila in 0.

Aceasta ne permite sa fie suficient sa demonstram teorema pentru functii

f: AIRn Rn de clasa C1 pe A cu 0I A, f(0) =0 si df0 inversabila.

.

Conform teoremei de diferentiabilitate a functiilor compuse F este diferentiabila in 0 si

Fie g: AÌ Rn Rn    g = F 1Rn

Aplicatia g este diferentiabila in 0 si dg0 = dF01Rn = 0 (aplicatia liniara identic nula).

Cum gI C1(A), aplicatia diferentiala dg :A L(Rn, Rn) este continua pe A, deci d > a.i. pentru xI A, cu x < d are loc



.

Conform teoremei de medie, pentru orice x,x1ID (0,d rezulta:

(2)

In particular, pentru x = 0, din egalitatea (2) obtinem xID(0,d

(3)

Fie: .

Evident V este deschisa si din continuitatea lui F rezulta ca U este deschisa, iar

Consideram fixat.

Definim aplicatia prin:

Atunci pentru

Pe de alta parte, x1, x2 I D(0,d

deci jy este o - contractie.

Conform principiului contractiei, j are un unic punct fix x*ID(0,d jy(x*) = x*.

Dar jy(x*) = x* Û y = F(x*) si prin urmare, aplicatia H:U V' definita prin    H(x) = F(x) este o bijectie. Atunci

si de aici .

Prin urmare, pentru y',y''IV', deci H-1 fiind lipschitziana, este continua.

Din cele prezentate mai sus rezulta ca aplicatia H:U V' este un homeomorfism.

Deoarece dF(0) = 1Rn rezulta ca matricea JF(0) este nesingulara, adica det JF(0) ¹

Cum FIC1(A), elementele matricii JF sunt functii continue pe A si prin urmare aplicatia

x: A det JF(x) I R este continua pe A.

Atunci, UIV(0), UÌU a.i. det JF(x) ¹ xIU, deci dFx este inversabila, xIU.

Daca luam V = H(U), atunci V este o multime deschisa.

Fie H U restrictia lui H la multimea U.

Deoarece H U:U V este un homeomorfism de clasa C1 pe U si pentru x IU, dHx = dFx este inversabila, rezulta ca H U este C1-difeomorfism.

Fie h:U V, h(x) = f(x). Atunci din H U = (df0) o h rezulta h = df0 o H U si deci h este C1 –difeomorfism.

Aplicatie (Schimbari de variabile)

Fie U, V doua multimi deschise din Rn si

f: (x1, x2, …, xn) I U Ì Rn y = f(x1, x2, …, xn) IR o functie de clasa Ck, k³1, pe multimea U.

Presupunem ca aplicatia j : V U

j: (u1, u2,…, un) (x1, x2, …, xn) = (j (u1, u2,…, un)),…, jn(u1,…,un))

este un difeomorfism de clasa Ck de la V pe U.

Se stie ca atunci functia g : V R, g = f o j, este de clasa Ck pe V. Ne propunem sa calculam derivatele partiale ale lui g.

In cazul ca putem explicita pe j , atunci pentru calculul derivatelor partiale punem

Y j Y Y Yn) si ne folosim de formula

unde x = (x1, x2,…, xn), u = (u1, u2, …,un).

Folosind formula de derivare a functiei compuse f = g o j avem

, unde u = y(x).

In cazul cand nu putem explicita pe j , atunci din relatia matriciala     Jg(u) = Jf(x)·Jj(u) unde x = j(u) se obtine sistemul Cramer



in necunoscutele (determinantul

sistemului este jacobianul lui j in u). Prin rezolvarea sistemului se obtin in functie de

Teorema 1.7 (a functiei implicite)

Fie o functie de clasa C1 pe multimea deschisa A:

Daca (xo, yo) I A, astfel incat

f(xo, yo) = 0Rp

atunci

a)     

b)      , astfel incat yo = g(xo) si f(x, g(x)) = 0Rp , xIU.

c)     

Demonstratie:

Fie h: A Ì Rn Rp Rn Rp definita prin, h(x,y) = (x, f(x, y)). Atunci

si acesta este nenul conform ipotezei 2).

In plus, h este de clasa C1 pe A.

In baza Teoremei de inversiune locala, si o vecinatate

deschisa V* a lui h(xo,yo) = (xo, f(xo, yo)) = (xo, 0Rp), V* = h(U*), astfel incit functia j:U* V*, definita prin este un C1 –difeomorfism.

Multimea U* poate fi aleasa de forma U* = U V, unde U este o multime deschisa din Rn cu xoI U, iar V este o multime deschisa din Rp, cu yoIV.

Asadar, j:U V V* este un C1 –difeomorfism, iar inversul sau j : V* U V este de forma j (x,y) = (x, Y(x,y)), unde Y:UxV Rp este de clasa C1 pe UxV.

Fie p:U V Rp, definita prin p(x,y) = y.Atunci p o j = f si

deci f(x,y(x,0Rp)) = 0Rp.

Aplicatia cautata este g:U V, g = (g1,…, gp) definita prin g(x) = y(x, 0Rp).

Unicitatea lui g rezulta din unicitatea lui y

Pentru a deduce formula de derivare de la punctul c) observam ca pentru x I U

sau

Sistemul (4) este liniar si neomogen, cu p ecuatii si p necunoscute. Cum prin ipoteza, determinantul sistemului (4)

este nenul, sistemul are solutie unica si prin rezolvarea lui cu regula lui Cramer se obtine formula c

In continuare, in ipotezele Teoremei 4.4, vom considera urmatoarele cazuri particulare:

I.          Cazul n = p = 1: Functia f:AÌ R R R, (x,y) f(x,y) se anuleaza in punctul (x0,y0) I A, adica f(x0,y0) = 0 si .

Atunci astfel incat:

, gIC1(U) pentru care f(x, g(x)) = 0, xIU si .

II. Cazul n ¹ 1, p =1: Functia f: A Ì Rn R R, unde x = (x1, x2, …, xn) se anuleaza

in punctul (x0, y0) IA, adica f(x0, y0) = 0 si .

Atunci, o vecinatate U a punctului x0 = (a1,a2,…, an), U Ì Rn, o vecinatate deschisa V a punctului y0, VÌ R si o unica functie g : U V, de clasa C1 pe U astfel F(x, g(x)) = 0, x I U si

III. Cazul n = 1, p ³ 2: Fie f: A Ì R Rp Rp, f = (f1, f2, …, fp), unde x I R,    y = (y1, y2, …, yp) I Rp.

Ecuatia f(x,y) = 0Rp este echivalenta cu sistemul

Daca pentru (x0, y0) I A, f(x0, y0) = 0Rp si atunci exista o vecinatate deschisa U Ì R, a lui x0, o vecinatate deschisa VÌ Rp, a lui y0 si o unica functie g: U V,    g = (g1, …, gp) de clasa C1 pe U astfel incat



loading...






Politica de confidentialitate

DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 654
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2020 . All rights reserved

Distribuie URL

Adauga cod HTML in site