Geometrie analitica pe dreapta

Geometrie analitica pe dreapta

1. Coordonata pe dreapta

Fie dreapta E₁ si doua puncte ale sale. Atunci segmental este nenul si are sens urmatoarea:

Definitia 1.1. Sistemul , unde O este un punct fixat iar este vectorul reprezentat de , se numeste reper cartezian pe dreapta.

Punctului E₁ ii putem asocia segmentul orientat si deoarece si au aceeasi directie, exista scalarul real astfel incat si acesta este unic.

Am asociat punctului numarul , corespondenta astfel stabilita fiind bijectiva. Ea poarta numele de coordonata carteziana pe dreapta, iar numarul real x se numeste abscisa alui M si se noteaza M(x).

2. Sisteme de coordonate in plan

Definitia 2.1. Sistemul , unde este un punct fixat, iar este o baza a lui V se numeste reper cartezian in planul . El se numeste ortonormat daca baza este ortonormata si in acest caz se noteaza .

Fie E₂ . Deoarece este o baza a lui V vectorul reprezentat de admite descompunerea unica .

Am atasat astfel punctului E₂ cuplul , deci am stabilit o corespondenta bijectiva intre E₂ si , numita functie coordonata in plan. Numerele reale x, y poarta numele de abscisa, respective ordonata a punctului M si se noteaza M(x,y).

Prezentam trei aplicatii ale notiunii de coordonata carteziana in plan.

a). Distanta dintre doua puncte

Fie punctele in planul raportat la reperul cartezian ortonormat .

Avem

si atunci

.

b Translatia

Consideram reperele carteziene , notam cu coordonatele aceluiasi punct, relativ la si . Daca atunci avem

de unde rezulta

. (1)

Trecerea de la reperul la se numeste translatie, iar ecuatiile (1) sunt ecuatiile acesteia.

c). Rotatia

Consideram reperele carteziene ortonormate in plan si notam cu coordonatele unui punct, relativ la cele doua repere.

Daca unghiul de rotatie este , tinand seama de faptul ca:

din

obtinem

(2)

ecuatiile rotatiei.

3. Sisteme de coordonate in spatiu

Definitia 3.1. Sistemul , unde O este un punct fixat din E₃ iar este o baza a spatiului vectorial V₃ se numeste reper cartezian in E₃. Daca baza este ortonormata atunci se numeste reper cartezian ortonormat. Reperul cartezian se numeste drept orientat daca privind din extremitatea lui , sensul lui se obtine din cel al lui , prin rotatie, in sens trigonometric de unghi a carui masura este mai mica de 180⁰. In caz contrar reperul se numeste stang orientat.

Reperele carteziene ortonormate drept orientate se reprezinta grafic ca in figura urmatoare:

Presupunem spatiul E raportat la un reper cartezian ortonormat drept orientat . Fie E . Deoarece este o baza a spatiului vectorial V₃ vectorul reprezentat prin segmental orientat admite descompunerea unica

Am atasat punctului astfel punctului M, tripletul de numere reale . Corespondente obtinuta

E

este bijectiva si poarta numele de coordonata carteziana in E . Numerele reale x, y, z se numesc coordinate ale punctului M (x - abscisa, y - ordonata, z - cota) si se noteaza M(x, y, z).

Prezentam cateva aplicatii ale notiunii de coordonata carteziana in spatiu.

a). Distanta dintre doua puncte

Fie punctele in spatiul raportat la reperul cartezian ortonormat . Distanta dintre aceste puncte este egala cu modulul vectorului

si atunci obtinem formula

.

b Coordonate cilindrice

Fie . Consideram numerele reale si unde este distanta , iar este unghiul dintre vectorii si , fiind proiectia ortogonala a punctului M pe planul xOy (figura de mai jos).

Atunci avem:

iar aplicatia E - este bijectiva daca impunem conditiile:

Numerele reale , definite mai sus, poarta numele de coordonate cilindrice ale punctului . Legatura intre ele si coordonatele carteziene este:

.

c Coordonate sferice

Fie punctul M(x,y,z), diferit de originea O a reperului cartezian ortonormat si sa notam cu distanta , unghiul dintre vectorii si si respectiv pe cel dintre si (M' este proiectia punctului M pe planul xOy).

Am asociat astfel punctului M(x,y,z) numerele reale definite de formulele:

obtinand astfel aplicatia:

E - .

Numerele se numesc coordinate sferice ale punctului M.

Planul si dreapta in spatiu

Planul in spatiu

In spatiul E , raportat la reperul cartezian ortonormat , consideram vectorii necoliniari si punctual . Exista un singur plan ce trece prin si este paralel cu .

Remarcam faptul ca M(x,y,z)daca si numai daca vectorii , sunt coplanari deci daca si numai daca exista astfel incat .

Scrisa pe componente, egalitatea de mai sus devine;

(3)

Relatiile (3) se nemesc ecuatii parametrice ale planului .

Conditia de planaritate a celor trei vectori este echivalenta cu faptul ca produsul lor mixt este nul, adica:

(4)

Observatii:

Punctele , si vectorul , in cazul in care vectorii si nu sunt coliniari. Tinand seama de ecuatia (4) rezulta:

Punctele , si , necoliniare, determina un singur plan de ecuatie:

fiind determinat de punctul M₀ si fiind paralel cu vectorii si

Revenind la ecuatia (4) rezulta ca ecuatia unui plan ce trece prin punctul are forma:

.

3. Dreapta in spatiu

In spatiul E , raportat la reperul cartezian ortonormat , consideram punctul si vectorul .

Punctul apartine dreptei , determinata de punctual si de directie daca si numai daca vectorul este parallel cu , adica exista numarul real t astfel incat:

Se obtin astfel ecuatiile parametrice ale dreptei :

, . (5)

Eliminand pe intre ecuatiile (5), rezulta ecuatiile carteziene ale dreptei:

De aici rezulta ecuatiile dreptei care trece prin punctele si :