Rangul unei matrice - Matrice inversabile

Rangul unei matrice

Def.: Fie A M_m,n(C) o matrice nenula. Spunem ca matricea A are rang r daca A are un minor nenul de ordin r, iar toti minorii lui A de ordin mai mare decat r sunt nuli.

Rangul unei matrice este deordinul maxim al minorilor nenuli.

Teorema:

1. Fie A= 0_m,n o matrice. Numarul natural r este rangul matricii A daca si numai daca un minor de ordin r al lui A nenul, iar toti minorii de ordin r+1 (daca ) sunt nuli.

2. Fie A M_m,n(C) si B M_n,s(C) doua matrici. Atunci minor de ordin k, 1min (m,s) al produsului de matrice AB se poate scrie ca o combinatie liniara de minori de ordinul k ai matricei A (sau B).

Consecinta:

Rangul produsului a doua matrice este mai mic sau egal cu rangul fiecarei matrice.

Matrice inversabile

Def.: Fie A o matrice patratica de ordin n. Se spune ca A este inversabila daca o matrice B patratica de ordin n astfel incat AB=BA = I.

Teorema:

1. Inversa unei matrice patratice, daca este unica.

2. Fie A o matrice patratica de ordin n cu coeficientii numere complexe. Atunci matricea A este inversabila daca si numai daca det.A este nenul.

Ex.: Algoritm pentru A^-1

A=

1. Se calculeaza det.A: - daca det.A =0 A: singulara A^-1

2. det.A 0

Se calculeaza A^t

A^t=

3. Se calculeaza A*

A* = unde T₁₁ = (-1)^1+1.D₁₁ =

4. A^-1 = A* A^.A^-1= A^-1.A =I

Ecuatii matriciale:

I. Ax = B A,B - matrice patratica

Calculam det.A =0 A^-1

Calculam A^-1

A^-1./Ax =B x= A^-1.B

II. xA =B

Verificam det.A0 A^-1

Calculam A^-1

XA=B/^. A^-1X= B^. A^-1

III. A^.x ^.B =C A,B, C - matrice patratica

Calculam det.A si det.B

det.A0A^-1

det.B0A^-1

Calculam A^-1 si B^-1

A^-1./A^.x^.B =C x^.B = A^-1.C/ B^-1 x= A^-1.C^. B^-1