Scrigroup - Documente si articole

Username / Parola inexistente      

Home Documente Upload Resurse Alte limbi doc  

AstronomieBiofizicaBiologieBotanicaCartiChimieCopii
Educatie civicaFabule ghicitoriFizicaGramaticaJocLiteratura romanaLogica
MatematicaPoeziiPsihologie psihiatrieSociologie


Inegalitati intre liniile importante in triunghi

Matematica

+ Font mai mare | - Font mai mic




Inegalitati intre liniile importante in triunghi

Aplicatia II.7.1: Sa se arate ca in orice triunghi ABC are loc inegalitatea:




fig.II.7.1

Solutie:

Fie triunghiul ABC si ABC mijloacele laturilor (BC), (CA), (AB). Fie astfel incat si M simetricul lui A fata AC. Fie astfel incat si N simetricul lui A fata de AB. Se observa ca

(1)

Cum triunghiurile MMB si AMB sunt congruente (L.U.L) obtinem:

(2)

De asemenea (L.U.L.) ceea ce implica

(3).

Inlocuind (2) si (3) in (1) deducem ca: si cum ABC sunt mijloacele laturilor (BC), (CA), (AB) obtinem:

(4)

Prin constructie MN este linie mijlocie in triunghiul AMN, ceea ce conduce la:

MN= 2MN (5), dar din teorema sinusurilor (in triunghiul ANM) deducem

(6)

Cum obtinem ca patrulaterul ANAM este inscriptibil si, deci adica: si din: (7)

Iar (8)

In triunghiul AMA, ,de unde obtinem: (9)

Inlocuind (7), (8) si (9) in (6) deducem succesiv ceea ce conduce la:MN=AA,adica dar avand in vedere (5) obtinem: iar relatia (4) devine ceea ce implica:

, care este echivalenta cu , adica: si prin urmare: , deci , cu egalitate in cazul triunghiului echilateral.

Aplicatia II.7.2. Sa se demonstreze ca in orice triunghi ABC au loc inegalitatile:

1)

2)

Solutie:

1)Se stie ca: ,prin urmatoarele:

ceea ce conduce la: cu egalitate in cazul triunghiului echilateral.

2) Fie triunghiul ABC si

astfel incat (fig.II.7.2)

In triunghiul AAB, ceea ce implica:

c>ha .

In triunghiul ACC, si deci b>hc,

iar in triunghiul BBC, de unde a>hb

fig.II.7.2

Prin urmare, c>ha , b>hc si a>hb ceea ce conduce la a+b+c>ha+hb+hc si deci: ha+hb+hc>2p

Aplicatia II.7.3: Fie ABC un triunghi dreptunghic cu (fig. II.7.3.)Atunci are loc inegalitatea :

fig.II.7.3

Solutie:

Se stie ca : si . Prin urmare, inegalitatea din enunt devine: (*)

Din relatia obtinemdeci pentru a demonstra (*) este suficient sa verificam:

care este adevarata Egalitate avem daca b=c, adica in cazul triunghiului dreptunghic isoscel.

Aplicatia II.7.4: Sa se demonstreze ca in orice triunghi ABC au loc inegalitatile:

1)

2)

3)

Solutie:

1) Fie triunghiul ABC si (fig.II.7.4)

In triunghiul ABA: , iar in triunghiul

ACA: , deci 2ma=a+b+c, de unde ma<p

Celelalte relatii se obtin in mod analog.

fig.II.7.4

2) Fie triunghiul ABC si

Consideram punctul M ca fiind simetricul lui A

fata de mijlocul segmentului (BC) (fig.II.7.5)

Prin urmare AM=AA+AM=ma+ma.

Triunghiurile AAC si MAB sunt congruente

(L.U.L) ceea ce implica: BM=AB=b

In triunghiul ABM avem: AM<AB+BM, ceea

ce implica 2ma <b+c. fig.II.7.5

Celelalte relatii se obtin in mod similar

3) Fie triunghiul ABC si astfel incat AA, BB, CC sunt mediane (fig.II.7.6)

conform punctului 2) avem:

ceea ce implica

adica (*)

Consideram punctul N ca fiind

intersectia dreptei BC cu paralela

prin A la mediana BB. Notam cu

, unde M este simetricul

lui A fata de mijlocul segmentului (BC),

iar cu fig.II.7.6

Observam ca AEBB este paralelogram de unde rezulta ca EB=AB=b/2 si cu BM=AC=b, obtinem ME=3b/2.

In triunghiul MNA avem: NA este mediana iar BE=ME/3 si BM=2ME/3 prin urmare, NA, ME si AF sunt mediane .

De asemenea, AM=2ma, NM=2mc, AN=2mb, iar (**)

Conform relatiilor din punctul 2) vom avem in triunghiul ANM: 2AF<AN+AM, 2ME<MA+MN, 2NA<NA+NM, dar avand in vedere relatiile (**) obtinem:

de unde rezulta 3(a+b+c)<4(ma+mb+mc) care este echivalenta cu : , dar si deci p<ma+mb+mc, care impreuna cu (*) ne da dubla inegalitate din enunt.

Aplicatie II.7.5: Se considera triunghiul ABC si ma,mb,mc respectiv lungimea medianelor corespunzatoare laturilor BC, AC, AB. Sa se arate ca a>b>c daca si numai daca ma<mb<mc

Solutie:

Fie triunghiul ABC, ABC mijloacele

laturilor (BC), (AC),(AB) si G centrul

de greutate al triunghiul ABC (fig.II.7.7)



=> presupunem a>b>c. deoarece

in triunghiurile ACC si BCC avem

,

Obtinem conform teoremei II.1.8 ca

Prin urmare in triunghiurile ACG si BCG,

avem si fig.II.7.7

obtinem conform teoremei II.1.8 ca BG>AG dar BG=2mb/3

iar AG=2ma/3 ceea ce implica .

Analog se demonstreaza ca si deci .

<= presupunem ca . Cum obtinem de unde . Deci in triunghiurile ACG si BCG avem

de unde rezulta Prin urmare comparand triunghiurile ACC si BCC avem AC=BC ceea ce implica , deci In mod analog, avem si deci: .

Aplicatia II.7.6: Se noteaza cu M,N si P respectiv mijloacele laturilor (BC); (AC) si (AB) ale triunghiul ABC oarecare. Dreptele AM , BN si CP intersecteaza cercul circumscris triunghiul ABC in Q,S,T (fig.II.7.8). Sa se arate ca:

Solutie:

Puterea punctului M fata de cerc implica:

AM/MQ=BM/BC dar BM=MC=A/2 iar

AM=ma de unde rezulta deci

. In mod analog obtinem

si . Avand cele trei relatii si folosind

teorema medianei avem:

fig.II.7.8

.

In concluzie .

Aplicatia II.7.7: Se considera triunghiul ABC in care: si D mijlocul lui (BC)

(fig.II.7.9). Sa se arate ca

Solutie:

Din ipoteza

dar ,

prin urmare: , ceea

ce conduce la conform teoremei

II.1.3 in triunghiul ABD sau

, deci in triunghiul ADC, fig.II.7.9

conform teoremei II.1.3 deducem ca . Deci sau , ceea ce implica .

Aplicatia II.7.8 (Problema 2717 G.M. nr.3/1989): Daca a,b,c sunt laturile unui triunghi, iar sunt lungimile medianelor corespunzatoare acestor laturi, atunci avem: .

Solutie:

Conform aplicatiei II.7.4 putem scrie: .

Aplicand inegalitatea mediilor pentru si obtinem:

si in mod analog deducem ca: si . Prin urmare, si inegalitate din enunt este demonstrata.

Aplicatia II.7.9: Sa se arate ca intr-un triunghi oarecare ABC: .

Solutie:

Fie triunghiul ABC si astfel incat Avem si (*).

Din teorema bisectoarei .

Deducem de unde

si deci adica ceea ce

implica .

Utilizand teorema lui Pitagora in triunghiurile

si reiese

ca: si

obtinem: (**). Prin urmare din relatiile

(*) si (**) obtinem . Daca

triunghiul ABC este isoscel, ,

inaltimea, bisectoarea interioara si mediana

duse din A coincid si, drept urmare . fig.II.7.10

Aplicatia II.7.10: Daca intr-un triunghi ABC avem , atunci .

Solutie:

Avem:

, dar , , implica: ceea ce este echivalent cu . Egalitatea este verificata pentru a=b sau , deci cand triunghiul ABC este isoscel cu varful in C sau dreptunghic cu .

Aplicatia II.7.11: Sa se arate ca in orice triunghi ABC are loc inegalitatea:

, ,

Solutie:

Din teorema medianei avem: , dar si deci rezulta de unde obtinem: (1) cu egalitate pentru b=c.

Pe de alta parte,, conduce la . Celelalte relatii se deduc in mod asemanator.

Aplicatia II.7.12: In orice triunghi au loc inegalitatile:

Solutie:

adevarat.

Avem egalitate pentru triunghiul echilateral.

Fie i centrul cercului circumscris (fig.II.7.11).

Exprimam pe AI: In

In

Fie .

In triunghiul IBC (fig.II.7.12):

fig.II.7.11

Deci

fig.II.7.12






Politica de confidentialitate



DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 1471
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2021 . All rights reserved

Distribuie URL

Adauga cod HTML in site