Metoda Krilov

Metoda Krilov

Fie D(λ) = det (λE - A) =

care difera printr-un semn de polinomul caracteristic.

Matricea A anuleaza polinomul caracteristic si prin urmare avem:

(3.6)

Fie y⁽⁰⁾ un vector nenul oarecare

Inmultim (3.6) prin y⁽⁰⁾ si obtinem:

Notam:

(3.7)

Deci avem:

sau

sau

cu .

Facand calculele obtinem sistemul:

(3.8)

Daca sistemul (3.8) este compatibil determinat, prin rezolvarea lui se obtine p₁, p₂, ., p_n.

Observatie 3.2.1 Din formulele (3.7) rezulta

(3.9)

ceea ce simplifica simtitor calculul.

Exemplu 3.2.1 Determinati prin metoda Krilov polinomul caracteristic al matricei

Alegem:

Din formulele (3.7) si (3.9) de recurenta avem:

sau

Vom calcula cu al doilea rand de formule. Avem:

Formam sistemul matricial:

sau

Rezulta, in urma rezolvarii sistemului:

Deci

Programul pentru metoda Krilov

Programul prezentat determina sistemul care are printre solutii coeficientii polinomului caracteristic si, in cazul in care acesta este compatibil determinat, ii determina.

Vectorul y⁽⁰⁾ este momorat in coloana n a matricii sistemului generat si este ales astfel:

Matricea extinsa a sistemului generat este afisata. In continuare, daca sistemul este compatibil determinat, este rezolvat folosind metoda eliminarii a lui Gauss.

Datele de intrare sunt: dimensiunea si elementele matricii.

# include <math .h>

# include <conio .h>

# include <iostream .h>

int n, i, j, k, p, t;

double a[10][10], b[10][11], x[10], s, max;

void main (void)

for( i = 1; i <= n; i++)

b[i][n] = i;

for( j = n-1; j > 0; j--)

for( i = 1; i <= n; i++)

for( i = 1; i <= n; i++)

for( i = 1; i <= n; i++)

k = 1;

t = 0;

do

if (max = = 0)

t = 1;

else

for( i = k+1; i <= n; i++)

for( j = k+1; j <= n+1; j++)

b[i][j] - = b[i][k]*b[k][j] / b[k][k];

k++;}}

while ( (k<n)&&(t = = 0));

if ( ( t = = 1) | | (b[n][n] = = 0.0) )

cout<<"Sistemul nu este compatibil determinat!"<<endl;

else

cout<<"Coeficientii polinomului caracteristic:"<<endl;

for( i = 1; i <= n; i++)

cout<<"p"<<i<<" = "<<x[i]<<endl;

}

getch ( );

}