Scrigroup - Documente si articole

Username / Parola inexistente      

Home Documente Upload Resurse Alte limbi doc  

AstronomieBiofizicaBiologieBotanicaCartiChimieCopii
Educatie civicaFabule ghicitoriFizicaGramaticaJocLiteratura romanaLogica
MatematicaPoeziiPsihologie psihiatrieSociologie


Progresii aritmetice si geometrice

Matematica

+ Font mai mare | - Font mai mic




Progresii aritmetice si geometrice

 

Generalitati




Definitie. Se numeste sir de numere reale orice functie , unde   este o submultime finita a lui .

Exemple :

  1. , , .
  2. ,  , .
  3. , , . Aceasta functie nu este sir deoarece  este infinita .
  4. ,  ,  .

Vom presupune in general ca . Fie deci . Numarul  se noteaza in general cu  si se numeste termenul de rang  al sirului .

Notatie : Vom nota sirul  prin  sau  sau simplu .

Definitie. Sirul  se numeste marginit daca exista doua numere reale  astfel incat , .

Exemplu :

Sirul  definit prin termenul general ,  este marginit deoarece ,  (aici  si ).

Definitie. Sirul  este strict crescator (strict descrescator) daca ,   (, ) .

Observatii.

  1. Un sir  care este strict crescator sau strict descrescator se numeste sir strict monoton.
  2. Pentru a studia monotonia unui sir  se calculeaza diferenta a doi trmeni consecutivi  si se compara cu zero.
  3. In cazul in care sirul  este pozitiv si nu contine termeni nuli, monotonia se poate stabili calculand raportul a doi termeni consecutivi  si comaparandu-l cu 1 .

Exemplu :

Fie sirul  de mai sus, cu . Pentru a preciza monotonia sirului  se calculeaza diferenta , , ceea ce arata ca  sau  , , adica sirul  este strict crescator.

Moduri de a defini un sir :

1. Printr-o regula de calcul. In aceasta situatie se precizeaza o exprimare analitica pentru termenul de rang , , care permite calcularea oricarui termen al sirului.

Exemple :

1. Daca sirul  este dat prin , , atunci se poate calcula orice termen din sir. De exemplu , , , etc.

2. Daca  este sirul dat prin termenul general , , atunci , , etc.

2. Prin mai multe reguli de calcul.

Fie sirul  cu termenul general .

Avem  (, impar) ,  (, par),  (, impar).

3. Printr-o relatie de recurenta.

In acest caz un termen al sirului se exprima in functie de unul sau mai multi termeni precedenti. Pentru a determina bine elementele sirului trebuie precizati unul sau mai multi termeni.

Exemple :

1. , , ,  .

Observam ca aceasta relatie se poate scrie si sub forma , , adica diferenta a oricaror doi termeni consecutivi din sir este constanta .

2. , , ,  .

In acest caz catul a oricaror doi termeni consecutivi ai sirului  este constant.

3. , , , . Un termen al sirului incepand cu al treilea este egal cu suma precedentilor doi.

Determinarea oricarui termen se face din aproape in aproape : ,

 , , etc.

Progresii aritmetice

Definitie. Sirul  pentru care fiecare termen al sau, incepand cu al doilea se obtine din precedentul prin adaugarea aceluiasi numar  se numeste progresie aritmetica. Numarul  se numeste ratia progresiei.

Observatie. Deci  este progresie aritmetica daca avem relatia de recurenta , . Asadar pentru a proba ca sirul  este progresie aritmetica trebuie aratat ca diferenta a doi termeni consecutivi este constanta :

 constant, .

Notatie : Faptul ca  este o progresie aritmetica se marcheaza prin :

Se spune ca numerele  sunt in progresie aritmetica daca sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Exemplu :

Se considera sirul  cu termenul general , .

  1. Sa se stabileasca daca sirul dat este o progresie aritmetica si apoi sa se calculeze primii cinci termeni .
  2. Stabiliti care din termenii de mai jos este termen al sirului : 13988 , 235 , 688.

1. Pentru a preciza daca sirul este progresie aritmetica calculam diferenta a doi termeni consecutivi oarecare ,  si avem :

constant, .

Cum aceasta diferenta este constanta, egala cu 7, ea reprezinta ratia progresiei aritmtice. Deci . Primul termen este . Avem : .

2. Un numar  este termen al sirului  daca exista  pentru care . A-l determina pe  inseamna sa rezolvam ecuatia . Numarul natural  (daca exista) reprezinta rangul termenului din sir care este egal cu .

Pentru , avem  cu solutia . Deci numarul  este termenul .

Pentru  se obtine ecuatia  cu solutia  care insa nu este numar natural. Deci nu exista termen al sirului care sa fie egal cu 235.

In fine, pentru , ecuatia  are solutia . Prin urmare numarul  este termen al sirului si anume .

Propozitie. Progresia aritmetica  este un sir :

  • strict crescator, daca ratia ;
  • strict  descrescator, daca ratia .

Demonstratie. Din ,  se deduce imediat afirmatia.

Propozitie (Formula termenului general). Daca sirul  este o progresie aritmetica, avand primul termen  si ratia , atunci termenul general are forma :

, .

Demonstratie. Se face prin inductie matematica :

Consideram propozitia , .

Pasul1. Verificarea : , afirmatie adevarata.

Pasul 2.  :

Presupunem  adevarata si demonstram , cu alte cuvinte ca propozitia  este adevarata. Avem :

 

si deci  este adevarata.

Pasul 3. Finalizarea : , .

Propozitie. Sirul  este o progresie aritmetica daca si numai daca orice termen al sau, incepand cu al doilea, este medie aritmetica a vecinilor sai, adica daca

, .

Demonstratie. Daca sirul  este o progresie aritmetica de ratie , atunci , . Adunand cele doua relatii, membru cu membru, obtinem , de unde  .

Reciproc, din relatia , scrisa sub forma  sau

,  se deduce ca diferenta a doi termeni consecutivi ai sirului este constanta, ceea ce arata ca sirul  este o progresie aritmetica.

Observatie. Are loc relatia mai generala :

, .

Propozitie. Daca numerele  sunt in progresie aritmetica, atunci

, .

(Suma oricaror doua numere egal departate de numerele extreme  este egala cu suma numerelor extreme ).

Demonstratie. Se scriu toti termenii in functie de primul termen  si ratia . Avem :

  si

, ceea ce probeza afirmatia.

Propozitie (Suma primilor n termeni). Daca  este o progresie aritmetica, atunci

, .

(Suma primilor  termeni ai unei progresii aritmetice este egala cu produsul dintre semisuma termenilor extremi si numarul termenilor sumei).

Demonstratie. Scriem de doua ori suma ,

 .

Tinand cont de propzitia precedenta, fiecare paranteza este egala cu . Asadar , adica .

Observatie. Suma  se poate exprima in functie de primul termen  si ratia , astfel :

.

Observatie. Termenul general  se poate exprima cu ajutorul sumelor . Mai precis

, .

Exercitii rezolvate :

1. Progresia aritmetica  de ratie  este definita prin elementele sale. Determinati in fiecare din cazuri, elementul cerut .


a)      , . Calculati ;

b)      . Calculati ;

c)      , . Calculati ;

d)     , . Calculati ;

e)      , . Calculati  si ;

f)       . Calculati  si .


a) Formula termenului general este : . Pentru , avem

.

b) Din  deducem .

c) Din  se obtine  si deci .



d) Avem , iar de aici . Avem .

e) Avem sistemul   cu solutia , .

f) Se scriu cele doua relatii in functie de  si  si avem sistemul :

 cu solutia , .

2. Daca numerele  sunt in progresie aritmetica, sa se calculeze sumele :

 ,

 ,

in functie de ,  si .

Ideea este de a scrie un termen oarecare al fiecarei sume ca diferenta de doi termeni de acelasi tip. Pentru prima suma avem :

, . Atunci :

Pentru a doua suma, termenul general este (se rationalizeaza) :

, . Deci :

3. Sa se arate ca numerele , ,  nu pot fi termenii unei progresii aritmetice.

Presupunem, prin reducere la absurd, ca aceste numere sunt termenii (nu neaparat consecutivi) ai unei progresii aritmetice. Fie deci , ,  si sa admitem ca  sunt diferite intre ele. Atunci , , , . De aici ,

. Impartind membru cu membru aceste relatii, rezulta :  . Cum membrul stang este rational, il notam cu . Deci  sau , care prin ridicare la patrat devine : , ceea ce este absurd, deoarece membrul stang este irational iar membrul drept este rational. In concluzie , ,  nu pot fi termenii unei progresii aritmetice.

4. Daca  reprezinta suma primilor  termeni ai sirului  atunci :

a) Sa se determine termenul general ;

b) Sa se arate ca sirul  este o progresie aritmetica.

a) Din relatia , , rezulta :

, .

b) Calculam diferenta a doi termeni consecutivi

, , si constatam ca  este ratia progresiei in care .

Observatie.S-ar fi putut calcula  si  din , . De aici  si deci . Se verifica usor ca pentru  si  suma  reprezinta suma primilor  termeni ai acestei progresii aritmetice.

4. Sa se rezolve ecuatia : .

Sa observam ca termenii sumei sunt in progresie aritmetica de ratie . Notam . Atunci suma din stanga egalitatii devine :

. Rezolvand aceasta ecuatie gasim  si deci .

Progresii geometrice

Definitie. Sirul  cu  (primul termen) pentru care fiecare termen al sau, incepand cu al doilea, se obtine din precedentul prin inmultirea cu acelati numar  se numeste progresie geometrica. Numarul  se numeste ratia progresiei.

Observatie. Deci  este progresie geometrica daca avem relatia de recurenta ,  . Asadar pentru a proba ca sirul  este o progresie geometrica trebuie aratat ca raportul a doi termeni consecutivi ,  este constant :

 constant, .

Notatie. Faptul ca sirul  este o progresie geometrica se marcheaza uneori prin

 *. Spunem ca numerele  sunt in progresie geometrica daca sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Exemplu :

Fie sirul  cu termenul general , .

a)      Sa se stabileasca daca sirul dat este o progresie geometrica, calculand apoi primii cinci termeni.

b)      Stabiliti care din numerele de mai jos este termen al progresiei : 24, 96, 123.

a) Pentru a vedea daca sirul este o progresie geometrica se calculeaza raportul a doi termeni consecutivi :

, .

Cum acest raport este constant (nu depinde de rangul ) deducem ca sirul este o progresie geometrica de ratie , avand primul termen . Avem , , , .

b) A stabili daca un numar  este un termen al sirului revine la a determina rangul  pentru care .

Pentru  din  rezulta , adica . Asadar . Daca , atunci din  rezulta , adica . Deci . In fine, pentru  din  rezulta . Cum aceasta ecuatie nu are solutie in , deducem ca 123 nu este termen al sirului.

Propozitie. Fie  o progresie geometrica de ratie . Daca :

  •  si , atunci  este strict crescator ;
  •  si , atunci  este strict descrescator ;
  •  si , atunci  este strict descrescator ;
  •  si , atunci  este strict crescator.

Demonstratie. Din ,  si informatiile despre  si  conduc la concluziile din proprietate.

Propozitie (Formula termenului general). Daca sirul  este o progresie geometrica de ratie , atunci termenul general  are forma :

, .

Demonstratie. Se procedeaza prin inductie matematica.

Propozitie. Sirul  cu termeni nenuli este o progresie geometrica daca si numai daca pentru orice termen al sau, incepand cu al doilea avem :

, .

Demonstratie. Presupunem ca sirul  este o progresie geometrica de ratie  si deci , . De aici (se face produsul relatiilor) .

Reciproc, din  rezulta , . Aceasta ultima egalitate afirma ca raportul oricaror doi termeni consecutivi, incepand cu al doilea este constant. Deci sirul  este progresie geometrica.

Observatie. Are loc relatia mai generala :

, .

Propozitie. Daca numerele  sunt in progresie geometrica, atunci :

,  .

(Produsul oricaror doua numere egal departate de numerele  este egal cu produsul numerelor extreme ).

Demonstratie. Screiem termenii in functie de primul termen  si de ratia . Avem  si , ceea ce probeza afirmatia.

Propozitie (Suma primilor n termeni). Daca  este o progresie geometrica de ratie , atunci :

 .

Demonstratie. Daca , atunci , deci . Fie acum . Consideram . Din aceasta relatie se scade  si rezulta . Cum , de aici rezulta .

Exemrcitii rezolvate :

1. Progresia geometrica  de ratie  este definita prin anumite elemente date. Determinati in fiecare din cazuri, elementele cerute.

a)      . Calculati  si ;

b)      . Calculati  si ;

c)      , , . Calculati ;

d)     , , . Calculati ;

e)      , . Calculati ;

f)       . Calculati ;

g)      , . Calculati ;

h)      . Calculati .

a) Din  rezulta , ceea ce da . Acum .

b) Din  rezulta , iar de aici . Acum cunoscand  si , avem .

c) Din  deducem  sau . Din , avem  sau tinand seama ca  mai putem scrie .

De aici  si din prima egalitate , adica .

d) Rescriem relatiile in functie de primul termen si de ratie. Avem sistemul :

            .

Sistemul format din primele doua ecuatii devine :

             .

Impartind membru cu membru, cele doua ecuatii gasim , adica . Din a doua ecuatie . In fine, din ultima ecuatie a sistemului initial gasim .

e) Avem egalitatile (din scrierea lui ,  cu ajutorul lui  si ) :

             .

Daca , atunci  si  devin relatii imposibile. Prin urmare . Impartind membru cu membru, cele doua ecuatii rezulta ecuatia  cu solutiile , , . Retinem numai ultimele doua valori.

Daca , atunci  si deci , iar pentru  se obtine  cand  .

f) Din  reulta  sau , iar de aici  da . Daca  si  gasim , iar din  si  deducem .

g) Pentru a exprima  avem nevoie de  si . Din egalitatea  deducem  sau , adica . Din  avem  sau . Acum  se calculeza usor.



h) Din egalitatea  sau  rezulta , iar raportul .

2. Sa se calculeze sumele :

a)       ;

b)      .

a) Sa observam ca termenii sumei sunt in progresie geometrica de ratie , primul termen fiind . In suma avem  termeni si deci

 .

b) Pentru a calcula aceasta suma o vom imparti in mai multe sume, care fiecare in parte reprezinta suma unor termeni in progresie geometrica. Avem scrierea

In total avem  sume. Fiecare suma este formata din termeni in progresie geometrica de ratie . In dreapta fiecarei sume am aplicat formula de calcul . Deci  are valoarea data prin insumarea numerelor de la fiecare suma partiala, adica

=

.

3. Sa se calculeze suma  .

Folosim scrierea zecimala a unui numar si avem :

Observand ca in fiecare paranteza rotunda avem de insumat termeni care sunt in progresie geometrica de ratie .

Deci

Subiecte propuse

1. Progresia aritmetica  de ratie  este definita prin anumite elemente date. Determinati in fieacre din cazuri, elementele cerute.


a)      , . Calculati ;

b)      , . Calculati ;

c)      , . Calculati ;

d)     , . Calculati ;

e)      . Calculati ;

f)       , . Calculati ;

g)      , . Calculati ;

h)      , . Calculati ;

i)        , . Calculati ;

j)        , . Calculati .


2. Progresia aritmetica  de ratie  este definita prin anumite elemente date. Determinati in fieacre din cazuri, elementele cerute.


a)      , . Calculati  si ;

b)      . Calculati  si ;

c)      , , . Calculati  si ;

d)     , . Calculati  si ;

e)      , , . Calculati  si ;

f)       , . Calculati  si ;

g)      . Calculati ;

h)      , . Calculati  si ;

i)        , , . Calculati ;

j)        . Calculati ;

k)      , . Calculati  si ;

l)        , . Calculati  si ;

m)    . Calculati ;

n)      , , . Calculati ;

o)      , , . Calculati ;

p)      , , . Calculati ;

q)      , . Calculati ;

r)       . Calculati  ;

s)       , ,. Calculati ;

t)       , . Calculati .


3. Progresia geometrica  de ratie  este definita prin anumite elemente date. Determinati, in fiecare din cazuri, elementele cerute .


a)      , . Calculati ;

b)      , . Calculati ;

c)      , . Calculati ;

d)     , . Calculati ;

e)      , . Calculati ;

f)       , . Calculati ;

g)      , . Calculati ;

h)      , . Calculati .


4. Progresia geometrica  de ratie  este definita prin anumite elemente date. Determinati, in fiecare din cazuri, elementele cerute .


a)      , , . Calculati  si ;

b)      , , . Calculati  si ;

c)      , , . Calculati , ;

d)     , , . Calculati  si ;

e)      , , . Calculati , ;

f)       , , . Calculati , ;

g)      , , . Calculati ;

h)      , , . Calculati ;

i)        , , . Calculati  si ;

j)        , . Calculati ;

k)      , . Calculati .


5. Determinati termenul general al sirului  definit prin relatia de recurenta , daca .

6. Se considera sirul  definit prin relatia de recurenta , .

a)      Daterminati formula termenului general.

b)      Numarul  este termen al sirului ?

7. Se considera sirul  cu termenul general , .

a)      Stabiliti daca sirul  este o progresie aritmetica .

b)      Stabiliti care din numerele de mai jos este termen al sirului dat :

1) 600,4;          2) 300;             3) 300,4.

8. Aratati ca numerele , ,  nu pot fi termenii unei progresii geometrice.

9. Fie  patru numere in progresie aritmetica. Daca din aceste numere se scad numerele 2, 5, 7 si respectiv 7 se obtin alte patru numere in progresie geometrica. Sa se determine .



10. Fie sirul  definit prin , , . Sa se determine termenul general  al sirului.

11. Calculati in functie de  si  suma , daca  este o progresie geometrica de ratie .

12. Aratati ca daca  sunt sumele primilor  teremeni,  termeni si respectiv  termeni ai unei progresii geometrice, atunci :

            .

13. Sa se arate ca daca :

  1. numerele  sunt in progresie aritmetica, atunci si numerele  sunt in progresie aritmetica.
  2. numerele sunt in progresie aritmetica, atunci si numerele , ,  sunt in progresie aritmetica.
  3. numerele , ,  sunt in progresie aritmetica, atunci si numerele  sunt in progresie aritmetica.

14. Daca  este o progresie aritmetica de ratie , atunci sa se calculeze sumele :

           

             in functie de  si .

15. Fie  o progresie aritmetica. Definim sirul  prin , . Aratati ca  este de asemenea o progresie aritmetica.

16. Aratati ca numerele  nu pot fi termenii unei progresii aritmetice.

17. Se considera sirul  definit prin , , .

  1. Aratati ca , , iar sirul  nu este progresie aritmetica :
  2. Daca , , atunci sirul  este o progresie aritmetica. Determinati expresia lui  in functie de .

18. Daca ,  reprezinta suma primilor  termeni ai sirului , atunci :

a)      Sa se determine ;

b)      Sa se arate ca sirul  este o progresie aritmetica.

19. Calculati suma numerelor pare de doua cifre.

20. Sa se rezolve ecuatiile :

a)      ;

b)      ;

c)      ;

d)     ;

e)      .

21. Progresiile aritmetice 17,21, 25,  si  au si termeni comuni. Sa se arate ca suma primilor  termeni comuni este egala cu .

22. Sa se determine  astfel incat sirul de numere  definit prin  si ,  sa fie o progresie aritmetica.

23. Sa se calculeze sumele :


a)      ;

b)      ;

c)      ;

d)     ;

e)      ;


f)       , si apoi aratati ca , ;

g)      , .


24. a) Aratati ca numarul  este patrat perfect.

      b) Demonstrati egalitatea :  .

25. Determinati trei numere in progresie geometrica daca suma lor este 26, iar suma inverselor lor este .

26. Determinati  in progresie geometrica, daca  si .

27. Determinati sase termeni in progresie geometrica daca suma primilor trei este egala cu 168, iar suma ultimilor trei este 21.

28. Deteminati patru numere in progresie geometrica daca suma termenilor extremi este 27, iar suma termenilor din mijloc este 18.

29. Unsprezece numere sunt in progresie aritmetica. Primul termen este 24. Daca primul, al cincilea si al unsprezecelea termen sunt in progresie geometrica, atunci determinati cei unsprezece termeni.

30. Trei numere sunt in progresie geometrica. Daca se aduna 8 la al doilea numar, atunci aceste numere sunt in progresie aritmetica. Daca apoi 64 se aduna la al treilea numar (din ultimele trei), atunci numerele obtinute sunt in progresie geometrica. Sa se determine cele trei numere.

31. Intr-o progresie aritmetica al doilea termen este medie geometrica intre primul si al patrulea termen. Aratati ca al patrulea, al saselea si al noualea termen sunt in progresie geometrica.

32. Determinati o progresie aritmetica si o progresie geometrica daca primul termen din fiecare este egal cu 2, al treilea termen in cele doua progresii este acelasi, iar al unsprezecelea teremen al progresiei aritmetice este egal cu al cincilea termen al progresiei geometrice.

33. Primul termen dintr-o progresie aritmetica si geometrica este egal cu 3. Al doilea termen al progresiei aritmetice este mai mare cu 6 decat al doilea termen al progresiei geometrice. Termenul al treilea din cele doua progresii este acelasi. Determinati aceste progresii.

34. Suma a trei numere in progresie aritmetica este egala cu 21. Daca 2, 3 si 9 se aduna acestor numere, atunci se obtin alte trei numere in progresie geometrica. Determinati cele trei numere.

35. Se dau patru numere in progresie geometrica. Daca la aceste numere se adauga 3, 9, 11 si respectiv1, atunci se obtin alte patru numere in progresie aritmetica. Determinati numerele initiale.

36. Daca  sunt in progresie geometrica, atunci :

a)       ;

b)       ;

c)     

sunt de asemenea in progresie geometrica.

37. Fie sirul  definit prin , , .

Aratati ca sirul  nu este o progresie geometrica, dar sirul  cu ,  reprezinta o progresie geometrica.

38. Aratati numerele  nu pot fi teremenii unei progresii geometrice.

39. Daca  sunt radacinile ecuatiei , iar  sunt radacinile ecuatiei . Numerele , sunt in progresie geometrica strict crescatoare. Determinati pe  si .

40. a) Daca  este suma primilor  termeni ai unei progresii geometrice de ratie , atunci aratati ca  , .

b) Aratati ca :

            .

41. Se considera sirul  definit prin , , . Aratati ca sirul ,  este o progresie geometrica si calculati .

42. Fie sirurile ,  definite prin , , , .

a)      Aratati ca  nu este progresie geometrica ;

b)      Aratati ca  este progresie geometrica ;

c)      Determinati pe  si  in functie de .

43. Sa se gaseasca suma primilor douazeci de termeni ai unei progresii aritmetice, stiind ca .

44. Sa se calculeze urmatoarele sume :

a)      ;

b)      , unde , , .

45. Sa se arateca daca  sunt in progresie geometrica atunci are loc relatia .

46. Daca  sunt in progresie aritmetica, sa se calculeze suma :

            .

Sa se calculeze suma .

47. Sa se calculeze suma  stiind ca  sunt in progresie aritmetica. Caz particular :  . Sa se calculeze

 .

48. Sa se calculeze urmatoarele sume :

a)      ;

b)      .

49. Daca  sunt sumele primilor  termenei din  progresii aritmetice in care primul termen este 1 si ale caror ratii sunt  sa se arate ca aceste sume formeaza o progresie aritmetica. Sa se arate ca :

.

50. Sa se determine termenul al -lea al unei progresii aritmetice , daca  si , unde .

51. Fie numerele pozitive  in progresie geometrica crescataore si  un numar natural nenul. Sa se arate ca raportul sumelor

 si  nu depinde de n.

52. Sa se determine teremenul general al sirului  definit prin :

             si pentru orice  avem  .

53. Sa se calculeze sumele :

a)      ;

b)      ,  fiind un numar real.

54. Sa se calculeze suma

            .

55. Fie sirul de numere , unde ,  si pentru orice numar natural , avem :

. Sa se demonstreze ca , oricare ar fi .

56. Fie sirul de numere reale , unde ,  si pentru orice numar natural , avem . Sa se gaseasca formula termenului general.

57. Fie sirul de numere  astfel incat  si . Sa se gaseasca formula care defineste termenul geberal.

58. Fie sirul , definit astfel :  si . Sa se demonstreze ca oricare ar fi , avem .

59. Fie  suma primilor  termeni ai sirului :

                        .

a)      Sa se gaseasca o formula pentru ;

b)      Sa se arate ca , unde  sunt numere naturale cu .

60. Fie  si  sirul definit prin relatia . Fie ,   si ,  radacinile ecuatiei . Daca , atunci  este de forma

, iar daca , atunci  este de forma , unde  si  sunt numere reale.








Politica de confidentialitate

DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 4975
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2020 . All rights reserved

Distribuie URL

Adauga cod HTML in site