Transformarea Fourier

Serii Fourier

Definitie. O functie f:R→R se numeste periodica daca astfel incat ,

Exemple Functia constanta are ca perioada orice numar. Functiile sinx si cos x au perioadele 2 , …

Observatie. Avand in vedere ca orice multiplu intreg de T (kT, k) este de asemenea perioada pentru f, cea mai mica perioada pozitiva T>0 se numeste perioada principala a functiei f.

Propozitie. Daca este periodica de perioada T, atunci este periodica de perioada T/

Demonstratie.

Exemplu. Functiile sin x si cos x sunt periodice, de perioada 2 , functiile sin nx si cos nx au perioada 2 /n, iar perioada comuna a functiilor este 2

Propozitie. Fie f:R→R periodica de perioada T, integrabila pe R, atunci avem:

Definitie. Se numeste serie trigonometrica, o serie de forma:

unde sunt numere reale.

Propozitie. Daca f:R→R este o functie integrabila pe R, periodica de perioada 2π, care poate fi reprezentata printr-o serie trigonometrica

atunci coeficientii se calculeaza cu formulele :

Definitie. Seria trigonometrica a functiei ai carei coeficienti se calculeaza cu ajutorul formulelor de mai sus se numeste serie Fourier.

Observatie. Tinand seama de faptul ca integrala unei functii periodice de perioada 2 este aceeasi pe orice interval de lungime 2 , coeficientii pot fi calculati si astfel :

Integrala Fourier

Fie f : R → R o functie care nu este periodica. Functia f nu poate fi reprezentata printr-o serie Fourier pe axa reala.

Teorema. Daca functia f : R → R indeplineste urmatoarele conditii :

a)      f ese monotona pe potiuni ;

b)      f este marginita ;

c)      f este continua, avand cel mult un numar finit de puncte de discontinuitate de prima speta ;

d)      in oricare punct de discontinuitate, valoarea functiei se calculeaza astfel :

e)      f este absolut integrabila pe R,

atunci functia poate fi reprezentata astfel :

care se numeste foma complexa a integralei Fourier a functiei

Daca notam:

atunci

Definitie. Functia se numeste transformata Fourier (directa) a functiei , iar se numeste inversa transformatei Fourier.

Daca functia este para, se obtine :

Definitie. Functia se numeste transformata Fourier prin cosinus a functiei , iar este inversa transformatei Fourier prin cosinus.

Daca functia este impara, se obtine :

Definitie. Functia se numeste transformata Fourier prin sinus a functiei , iar este inversa transformatei Fourier prin sinus.

Exemple.

1. Sa se calculeze transformata Fourier a functiei

Transformata Fourier a functiei este

,

2. Sa se calculeze transformata Fourier a functiei

R

Transformata Fourier a functiei este

3. Sa se calculeze transformatele Fourier prin cosinus si sinus ale functiei

,

4. Sa se determine functia stiind ca

, unde

Ecuatia poate fi scrisa sub forma :

Aplicand inversa transformatei Fourier prin sinus, se obtine:

Proprietati ale transformatei Fourier

Propozitia 1 Transformarea Fourier directa este liniara

Demonstratie.

Propozitia 2. Transformarea Fourier directa are proprietatea de translatie.

R

Demonstratie.

Se face substitutia  si se obtine :

Propozitia 3. Pentru orice , are loc relatia :

Demonstratie.

Pentru a>0 facem substiutia si se obtine:

Pentru a<0, avem :

Propozitia 4. Pentru orice numar real oarecare h, are loc relatia :

Demonstratie.

Propozitia 5 Pentru k intreg si pozitiv are loc relatia:

Demonstratie.

Presupunem, prin inductie, ca este adevarata pentru k-1

si demonstram pentru k

Definitie. Se numeste produs de convolutie al functiilor si , integrala :

Propozitia 6. Tranfomarea Fourier a produsului de convoutie a functiilor  si este data de

unde si

Demonstratie.

Tema de casa nr. 6

1. Sa se calculeze transformatele Fourier ale functiilor :

1. Sa se calculeze transformatele prin sinus si cosinus ale functiei :

	0

3. Sa se determine functia din ecuatia :

unde