Wahrscheinlichkeitsrechnung

Begriffe:

S = sei eine Menge der Elementarereignisse

z.B. Würfel: S=

E Ì S ist ein Ereignis

P(S) ist die Menge der Ereignisse (P=Potenzmenge)

E=S ist ein sicheres Ereignis

E==Æ ist das unmögliche Ereignis

Wenn E Ì S ein Ereignis ist, dann ist S E = das Gegenereignis zu E bzgl .S:

= S E = Æ

Definition der Wahrscheinlichkeit W:

W: P(S) (W ist eine Funktion von P von S auf das Intervall 0 und 1)

W(S) = 1

W(Æ

Wenn E₁,,E_n paarweise disjunkte Ereignisse sind, dann gilt:

W(E₁ E₂ E_n) = W_(E1) + W_(E2) + + W_(En)

Wenn die Menge der Elementarereignisse endlich ist und das Auftreten der Elementare gleich wahrscheinlich ist, dann ist W folgendermaßen definiert:

Gegenereignis:

W(E) = 1-W()

Unabhängigkeit von Ereignissen:

Zwei Ereignisse A und B heißen genau dann unabhängig voneinander, wenn

W_{(A B)} = W_{(A B)} = W_(A) W_(B)

Kombinatorik

Eine Permutation einer endlichen Menge m ist eine bijektive Abbildung der Menge auf sich.

Bsp: M=

d identische Permutation: d

d d

d d

Ist m eine Menge mit n Elementen, dann existieren genau Pn = n!

Binominalkoeffizienten

zahllose Zusammenhänge

= n ³ k; n,k I N

=

= = 1

= 1

= 1

= = n =

Variation

Es sei eine Menge von n Elementen gegeben. Jede Auswahl von k Elementen unter Berücksichtigung der Anordnung ist eine Variation ohne Wiederholung.

Hier gilt folgender Satz:

V_n^(k)  = n (n-1) (n-2), , (n-k+1) = = k!

Bsp: M = , k £ n (a₁,a₃,a₉) ¹ (a₃,a₁,a₉)

Es sei eine Menge von n Elementen gegeben. Jede Auswahl von k Elementen unter Berücksichtigung der Reihenfolge, wobei jedes Element bis zu k-mal auftreten darf, ist eine Variation mit Wiederholung.

Hier gilt folgender Satz:

_n^|k| = n n n n = n^k

Kombination

Eine Auswahl aus k Elementen aus n Elementen (n ³ k) ohne Berücksichtigung der Reihenfolge heißt Kombination ohne Wiederholung.

Hier gilt folgender Satz: K_n^(k) =

Eine Auswahl aus k Elementen aus n Elementen (n ³ k) ohne Berücksichtigung der Reihenfolge, wobei jedes Element bis zu k-mal ausgewählt werden kann, heißt Kombination mit Wiederholung.

Hier gilt folgender Satz: _n^(k) =

Bernoullisches Versuchsschema

Bsp: In einem Glaskasten befinden sich n Bienen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei einer virtuellen Trennung des Glaskastens in zwei Teile, dass sich k Bienen im rechten Teil aufhalten? Voraussetzung: Die Bienen bewegen sich unabhängig voneinander)

W_rechts = p

W_links = p-1

W_n^(k) = p^k (1-p)^n-k

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Es gibt n mögliche Fälle. Dabei gibt es l günstige Fälle für ein Ereignis B. Unter diesen l Fällen sind k günstige Fälle für ein Ereignis A. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für A und B (dass beide zutreffen)?

W (A B) =

W (B) =

W (A| unter der Bed., dass B eingetreten ist) = W (A|B) = =

Definition:

Die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen von Ereignis A unter der Bedingung, dass B eingetroffen ist, ist W(A|B) = ; W(B) > 0

Die Ereignisse A und B sind genau dann voneinander unabhängig, wenn folgendes gilt:

W(A|B) = W(A) bzw. W(B|A) = W(B)

Beweis: W(A|B) = = = W(A)

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

Es seien A₁,A₂, ,A_n paarweise disjunkte Ereignisse mit A₁+A₂+A₃++A_n = S.

Dann gilt für ein beliebiges Ereignis K folgendes:

W(K) = K ¹ ; K Ì S

Beweis: W(K) = K)

Satz von Bayes

(Apostori-Wahrscheinlichkeit, Ereignis ist bereits eingetroffen)

Es seien A₁,A₂, ,A_n paarweise disjunkte Ereignisse mit A₁+A₂+A₃++A_n = S.

Dann gilt für ein beliebiges Ereignis K folgendes:

W(K) =

W(Ai|K) =

Beweis: W(Ai|K) W(K) = W(K|Ai) W(Ai) = W(Ai K)

W(Ai|K) =

Diskrete und stetige Zufallsvariablen

Eine ZV, die nur Werte aus einer endlichen oder abzählbaren unendlichen Menge annimmt, heißt diskret. Die Werte sind Sprungstellen, die Wahrscheinlichkeiten Sprunghöhen.

oder

z.B Poissonsverteilung

Wahrscheinlichten für die Zahlen n, wobei der Erwartungswert = a ist.

W(n)= e^-a ; n = 0,1,2,… a>0

weil e^-a

Eine ZV ist stetig, wenn eine nicht negative Funktion f existiert, so dass für die Verteilungsfunktion folgendes gilt:

F(x) = f(t) heißt dichte Funktion; F() = 1 => F() = = 1

ð      Fläche, die über eine ganze reelle Fläche nur 1 ergibt

W(aXb) = F(b) – F(a)

-

=+ =

ð       wird nie negativ, integral unter der Kurve über der x- Achse muss 1 sein -> dann Dichte

ð       Fläche muss betrachtet werden, nicht die Kurve

ð       Bsp. Gaußsche Glockenkurve

Unstetigkeits-/ Sprungstelle