DISTRIBUTIA TRANZITORIE DE TEMPERATURA INTR-O PLACA METALICA SUBTIRE

DISTRIBUTIA TRANZITORIE DE TEMPERATURA INTR-O PLACA METALICA SUBTIRE

O placa metalica subtire se gaseste initial la o temperatura uniforma de 200 grade C. La momentul t=0 temperatura peretelui este brusc redusa la zero. Celelalte fete ale placii sunt izolate .Se cere :

Sa se calculeze distributia tranzitorie de temperatura si sa se compare cu solutia analitica, utilizand metoda explicita(se va calcula ptr. momentele de timp t=40s , t=80s, t=120s)

Sa se calculeze solutia numerica ptr. un pas in timp dat de criteriu de stabilitate si sa se compare cu solutia analitica. Se cunoaste : lungimea placii L=2cm ,l=10 W/m*k ,r*Cp=10^-7     J/m³*k

Solutia

Ecuatia diferentiala ce guverneaza transferul termic este:

Conditia initiala : T = 200ºC la t=0

Conditiile la limita : = 0 pentru x = 0, t > 0

T = 0 pentru x = L, t > 0

Solutia analitica :

λ_n =

Se utilizeaza o retea de discretizare cu 6 noduri uniform distribuite ca in figura :

Pentru un nod interior ecuatia discretizata este :

Daca se considera _{e w} si A_e = A_w = A atunci se obtine :

Ecuatia este valabila pentru nodurile 2,3 si 4.

Pentru nodul 1 l (situat pe frontiera) se integreaza ecuatia pe jumatate de volum de control  si se obtine :

Pentru nodul 5 este valabila aceeasi ecuatie ca pentru un nod interior cu observatia ca termenul ce contine frontiera trece ca termen sursa suplimentar :

Se alege Δt = 2 [s] si se obtine :

Dupa inlocurea valorilor numerice in ecuatii si simplificand vom obtine:

Nodul 1 :

Nodul 2, 3, 4 :

Nodul 5 :

Forma matriceala a sistemului de ecuatii algebrice:

Comparatie : solutia numerica - solutia analitica

Se reprezinta grafic si se compara solutia analitica cu cea numerica:

Programul in Fortran:

program PROBLEMA5

parameter (nn=6,npt=10)

double precision temp(npt+1,nn),ax(nn),a(nn),b(nn),c(nn)

double precision wk(nn),temp1(nn)

double precision dx,alfa,rcp,tc,ti,l,dt

data con/10.0d0/,rcp/1.0d+07/,tc/0.0/,ti/200.0/,l/0.02/

dx=l/(nn-1)

write(*,*)'dx=',dx

alfa=con/rcp

write(*,*)'alfa=',alfa

dt=8.0

write(*,*)'dt=',dt

do j=1,nn

temp(1,j)=ti

enddo

a(1)=0.0

do i=2,nn-1

a(i)=-con/dx

enddo

c(1)=-con/dx

do i=2,nn-2

c(i)=-con/dx

enddo

c(nn-1)=0.0

b(1)=rcp*dx/2.0/dt+con/dx

do i=2,nn-1

b(i)=rcp*dx/dt+con/dx+con/dx

enddo

wk(1)=rcp*dx/2.0/dt*temp(1,1)

temp1(1)=temp(1,1)

do j=2,nn-1

wk(j)=rcp*dx/dt*temp(1,j)

temp1(j)=temp(1,j)

enddo

temp1(nn)=temp(1,nn)

do i=1,npt

call TRIDAG (A,B,C,WK,TEMP1,NN-1)

wk(1)=rcp*dx/2.0/dt*temp1(1)

temp(i+1,1)=temp1(1)

do j=2,nn-1

temp(i+1,j)=temp1(j)

wk(j)=rcp*dx/dt*temp1(j)

enddo

temp(i+1,nn)=tc

enddo

ax(1)=0.0

do j=2,nn

ax(j)=ax(j-1)+dx

enddo

open(20,file='apl5.prn')

do i=1,npt+1

write(20,*)'#npt=' ,i-1, 't=' ,8.0*(i-1), 's'

do j=1,nn

write(20,101)1000*ax(j),temp(i,j)

enddo

enddo

close (20)

format(f5.2,5x,f7.3)

stop

end

subroutine tridag (a,b,c,r,u,n)

parameter(nmax=200000)

integer j

double precision a(n),b(n),c(n),r(n),u(n)

double precision bet,gam(nmax)

if (b(1).eq.0.)pause'tridag:rewrite equations!'

bet=b(1)

u(1)=r(1)/bet

do j=2,n

gam(j)=c(j-1)/bet

bet=b(j)-a(j)*gam(j)

if (bet.eq.0.0) pause'tridag failed'

u(j)=(r(j)-a(j)*u(j-1))/bet

enddo

do j=n-1,1,-1

u(j)=u(j)-gam(j+1)*u(j+1)

enddo

return

end