SISTEME DE COMUNICATII PENTRU TRANSPORTURI - Echivalentul trece-jos al unui semnal trece-banda

SISTEME DE COMUNICATII PENTRU TRANSPORTURI

Echivalentul trece-jos al unui semnal trece-banda

1. Obiectivul lucrarii

In aceasta lucrare, se studiaza echivalentul trece-jos al unui semnal trece-banda, utilizat pentru a simplifica descrierea sistemelor de transmi-siune care utilizeaza modulatia-demodulatia unui purtator sinusoidal.

2. Introducere teoretica

Un semnal trece-banda este un semnal pentru care toate componentele de frecventa se afla in vecinatatea unei frecvente centrale (precum si a frecventei - care, dupa cum stim, nu este direct masurabila, dar de care trebuie sa tinem seama datorita modului cum am definit transformarea Fourier). Cu alte cuvinte, pentru un semnal trece-banda, avem ca pentru , unde . Un semnal trece-jos este un semnal pentru care componentele de frecventa se situeaza in jurul frecventei zero, adica, pentru , avem .

Sa notam cu functia treapta unitate. Corespunzator unui semnal trece-banda , putem defini semnalul analitic a carui trans-formata Fourier este data de

In domeniul timp, aceasta relatie corespunde ecuatiei

unde este transformata Hilbert a lui , definita drept

.

In domeniul frecventa, transformata Hilbert este data de

.

In MATLAB, functia hilbert.m genereaza sirul complex . Partea reala a lui este sirul original, iar partea sa imaginara este transformata Hilbert a sirului original.

Echivalentul trece-jos al semnalului , notat cu , se exprima in functie de astfel:

.

Din relatia (5), avem

.

In domeniul frecventa, avem

si

.

In general, echivalentul trece-jos al unui semnal trece-banda real este un semnal complex. Partea sa reala, notata cu , se numeste componenta in faza a lui , iar partea sa imaginara, notata cu , se numeste compo-nenta in cuadratura a lui . Indicii c si s vin de la cosinus si sinus, respectiv. Asadar,

.

In functie de componentele in faza si in cuadratura, avem:

Daca exprimam in coordonate polare, avem

unde si se numesc anvelopa (infasuratoarea) si faza semnalului . In functie de acestea doua, avem

.

Putem exprima anvelopa si faza astfel:

Echivalent,

Din aceste relatii, se vede ca anvelopa este independenta de alegerea frec-ventei , in vreme ce faza depinde de aceasta alegere.

3. Fisiere MATLAB

Mai jos, se dau cateva fisiere MATLAB pentru a genera semnalul analitic, reprezentarea trece-jos a unui semnal, componentele in faza si in cuadratura, anvelopa si faza.

Fisierul M1

function z=analytic(x)

z=analytic(x)

% ANALYTIC returneaza semnalul analitic corespunzator semna-

% lului x

z=hilbert(x);

Fisierul M2

Function x1=loweq(x,ts,f0)

% LOWEQ returneaza echivalentul trece-jos al semnalului x

% f0 este frecventa centrala

% ts este intervalul de esantionare

t=[0:ts:ts*length(x)-1)];

z=hilbert(x);

x1=z.*exp(-j*2*pi*f0*t);

Fisierul M3

function [xc,xs]=quadcomp(x,ts,f0)

% [xc,xs]=quadcomp(x,ts,f0)

% QUADCOMP returneaza componentele in faza si in cuadratura ale

% semnalului x. f0 este frecventa centrala. ts este inter-

% valul de esantionare.

z=loweq(x,ts,f0);

xc=real(z);

xs=imag(z);

Fisierul M4

function [v,phi]=env_phas(x,ts,f0)

% [v,phi]=env_phas(x,ts,f0)

v=env_phas(x,ts,f0)

% ENV_PHAS returneaza anvelopa si faza semnalului trece-banda x

% f0 este frecventa centrala

% ts este intervalul de esantionare

if nargout == 2

z=loweq(x,ts,f0);

phi=angle(z);

end

v=abs(hilbert(x));

4. Probleme rezolvate cu MATLAB

Problema 1

Transformarea de la trece-banda la trece-jos

Semnalul este dat astfel:

1. Sa se reprezinte grafic acest semnal si spectrul de amplitudine.

2. Cu = 200 Hz, sa se gaseasca echivalentul trece-jos si sa se reprezinte grafic spectrul de amplitudine. Sa se reprezinte grafic componentele in faza si in cuadratura si anvelopa acestui semnal.

3. Sa se repete punctul 2 presupunand ca = 100 Hz.

Rezolvare

Alegem intervalul de esantionare = 0,001 secunde. Rezulta frecventa de esantionare de = 1000 Hz. Fie rezolutia de frecventa dorita fd = 0,5 Hz. Avem apoi:

1. Graficele semnalului si spectrului de amplitudine, generate de MATLAB, sunt date in figurile 1 si 2, respectiv.

Figura 1. Semnalul .

Figura 2. Spectrul de amplitudine al semnalului .

Programul Matlab este dat mai jos.

% program Matlab pentru problema 1.1

ts=0.001;   

fs=1/ts;   

t=[-2:ts:2];   

x=sinc(100*t).*cos(2*pi*200*t);

plot(t,x);

xlabel('Timp');

title('Reprezentarea semnalului');

df=0.5;

[X,x1,df1]=fftseq(x,ts,df);

figure;

X=X/fs;

f=[0:df1:df1*(length(x1)-1)]-fs/2;

plot(f,fftshift(abs(X)));

xlabel('Frecventa');

title('Spectrul de amplitudine');

2. Alegem = 200 Hz. Utilizand apoi functia loweq.m, gasim echivalentul trece-jos al lui . Utilizand fftseq.m, obtinem spectrul lui . Spectrul de amplitudine al lui este reprezentat grafic in figura 3.

Figura 3. Spectrul de amplitudine al echivalentului trece-jos al lui pentru = 200 Hz.

Se vede ca, in acest caz, spectrul de amplitudine este o functie para deoarece putem scrie

Comparand aceasta cu

conchidem ca

Aceasta inseamna ca, in acest caz, semnalul trece-jos echivalent este un semnal real. La randul sau, aceasta inseamna ca si ca De asemenea, conchidem ca

Graficele lui si sunt date in figurile 4 si 5, respectiv. Observam ca aceste figuri au rezultat astfel datorita alegerii particulare a lui drept frecventa in raport cu care functia este simetrica.

Figura 4. Componenta in cuadraturǎ a lui .

Figura 5. Anvelopa lui .

Programul Matlab este dat mai jos.

% program Matlab pentru problema 1.2

ts=0.001;   

fs=1/ts;   

t=[-2:ts:2];

f0=200;

x=sinc(100*t).*cos(2*pi*200*t);

x1=loweq(x,ts,f0);

df=0.5;

[X,x2,df1]=fftseq(x1,ts,df);

X=X/fs;

f=[0:df1:df1*(length(x2)-1)]-fs/2;

plot(f,fftshift(abs(X)));

xlabel('Frecventa');

title('Spectrul de amplitudine al echivalentului trece-jos');

[v,phi]=env_phas(x,ts,f0);

[cuad,faz]=quadcomp(x,ts,f0);

plot(t,v);

xlabel('Timp');

title('Anvelopa');

figure;

plot(t,cuad);

xlabel('Timp');

title('Componenta in cuadratura');

figure;

plot(t,faz);

xlabel('Timp');

title('Componenta in faza');

3. Daca = 100 Hz, rezultatele de mai sus nu vor fi adevarate in general, iar va fi un semnal complex. Spectrul de amplitudine al semnalului trece-jos echivalent este reprezentat grafic in figura 6. Dupa cum se vede aici, spectrul de amplitudine nu are simetria pe care o observam la transformatele Fourier ale semnalelor reale. Graficele componentei in faza a lui si anvelopei sale sunt date in figurile 7 si 8, respectiv.

Figura 6. Spectrul de amplitudine al echivalentului trece-jos al lui pentru = 100 Hz.

Figura 7. Componenta in faza a semnalului pentru = 100 Hz.

Figura 8. Anvelopa semnalului pentru = 100 Hz.