CATEGORII DOCUMENTE |
Aeronautica | Comunicatii | Electronica electricitate | Merceologie | Tehnica mecanica |
SISTEME DE COMUNICATII PENTRU TRANSPORTURI
1. Obiectivul lucrarii
In aceasta lucrare, se studiaza echivalentul trece-jos al unui semnal trece-banda, utilizat pentru a simplifica descrierea sistemelor de transmi-siune care utilizeaza modulatia-demodulatia unui purtator sinusoidal.
2. Introducere teoretica
Un semnal trece-banda este un semnal pentru care toate componentele de frecventa se afla in vecinatatea unei frecvente centrale (precum si a frecventei - care, dupa cum stim, nu este direct masurabila, dar de care trebuie sa tinem seama datorita modului cum am definit transformarea Fourier). Cu alte cuvinte, pentru un semnal trece-banda, avem ca pentru , unde . Un semnal trece-jos este un semnal pentru care componentele de frecventa se situeaza in jurul frecventei zero, adica, pentru , avem .
Sa notam cu functia treapta unitate. Corespunzator unui semnal trece-banda , putem defini semnalul analitic a carui trans-formata Fourier este data de
In domeniul timp, aceasta relatie corespunde ecuatiei
unde este transformata Hilbert a lui , definita drept
.
In domeniul frecventa, transformata Hilbert este data de
.
In MATLAB, functia hilbert.m genereaza sirul complex . Partea reala a lui este sirul original, iar partea sa imaginara este transformata Hilbert a sirului original.
Echivalentul trece-jos al semnalului , notat cu , se exprima in functie de astfel:
.
Din relatia (5), avem
.
In domeniul frecventa, avem
si
.
In general, echivalentul trece-jos al unui semnal trece-banda real este un semnal complex. Partea sa reala, notata cu , se numeste componenta in faza a lui , iar partea sa imaginara, notata cu , se numeste compo-nenta in cuadratura a lui . Indicii c si s vin de la cosinus si sinus, respectiv. Asadar,
.
In functie de componentele in faza si in cuadratura, avem:
Daca exprimam in coordonate polare, avem
unde si se numesc anvelopa (infasuratoarea) si faza semnalului . In functie de acestea doua, avem
.
Putem exprima anvelopa si faza astfel:
Echivalent,
Din aceste relatii, se vede ca anvelopa este independenta de alegerea frec-ventei , in vreme ce faza depinde de aceasta alegere.
3. Fisiere MATLAB
Mai jos, se dau cateva fisiere MATLAB pentru a genera semnalul analitic, reprezentarea trece-jos a unui semnal, componentele in faza si in cuadratura, anvelopa si faza.
Fisierul M1
function z=analytic(x)
z=analytic(x)
% ANALYTIC returneaza semnalul analitic corespunzator semna-
% lului x
z=hilbert(x);
Fisierul M2
Function x1=loweq(x,ts,f0)
% LOWEQ returneaza echivalentul trece-jos al semnalului x
% f0 este frecventa centrala
% ts este intervalul de esantionare
t=[0:ts:ts*length(x)-1)];
z=hilbert(x);
x1=z.*exp(-j*2*pi*f0*t);
Fisierul M3
function [xc,xs]=quadcomp(x,ts,f0)
% [xc,xs]=quadcomp(x,ts,f0)
% QUADCOMP returneaza componentele in faza si in cuadratura ale
% semnalului x. f0 este frecventa centrala. ts este inter-
% valul de esantionare.
z=loweq(x,ts,f0);
xc=real(z);
xs=imag(z);
Fisierul M4
function [v,phi]=env_phas(x,ts,f0)
% [v,phi]=env_phas(x,ts,f0)
v=env_phas(x,ts,f0)
% ENV_PHAS returneaza anvelopa si faza semnalului trece-banda x
% f0 este frecventa centrala
% ts este intervalul de esantionare
if nargout == 2
z=loweq(x,ts,f0);
phi=angle(z);
end
v=abs(hilbert(x));
4. Probleme rezolvate cu MATLAB
Problema 1
Transformarea de la trece-banda la trece-jos
Semnalul este dat astfel:
1. Sa se reprezinte grafic acest semnal si spectrul de amplitudine.
2. Cu = 200 Hz, sa se gaseasca echivalentul trece-jos si sa se reprezinte grafic spectrul de amplitudine. Sa se reprezinte grafic componentele in faza si in cuadratura si anvelopa acestui semnal.
3. Sa se repete punctul 2 presupunand ca = 100 Hz.
Rezolvare
Alegem intervalul de esantionare = 0,001 secunde. Rezulta frecventa de esantionare de = 1000 Hz. Fie rezolutia de frecventa dorita fd = 0,5 Hz. Avem apoi:
1. Graficele semnalului si spectrului de amplitudine, generate de MATLAB, sunt date in figurile 1 si 2, respectiv.
Figura 1. Semnalul .
Figura 2. Spectrul de amplitudine al semnalului .
Programul Matlab este dat mai jos.
% program Matlab pentru problema 1.1
ts=0.001;
fs=1/ts;
t=[-2:ts:2];
x=sinc(100*t).*cos(2*pi*200*t);
plot(t,x);
xlabel('Timp');
title('Reprezentarea semnalului');
df=0.5;
[X,x1,df1]=fftseq(x,ts,df);
figure;
X=X/fs;
f=[0:df1:df1*(length(x1)-1)]-fs/2;
plot(f,fftshift(abs(X)));
xlabel('Frecventa');
title('Spectrul de amplitudine');
2. Alegem = 200 Hz. Utilizand apoi functia loweq.m, gasim echivalentul trece-jos al lui . Utilizand fftseq.m, obtinem spectrul lui . Spectrul de amplitudine al lui este reprezentat grafic in figura 3.
Figura 3. Spectrul de amplitudine al echivalentului trece-jos al lui pentru = 200 Hz.
Se vede ca, in acest caz, spectrul de amplitudine este o functie para deoarece putem scrie
Comparand aceasta cu
conchidem ca
Aceasta inseamna ca, in acest caz, semnalul trece-jos echivalent este un semnal real. La randul sau, aceasta inseamna ca si ca De asemenea, conchidem ca
Graficele lui si sunt date in figurile 4 si 5, respectiv. Observam ca aceste figuri au rezultat astfel datorita alegerii particulare a lui drept frecventa in raport cu care functia este simetrica.
Figura 4. Componenta in cuadraturǎ a lui .
Figura 5. Anvelopa lui .
Programul Matlab este dat mai jos.
% program Matlab pentru problema 1.2
ts=0.001;
fs=1/ts;
t=[-2:ts:2];
f0=200;
x=sinc(100*t).*cos(2*pi*200*t);
x1=loweq(x,ts,f0);
df=0.5;
[X,x2,df1]=fftseq(x1,ts,df);
X=X/fs;
f=[0:df1:df1*(length(x2)-1)]-fs/2;
plot(f,fftshift(abs(X)));
xlabel('Frecventa');
title('Spectrul de amplitudine al echivalentului trece-jos');
[v,phi]=env_phas(x,ts,f0);
[cuad,faz]=quadcomp(x,ts,f0);
plot(t,v);
xlabel('Timp');
title('Anvelopa');
figure;
plot(t,cuad);
xlabel('Timp');
title('Componenta in cuadratura');
figure;
plot(t,faz);
xlabel('Timp');
title('Componenta in faza');
3. Daca = 100 Hz, rezultatele de mai sus nu vor fi adevarate in general, iar va fi un semnal complex. Spectrul de amplitudine al semnalului trece-jos echivalent este reprezentat grafic in figura 6. Dupa cum se vede aici, spectrul de amplitudine nu are simetria pe care o observam la transformatele Fourier ale semnalelor reale. Graficele componentei in faza a lui si anvelopei sale sunt date in figurile 7 si 8, respectiv.
Figura 6. Spectrul de amplitudine al echivalentului trece-jos al lui pentru = 100 Hz.
Figura 7. Componenta in faza a semnalului pentru = 100 Hz.
Figura 8. Anvelopa semnalului pentru = 100 Hz.
Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare |
Vizualizari: 1438
Importanta:
Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2024 . All rights reserved