NOTIUNI DE CALCUL VECTORIAL

NOTIUNI    DE CALCUL VECTORIAL

Generalitati. Definitii

Mecanica opereaza cu marimi fizice scalare si cu marimi fizice vectoriale.

Marimea fizica scalara sau scalarul este marimea fizica, care este caracterizata prin valoare

numerica absoluta sau modul.

Marimea fizica vectoriala sau vectorul este marimea fizica, care se caracterizeaza prin valoare

numerica absoluta (modul), si orientare adica directie si sens.

Marimile fizice scalare (scalarii) si marimile fizice vectoriale (vectorii) la un loc se mai numesc si marimi fizice tensoriale sau tensori.

Asadar vectorul este segmentul de dreapta orientat (fig. 1.1), cu patru elemente caracteristice: origine sau punct de aplicatie A, directie sau dreapta suport , sens si modul (marime, intensitate, urma) v.

Fig. 1.1: Componenta unui vector

Versorul este vectorul de modul unitar si este dat de relatia:

Definim componentele pe axele Ox, Oy si Oz ale versorului din relatia precedenta astfel:

Un vector oarecare se scrie in functie de componentele pe axe ale versorului sau astfel:

unde

sau:

1.2. Proiectia unui vector pe o axa

Proiectia unui vector pe o axa se defineste ca fiind produsul dintre vectorul respectiv si cosinusul unghiului pe care directia acestuia il face cu axa pe care se proiecteaza vectorul studiat (fig. 1.2).

1.3. Operatii cu vectori

1.3.1. Adunarea (compunerea) vectorilor

Fie vectorii:

atunci se defineste suma celor doi vectori:

Ca marime, suma celor doi vectori se scrie astfel:

unde este unghiul dintre cei doi vectori.

Adunarea mai multor vectori se realizeaza astfel:

1.3.1.1. Interpretare geometrica

Geometric, adunarea a doi vectori se realizeaza cu regula paralelogramului sau cu regula triunghiului (fig. 1.3).

Compunerea mai multor vectori se realizeaza, din punct de vedere geometric, cu regula poligonului (fig. 1.4).

1.3.1.2. Proprietati

a)      comutativitate;

b)      are element neutru (vectorul nul).

1.3.2. Scaderea (diferenta) vectorilor

Fie vectorii:

atunci se defineste diferenta celor doi vectori (fig. 1.3):

1.3.2.1. Interpretare geometrica

1.3.2.2. Proprietati

a)      Element neutru: vectorul nul

1.3.3. Descompunerea unui vector dupa doua directii

Conform figurii 1.5. avem:

Pentru directii ortogonale relatia de mai sus devine (fig. 1.5.):

1.3.4. Descompunerea unui vector dupa trei directii

Din figura 1.6 avem:

unde v_x, v_y,v_z sunt proiectiile vectorului studiat pe cele trei axe.

unde: sunt unghiurile directoare ale vectorului studiat fata de axele Ox, Oy, Oz;

cos , cos , cos sunt cosinusii directori ai vectorului studiat fata de axele Ox, Oy, Oz.

Din relatia precedenta rezulta ca:

1.3.5. Produsul scalar a doi vectori

Este marimea scalara care reprezinta produsul modulelor celor doi vectori prin cosinusul unghiului dintre ei.

unde este unghiul dintre cei doi vectori.

Relatia precedenta este echivalenta cu relatia:

Daca:

Atunci:

De asemenea se observa ca:

1.3.5.1. Proprietati

a)      Comutativitate;

b)      Distributivitate fata de adunare.

1.3.5.2. Interpretare geometrica

1.3.6. Produsul vectorial a doi vectori

Este un vector perpendicular pe planul celor doi vectori si definit ca fiind de marime egala cu produsul marimilor celor doi vectori prin sinusul unghiului dintre ei.

1.3.6.1. Proprietati

a)     

Anticomutativitate:

b)      Distributivitate fata de adunare

c)     

Daca:

Atunci cei doi vectori sunt paraleli sau coliniari.

1.3.6.2. Interpretare geometrica

Produsul vectorial a doi vectori este egal cu aria paralelogramului determinat de cei doi vectori.

Demonstratie (vezi figura 1.8)

unde: A_tr - aria triunghiului determinat de cei doi vectori;

A_par - aria paralelogramului determinat de cei doi vectori.

1.3.6.3. Determinare analitica

1.3.6.4. Observatii

1.3.7. Produsul mixt a trei vectori

Reprezinta marimea fizica scalara egala cu produsul scalar dintre un vector si produsul vectorial al celorlalti doi.

1.3.7.1. Interpretare geometrica

Produsul mixt a trei vectori reprezinta volumul paralelipipedului determinat de cei trei vectori.

Demonstratie (vezi figura 1.9)

Determinare analitica

1.3.8. Dublul produs vectorial

Reprezinta marimea fizica vectoriala egala cu produsul vectorial dintre un vector si produsul vectorial al celorlalti doi.

1.4. Probleme rezolvate:

Fie vectorii:

Se cer:

Rezolvare:

Rezolvare:

Rezolvare:

Rezultatele obtinute se centralizeaza in urmatorul tabel:

Rezulta:

1.5. Probleme propuse:

Fie vectorii:

Se cer:

2)

Raspuns: