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FRACTIONS RATIONNELLES

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FRACTIONS RATIONNELLES.

1) GENERALITES.


Nous avons étudié dans le chapitre précédent l’Anneau des polynômes à une indéterminée à coefficients dans un corps commutatif
K infini et de caractéristique nulle.

On a vu en particulier que cet Anneau est
commutatif et intÈgre, au sens qu’un produit ne peut y Être nul que si au moins un de ses facteurs est égal au zéro de cet Anneau.

Il existe un processus algébrique standard permettant dans une telle configuration d’étendre cette structure d’Anneau en une structure de corps commutatif appelé corps des fractions de l’Anneau en question.
Ce processus permet par exemple de construire le corps classique des nombres rationnels à partir de l’Anneau des entiers relatifs.
Appliqué à notre Anneau
K[X] des polynômes sur K il va nous conduire au corps des fractions rationnelles à coefficients dans K que nous noterons K(X).

On se propose dans ce nouveau chapitre d’analyser le procédé de construction et les commodités apportées à la théorie par l’introduction de cette extension.

A) Définitions.

1) Fraction rationnelle.


Soit (A, B) un couple d’éléments de K[X] avec B non identiquement nul. On appelle fraction rationnelle de représentant (A, B), l’ensemble formé par tous les couples (P, Q) de polynômes à coefficients dans K tels que A.Q=B.P et Q non identiquement nul.
On adoptera l’écriture  pour représenter cette fraction.


Une fraction rationnelle apparait donc comme un collectif défini à partir d’un couple initial.

Remarquons alors que si (C, D) est un couple tel que A.D=B.C et D non nul, la fraction rationnelle de représentant (C, D) coÏncide exactement avec la fraction de représentant (A, B)
En effet, si C.Q=D.P on en déduit en multipliant par P : B.C.Q=B.D.P , puis A.D.Q=B.D.P d’aprÈs la relation liant (A,B) à (C,D), et enfin A.Q=B.P en simplifiant par D non nul, vu l’intégrité de
K[X]. On déduit de mÊme C.Q=D.P à partir de A.Q=B.P en multipliant par D puis en simplifiant par B non nul.
Chacun des couples (P,Q) tels que A.Q=D.P et Q non nul mérite donc aussi le nom de représentant de la fraction et on pourra écrire F=.
P et Q seront appelés respectivement numérateurs et dénominateurs du représentant (P,Q).

2) Représentant irréductible.

Si de plus P et Q n’ont pas d’autres diviseurs communs que les polynômes constants, le représentant (P, Q) sera dit irréductible.

La connaissance d’un représentant irréductible permet d’obtenir facilement tous les autres représentants de la fraction considérée comme l’indique le résultat suivant :

Si (A, B) est un représentant irréductible de F, alors (P, Q) est un représentant de F si et seulement si il existe un polynôme l non nul tel que P=lA et Q=lB.


_ La condition est évidemment suffisante puisque (lA).B=(l.B).A

_ Réciproquement, supposons A.Q=B.P avec (A,B) irréductible. On a vu en fin du chapitre précédent, en application de l’Algorithme d’Euclide, l’identité de Bezout assurant l’existence d’un couple (U, V) de polynômes tel que A.U+B.V=1

On en déduit P=P.A.U+P.B.V=P.A.U+A.Q.V=(P.U+Q.V).A=
l.A avec l=P.U+Q.VIK[X]
De mÊme Q=Q.A.U+Q.B.V=B.P.U+Q.B.V=(P.U+Q.V).B=
l.B

Cette propriété permet d’établir l’unicité des représentants irréductibles, au produit par une constante prÈs. En effet si (A, B) et (C, D) sont deux représentants irréductibles d’une mÊme fraction F, il existe alors un polynôme
l tel que C=l.A et D=l.B mais également un polynôme a tel que A=a.C et B=a.D. On en déduit B=a.l.B et par suite 1=a.l puisque B non nul. Nécessairement a et l sont donc des polynômes de degré 0 donc constants.

3) zéros et pôles d’une fraction rationnelle.

La remarque ci-dessus permet de définir sans ambiguÏté les deux notions suivantes :
Si F= avec (A, B) irréductible, on appelle zéro de F d’ordre n, toute racine d’ordre n du numérateur A et pôle d’ordre s de F, toute racine d’ordre s du dénominateur B.

Remarquons qu’un élément a ne peut Être à la fois zéro et pôle de F, cela entrainerait la divisibilité de A et B par X-a et nierait le caractÈre irréductible du représentant.

4) Fonction rationnelle associée à une fraction rationnelle F de représentant irréductible (A,B)

On appellera ainsi la fonction f définie sur le corps
K privé de l’ensemble P(F) des pôles de F, à valeurs dans K et définie par la formule .

Ici encore la définition de f ne dépend pas du couple irréductible choisi pour définir f, et on remarque également que pour un représentant (P, Q) quelconque de F, non nécessairement irréductible, on a bien en tout x n’étant pas racine de Q :

Par abus de langage et de notation on dira simplement que  f(x) est la valeur en x de la fraction rationnelle F et on écrira  f(x)=F(x).

B) Opérations sur les fractions.

1) Définition des opérations fondamentales.
Si  désignent deux fractions rationnelles données à partir de représentants irréductibles, on définit la somme et le produit de ces fractions par les égalités :

                                   

On vérifie immédiatement que les résultats de ces opérations ne dépendent que des fractions en jeu F et G et non pas des choix arbitraires des représentants irréductibles choisis pour définir ces mÊmes fractions. En effet si (P,Q) désigne un représentant quelconque de F et (U,V) un autre représentant de G, on sait qu’il existe deux polynômes non nuls, soient
a et b tels que P=aA , Q=aB , U=bC et V=bD. On en déduit immédiatement :



Les opérations peuvent donc Être définies à partir de représentants quelconques des fractions, mÊme non nécessairement irréductibles.

Remarquons que pour tout scalaire x n’appartenant pas à la réunion de l’ensemble des pôles des deux fractions F et G, les valeurs en x de F+G et F.G  sont tous simplement les sommes et produits des images respectives au sens des lois sur le corps
K. En effet :




2) Corps des fractions rationnelles.

On vérifie sans aucune difficultés que l’ensemble
K(X) des fractions rationnelles à coefficients dans K, muni dans l’ordre des deux lois de composition interne somme et produit définies ci dessus acquiert une structure de corps commutatif.

(On convient dans ce qui suit de noter par
a le polynôme constant aX0).

– L’associativité, la commutativité de + et . , la distributivité du produit par rapport à la somme s’établissent directement à partir des définitions mÊmes, en utilisant des représentants quelconques des fractions considérées.

_ Le neutre pour l’addition est la fraction dite nulle, de représentant (0, 1).

_ La symétrique pour la somme de  est la fraction - appelée opposée de F.

_ Le neutre pour le produit est la fraction de représentant (1, 1).

_ La symétrique pour le produit de la fraction non nulle  est la fraction  appelée inverse de F et notée conformément aux notations multiplicatives usuelles.

3) Plongement des polynômes dans le corps des fractions.

Le corps
K(X) que l’on vient de définir contient en fait une trace de l’Anneau des polynômes K[X] situé à la base de la construction. Pour s’en persuader il suffit de considérer l’application j de K[X] vers K(X) qui associe à chaque polynôme P la fraction j(P)=.
Il est clair que j(P+Q)=j(P)+j(Q) et j(P.Q)=j(P).j(Q) pour tout couple (P, Q) de polynômes.
De plus j(X0)==1 . L’application j est donc un morphisme d’Anneau.
Il suffit alors de remarquer que j est injective pour conclure que l’image j(
K[X]) est un sous-Anneau du corps des fractions isomorphe à l’Anneau originel des polynômes K[X].

Si on convient de noter abusivement j(P)=, la fraction quelconque  apparait alors comme le produit effectif de P(X) par l’inverse de Q(X) et la notation adoptée ainsi que l’appellation corps des fractions se justifient pleinement.

F(X) est véritablement le quotient du polynôme P(X) par le polynôme Q(X), c’est à dire le produit de P(X) par l’inverse de Q(X). (En réalité c’est ).

4) Caractérisation des zéros et pôles multiples d’une fraction.
On a posé en définition que l’élément a de
K est zéro d’ordre n d’une fraction  donnée sous forme irréductible si et seulement si a est racine multiple d’ordre n de A(X).

Ceci entraine la factorisation du numérateur sous la forme A(X)=(X-a)nC(X) avec C polynôme tel que C(a) non nul. On peut alors écrire F(X)= (X-a)nG(X) avec G  fraction rationnelle définie comme quotient de C par B , donc n’admettant a ni pour zéro, ni pour pôle.
Réciproquement considérons une fraction
fraction n’admettant a ni pour zéro, ni pour pôle et supposée écrite ici sous forme irréductible.
Si (A1,B1) est un représentant irréductible de F, on sait qu’il existe un polynôme
l tel que :
(X-a)n
a(X)=l(X)A1(X) et b(X)=l(X)B1(X).

Puisque a n’est pas racine de
b, on en déduit que l(a) est non nul et que par suite a est racine de A1, d’ordre nécessairement n car a n’est pas non plus racine de a.

Ainsi a est bien zéro d’ordre n de F au sens premier. On a donc établi l’équivalence :

  a zéro d’ordre n de F
Û F(X)=(X-a)nG(X) avec G fraction dont a n’est ni zéro ni pôle.
Grace à la remarque : a zéro d’ordre n de F
Û a pôle d’ordre n de , on déduit aussitôt :


  a pôle d’ordre n de F
Û  avec G fraction dont a n’est ni zéro ni pôle.



2) DERIVATION FORMELLE.

A)   Définition.

Supposons que l’on veuille étendre le processus de dérivation formelle des polynômes à l’ensemble des fractions rationnelles, et ceci de façon que la rÈgle de dérivation des produits soit conservée.
Si , c’est à dire si , on devra donc avoir nécessairement :
 et par suite la dérivée de F(X) devra Être évaluée suivant

la formule :

On vérifie facilement que la fraction précédente ne dépend pas du représentant arbitraire (P, Q) de F.
En effet, si  , on obtient d’abord, en ‘dérivant’ la relation  A.Q=B.P , l’égalité A’Q+AQ’=B’P+BP’ puis en multipliant par BQ, la formule : A’BQ²+ABQQ’=B’PBQ+B²QP’.

Enfin, en remplaçant BP par AQ à droite et AQ par BP à gauche dans l’égalité précédente, on obtient facilement  : (A’B-AB’)Q²=B²(P’Q-PQ’) qui équivaut à :

La définition de la dérivée formelle d’une fraction F selon la formule encadrée ci dessus est donc sans aucune ambiguÏté.

On introduit ensuite naturellement comme on l’a déjà fait pour les polynômes, les dérivées successives de F par dérivations en cascade :  F(0)=F et
'nIN F(n+1)=[F(n)

On vérifie facilement que : a pôle d’ordre n de F
Û a pôle d’ordre n+1 de F ’, grace à la relation :


B) RÈgles de calcul.

On démontre sans peine que les formules de dérivation établies sur les polynômes pour la somme et le produit s’étendent à l’identique sur le champ des fractions rationnelles.

Ainsi la dérivée d’ordre n quelconque d’une somme de fractions est la somme des dérivées d’ordre n de chacune d’entre elles, la dérivée d’ordre n du produit F.G s’obtient conformément à la formule de Leibniz.
Notons les résultats utiles pour la suite, qui s’établissent facilement par récurrence sur :

 et
'kI:  

C) CritÈre des zéros multiples.

Soit F une fraction du type F(X)=(X-a)nG(X) , le scalaire a n’étant ni pôle ni zéro de G.
La formule de Leibniz appliquée au produit précédent donne l’expression de la dérivée d’ordre q quelconque de F :
a étant racine d’ordre n de (X-a)n, il est clair que les dérivées successives de cette puissance vont s’annuler en a jusqu’à l’ordre n-1. On en déduit immédiatement, puisque a n’est pas pôle
de G, que les dérivées successives de F vont s’annuler en a jusqu’à l’ordre n-1. Quand à celle d’ordre n, elle prendra la valeur F(n)(a)=n!G(a) , donc sera non nulle.

On retrouve donc une caractérisation analogue à celle des racines multiples des polynômes :

        a est zéro d’ordre n de la fraction F
Û ' kI F(k)(a)=0 et F(n)(a) ¹0.

Formule de Taylor avec reste.

Soit F une fraction rationnelle n’admettant pas a pour pôle. Pour tout entier n, la différence
D(X)= est une fraction rationnelle dont toutes les dérivées successives jusqu’à l’ordre n s’annulent au point a. D’aprÈs ce qui précÈde, a est donc zéro d’ordre au moins n+1 de F.
Il existe donc une fraction G n’admettant pas a pour pôle, et telle que
D(X)=(X-a)n+1G(X).

Ainsi : avec G fraction rationnelle définie en a

En particulier pour  et pour a=0 on obtient le développement classique :

                          

3) DECOMPOSITION EN ELEMENTS SIMPLES.

L’objet de ce paragraphe est l’étude d’une technique permettant d’écrire une fraction rationnelle F de dénominateur scindé comme une somme d’un polynôme et de fractions élémentaires du type dans lesquel a désigne un pôle de F, n un entier non nul inférieur ou égal à l’ordre du pôle a dans F, et
a un élément du corps K.

Cette décomposition en éléments dits ‘simples’ facilitera en particulier le calcul des dérivées successives de F , le calcul d’intégrales et de sommes relatives à la fonction rationnelle f associée à F  lorsque
K est égal au corps des réels ou celui des complexes.
La premiÈre étape de la méthode repose sur une simple division Euclidienne.

A) Partie entiÈre.

ThéorÈme : Toute fraction rationnelle se décompose de maniÈre unique comme somme d’un polynôme avec une fraction dont le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur.

_ Pour l’existence de l’écriture, considérons  et effectuons la division Euclidienne de A par B. Cela se traduit par :  A=B.Q+R avec Q, R polynômes et R nul ou de degré strictement inférieur à celui de B.
En divisant par B on obtient bien un schéma conforme à nos exigences, soit :   avec degré(R)
< degré(B).

_ Pour l’unicité, supposons deux écritures de F du type précédent, soit
On en déduit l’égalité polynômiale :
bb1(E-E1)=a1b-ab1.

Si le second membre n’est pas nul, il sera de degré strictement inférieur à la somme des degrés de
b et b1 d’aprÈs les contraintes imposés aux numérateurs a et a1.
Or le premier membre est multiple de
bb1 donc, s’il n’est pas nul, est de degré supérieur ou égal à la mÊme somme des degrés de b et b1.
La seule possibilité conciliant les deux remarques est la nullité des deux membres de l’égalité.  On en déduit E=E1 , par intégrité de
K[X] et par suite : .
Le polynôme E apparaissant dans la décomposition est appelé partie entiÈre de la fraction F.
Elle est bien sÛr nulle si F admet un représentant dont le degré du numérateur est déjà strictement inférieur à celui du dénominateur.

Dans ce qui suit nous ne nous occuperons que de fractions de ce type, obtenues aprÈs division Euclidienne éventuelle.


B) Elements simples relatifs aux pôles.

Nous supposons ici la fraction F définie par un représentant de dénominateur scindé, c’est à dire du type  , avec de plus : degré(A)
< r1+….+rn

_ Envisageons d’abord le cas d’un pôle unique a1.

En appliquant la formule de Taylor en ce point à l’ordre r1-1 au numérateur A(X) de degré strictement inférieur à r1 on obtient la relation :
En divisant par , il apparait la décomposition :

_ Nous allons généraliser ce processus par récurrence sur le nombre de pôles n.
Supposons que pour toute fraction du type décrit ci dessus on puisse toujours trouver une décomposition du type  avec
a(i,k) élément de K pour tout couple d’indices (i,k).

Examinons alors une fraction du mÊme type mais avec un pôle de plus noté a, d’ordre r, soit :
  avec

a n’étant pas pôle de G, on peut décomposer G en utilisant la formule de Taylor avec reste à l’ordre r-1 en ce point, ce qui donne :
avec H fraction rationnelle dont a n’est pas pôle. On en déduit l’écriture de F(X) suivante :
.

Il est clair que les pôles de H ne sont autres que ceux de F(X) avec les mÊmes ordres de multiplicité excepté bien sÛr le pôle a , éliminé par intervention de la formule de Taylor ci dessus.
Pour chacun des ai avec i
I on a bien en effet : avec Mi fraction rationnelle dont ai n’est pas pôle, et H est définie en tout x de K-.
De plus, en effectuant la différence  , en réduisant au mÊme dénominateur puis en simplifiant par (X-a)r, on voit bien que le nouveau numérateur B(X) est de degré strictement inférieur à r1+….+rn.

Par hypothÈse on peut alors décomposer H suivant le type décrit plus haut, c’est à dire :


D’oÙ une décomposition du mÊme type pour F :

La possibilité de décomposition s’étendra donc bien de proche en proche à un nombre quelconque de pôles.

Unicité de la décomposition, parties polaires.

On appelle partie polaire de F relative à un pôle ai de cette fraction dans une décomposition en éléments simples de F du type décrit ci dessus, la quantité .
Cette quantité ne dépend aucunement de la façon d’obtenir la dite décomposition. En effet remarquons que en multipliant F(X) par  on obtient une égalité du type :
 ; ai n’étant pas pôle de Hi
On en déduit d’aprÈs les rÈgles de dérivation, que :
'k I
La partie polaire de F  relative au pôle Fi s’exprime donc de maniÈre unique sous la forme :

                          avec

SynthÈse . Nous avons donc établi le théorÈme suivant :



Toute fraction rationnelle de dénominateur scindé se décompose de maniÈre unique comme somme de sa partie entiÈre et des parties polaires relatives à chacun de ses pôles.


Cas particulier des pôles simples.
Si a est pôle d’ordre 1 de la fraction , la partie polaire relative à a se résume alors à un seul terme du type  avec, conformément à l’étude précédente,
a défini par la formule .Ce coefficient appelé aussi résidu de la fraction F au pôle a

peut se déterminer autrement si la factorisation du dénominateur D(X) est délicate. Il suffit de remarquer que si D(X)=(X-a)B(X), on obtient par dérivation : D’(X)=B(X)+(X-a)B’(X). Ainsi

B(a) n’est autre que la valeur de la dérivée du dénominateur D de F en a : 

C) Fractions à coefficients réels.

Dans le cas oÙ le corps de base est celui des complexes, on sait que tout polynôme est scindé et la décomposition en éléments simples sera toujours possible. Si on considÈre une fraction F à coefficients purement réels, on pourra donc commencer par la décomposer en éléments simples dans
C(X). Examinons les éléments de cette décomposition.

_ La partie entiÈre, quotient d’une division Euclidienne mettant en jeu des polynômes à coefficients réels, sera  donc aussi à coefficients réels.

_ Les parties polaires relatives aux pôles réels de F ne font apparaitre également que des coefficients réels. En effet leur mode de calcul fait principalement intervenir des valeurs de dérivées successives de fractions à coefficients réels en des nombres réels.

_ Reste le cas des éléments simples relatifs aux pôles complexes.
On rappelle que si
a est racine d’ordre n d’un polynôme B à coefficients réels, la conjuguée de a est aussi racine de B et avec le mÊme ordre de multiplicité.
Si a est pôle d’ordre n de F à coefficients réels,  sera donc aussi pôle d’ordre n de F.

Ici encore le mode de calcul des parties polaires montre que les numérateurs des éléments simples de mÊme puissance relatifs à a et  sont conjugués deux à deux.
Si on réunit ainsi deux à deux ces éléments associés on obtient des sommes du type :
=  avec P à coefficients réels (vu par exemple le développement des puissances suivant la formule du binôme), et T(X)=X²-pX+q trinôme du second degré à coefficients réels de discriminant strictement négatif.
Ces éléments sont bien maintenant à coefficients réels mais ils ne sont pas ‘simples’ car le degré du numérateur P peut Être élevé.
(Il est au plus égal à k et égal à k si le coefficient
a n’est pas imaginaire pur).

Effectuons alors la division Euclidienne de P par T. Il vient  
et par suite :

La deuxiÈme fraction a un dénominateur de degré au plus 1, on peut le considérer comme ‘simple’ au sens que son intégration par exemple peut Être obtenu selon un schéma classique que nous aborderons ultérieurement dans le cours d’Analyse.

La premiÈre admet un numérateur P1 dont le degré a notablement régressé par rapport à celui de P. On peut alors poursuivre le processus sur cette fraction en divisant maintenant P1 par T .
En répétant ce principe, vu la décroissance des degrés des numérateurs, on obtiendra au bout d’un nombre fini d’étapes une somme de termes du type  avec i indice appartenant
à la plage . Et ceci pour tout k inférieur ou égal à l’ordre du pôle a.
La somme des parties polaires relatives à a et  d’ordres r sera donc du type


Fractions Rationnelles. Exercices.

1.      Décomposer en éléments simples dans R(X) les fractions suivantes :




2.      Pour n entier non nul décomposer en éléments simples dans R(X) la fraction

3.      Décomposer en éléments simples dans C(X) puis dans R(X) les fractions suivantes :

4.      Décomposer en éléments simples dans C(X) les fractions suivantes :

5.      Pour n entier non nul décomposer en éléments simples dans C(X):

6.      On pose P(X)=4X3+4(1-i)X²-(1+4i)X –1.
Montrer que P(X) admet une racine multiple, puis décomposer la fraction
 en éléments simples dans C(X).

7.      Décomposer en éléments simples dans R(X) la fraction  sachant que le paramÈtre a est réel et que le dénominateur admet une racine multiple.

8.      On considÈre la fraction de R(X) définie par
Décomposer F(X) en une somme d’éléments du type
 avec k exposant entier et Ak , Bk réels.
(On pourra procéder par divisions Euclidiennes successives)

9.      On considÈre pour n entier P(X)=X(X-1)(X-2)…..(X-n).
Décomposer sur
R(X) les fractions

10.  Décomposer en éléments simples sur R(X) la fraction F(X)= puis en déduire le calcul des expressions suivantes :
a)

b) F(n)(X) pour n entier quelconque.
c)
 pour n entier quelconque.

11.  Décomposer dans R(X) la fraction F(X)= puis en déduire les expressions de :
a)
      b) F(n)(X) pour n entier .     c)  pour n entier non nul.

12.  On considÈre la fraction :
a) Décomposer F(X) en éléments simples dans
R(X)
b) En déduire une expression simplifiée de
 pour n entier non nul, puis la limite de la somme précédente lorsque n tend vers + ¥.

13.  On considÈre la fraction :
a) Décomposer F(X) en éléments simples sur
R(X)
b) En déduire la valeur de

c) Montrer que pour tout entier n
³2 :

14.  Déterminer les intégrales suivantes :

15.  Déterminer les dérivées successives des fractions suivantes :
  (q I]0, p[ )

16.  Nombres de Fibonacci.  On considÈre la fraction  f(X)=
a) Montrer que pour tout entier n
³2 on a la relation suivante :

  (1-X-X²)f(n)(X)-n(2X+1)f(n-1)(X)-n(n-1)f(n-2)(X)=0  .

(On pourra partir de l’égalité (1-X-X²)f(X)=1 puis appliquer Leibniz.)

b) En utilisant la décomposition de f(X) en éléments simples dans
C(X), déterminer directement l’expression de la dérivée successive d’ordre n de f.
c) Montrer à l’aide de a), que pour tout n entier le réel Fn=
n’est autre que le nombre de Fibonacci d’ordre n définie par le processus de récurrence :
 F0=1 ; F1=1 ;
' k IN Fk+2=Fk+1+Fk.

d) Trouver alors à l’aide de b) une expression directe de Fn en fonction de l’entier n.

17.  On considÈre n complexes distincts X1,X2,…,Xn et le polynôme P(X)=(X-X1).….(X-Xn)
a) Décomposer en éléments simples dans
C(X) la fraction .
b) En déduire l’expression simplifiée pour X
IC- des sommes suivantes :

18.  On considÈre n complexes distincts a1, a2, ….,an et P un polynôme à coefficients dans C, de degré strictement inférieur à n, n’ayant pour racine aucun des n complexes ci dessus.
a) Décomposer en éléments simples dans
C(X) la fraction
b) En déduire alors la valeur pour q
I de la somme :
(l’indice j dans chacun des dénominateurs parcourant - )

19.  P(X) désigne un polynôme à coefficients complexes de degré strictement inférieur à l’entier n.
a) Décomposer dans
C(X) la fraction F(X)=. On notera a1,….,an les pôles de F(X)
b) Montrer que F(X)=
.
c) En appliquant ce qui précÈde à P(X)=X, trouver une expression condensée de la somme :
 pour x réel donné.

20.  On considÈre la fraction
a) Montrer que l’on peut choisir les réels a, b, c, de façon que la suite définie par yn=
coÏncide exactement avec la suite définie par le procédé de récurrence :
x0=1 ; x1=1 ; x2=1 et
'kIN xk+xk+1+xk+2+xk+3=0.
(On utilisera la formule de Leibniz pour dériver le produit f(X)(1+X+X²+X3) )

b) Décomposer f(X) en éléments simples sur
C(X) pour les valeurs de a,b,c précédentes, puis en déduire l’expression directe de xn en fonction de n.


SOLUTIONS.

1.      a) N’oublions pas la partie entiÈre, obtenue par division Euclidienne :
X3=(X²-3X+2)(X+3)+7X-6 , donc


Ainsi :


b) La partie entiÈre est nulle.
La partie polaire relative à –2 est

La partie polaire relative au pôle double 1 sera

AprÈs calculs :


c) La partie entiÈre est 1 puisque X3+7=(X3-8)+15.
La fraction possÈde trois pôles simples sur
C qui sont le produit par 2 des racines cubiques de l’unité, soit 2, 2j et 2j² avec .
On peut éviter la factorisation du dénominateur en calculant les résidus à l’aide de la dérivée 3X² de ce mÊme dénominateur. En chacun de ces pôles z, la partie polaire est égale à
 Ainsi on obtient dans C(X) puis R(X) :



2.      Pour n entier non nul et X complexe distinct de 1 et –1 on sait que :
.
 On en déduit la partie entiÈre, puis la décomposition évidente :


3.      a) La fraction a 4 pôles simples complexes qui sont les racines quatriÈmes de –1 et sont donnés par les formules trigonométriques  avec k I.
La partie entiÈre étant nulle, on a donc :

AprÈs calculs et simplifications on obtient la décomposition dans
C(X) suivante :
 , puis la décomposition dans R(X), en regroupant deux à deux les parties polaires relatives à un pôle et son conjugué :



b) La fraction a 3 pôles simples dans
C qui sont les racines cubiques de l’unité et un pôle double, soit –1.
Pour celui ci la partie polaire est

On trouve facilement grace à :

les valeurs

Pour chacune des racines cubiques z de 1, la partie polaire est

et D’(z)=2(z+1)(z3-1)+(z+1)²(3z²)  dérivée du dénominateur de la fraction donnée.
AprÈs calculs et simplifications on obtient la décomposition dans
C(X) suivante :
  avec

En regroupant les termes en j et j² on obtient la décomposition dans
R(X) :


c) Ecrivons d’abord la fraction sous forme irréductible :

La partie entiÈre est égale à 1 et la fraction admet deux pôles doubles dans
C soit i et –i
Les coefficients étant tous réels, la décomposition dans
C(X) sera  :
Avec b=G(-i) , a=G’(-i) et G(X)=-
.
 AprÈs calculs on obtient :


On peut obtenir directement la décomposition dans
R[X] à partir de la division Euclidienne : 2X²+1=(X²+1)2-1 d’oÙ l’on tire en divisant par (X²+1)² la relation :

 

4.      a)
La fraction ci dessus admet quatre pôles simples complexes qui sont les racines sixiÈmes de l’unité distinctes de 1 et –1, soient j, -j, ,-avec  
Les coefficients étant tous réels et vu la parité de la fraction on aura donc une décomposition dans
C(X) du type suivant :



Dans
R(X) on aurait aprÈs regroupement :
b) (X+1)5=X5
Û . Les pôles sont donc obtenus à partir des racines cinquiÈmes de l’unité  avec kI en résolvant
On trouve 4 solutions  avec k
I
La partie polaire relative au pôle simple Xk sera
En simplifiant :
Attention, la partie entiÈre n’est pas nulle mais égale à  car le terme dominant de (X+1)5-X5 est 5X4.  Ainsi :


c) 0 est pôle simple , j et j² sont pôles doubles. La partie entiÈre est nulle. D’oÙ la décomposition dans
C(X) :
 ; 
AprÈs calculs et simplifications on trouve
Ainsi :

La décomposition dans
R(X) donnerait :



5.      a) Les pôles sont les racines niÈmes de l’unité : :  avec kI.
S’agissant de pôles simples et la partie entiÈre étant nulle, la décomposition est évidente :
. 

b) Les pôles sont ceux de la fraction précédente, presque tous simples, sauf 1 d’ordre de multiplicité 2 puisque
La partie polaire relative à 1 sera donc
Le résidu au pôle simple zk pour k
¹0 sera
Ainsi

c) Il y a 2n+1 pôles simples définis par zk= avec k
I.
Le résidu en chacun de ces pôles est donné par
ak=.
La partie entiÈre est égale à 1. Ainsi :

6.      Si P(X) admet une racine multiple, celle ci doit Être nécessairement racine commune à P(X) et sa dérivée formelle P’(X). Suivant le schéma classique de recherche des zéros communs nous effectuons alors la division Euclidienne de P(X) par P’(X) soit :
La seule racine multiple possible est donc . On vérifie facilement que cette valeur est effectivement racine double : P(X)=4(X-)²(X+1)
On en déduit P’(X)=8(X-)(X+1)+4(X-)² , puis :

7.      Si x est racine multiple du dénominateur D(X)=aX3-3X+a+1, x doit Être nécessairement racine de D’(X)=3aX²-3, donc vérifier ax²=1. En faisant intervenir cette relation dans l’égalité D(x)=0 on en déduit alors 2x=a+1. La seule valeur possible est donc
qui sera effectivement racine double si  ou encore si a3+2a²+a-4=0.
Vu la factorisation évidente en (a-1)(a²+3a+4), il apparait que 1 est la seule valeur réelle possible pour a. On a dans ce cas D(X)=(X-1)²(X+2).
La décomposition de la fraction donnée, de pôle double 1 et pôle simple –2 s’obtient facilement :

8.      Une premiÈre division de X6 par X²+X+1 donneX6=(X²+X+1)(X4-X3+X-1)+1 et conduit à l’apparition d’un premier élément simple : . Continuons en divisant X4-X3+X-1 par X²+X+1. On obtient : X4-X3+X-1=(X²+X+1)(X²-2X+1)+2X-2 et par suite :

Enfin, de X²-2X+1=(X²+X+1)(1)-3X on déduit la forme ultime demandée :



9.      a) Le résidu ak au pôle simple entier k de est égal au quotient du numérateur constant 1 par le produit k(k-1)(k-2)…(2)(1)(-1)(-2)…(-(n-k))=(-1)n-kk!(n-k)!
On peut donc écrire en utilisant les coefficients binômiaux :
ak=(-1)n-k
On vérifie que cette expression est également valable aux pôles extrÊmes 0 et n.
Ainsi :

b) Le résidu au pôle simple entier k de  est égal à . La partie entiÈre est nulle, d’oÙ la décomposition évidente :

c) En dérivant formellement l’égalité ci-dessus on obtient :
.
En évaluant le carré de  on obtient :
Or . On en déduit donc la décomposition :
  , la somme étant étendue à tous les couples (i, j) d’entiers compris entre 0 et n tels que i
<j.

10.  La décomposition de F est évidente :
Applications :
a)
b) F(n)(X)=
c)

11.  Décomposition élémentaire :
a)
b) F(n)(X)=
c)

12.  a) La partie entiÈre est nulle et les deux pôles sont d’ordre 2. On peut donc écrire la décomposition :
avec . AprÈs calculs et simplifications il vient :
b)

13.  a) La partie entiÈre s’obtient facilement par division.
Les parties polaires en 0, simple et en 1, pôle double ne posent pas non plus de problÈmes


b)
c)

14.  a)  D’oÙ
b)
D’oÙ :

c) D’aprÈs la formule du binôme :
(x)5=[(x+1)-1]5=(x+1)5-5(x+1)4+10(x+1)3-10(x+1)²+5(x+1)-1. On en déduit aussitôt :
 , soit en développant :

15.  a)  , D’oÙ pour tout entier n³2 :

b)
La dérivée d’ordre n est donc donnée par la formule suivante :


c) La fraction admet deux pôles simples complexes conjugués, ei
q et e-iq.
La décomposition est élémentaire :
Ainsi la dérivée d’ordre n s’exprime par :

16.  a) Les dérivées successives de 1-X-X ² s’annulent à partir de l’ordre 3.
La formule de Leibniz appliquée au produit (1-X-X)f(X) donne donc une expression de la dérivée d’ordre n réduite pour n
³2 à :

Soit aprÈs simplifications : (1-X-X²)f(n)(X)+n(-1-2X)f(n-1)(X)-n(n-1)f(n-2)(X)
Or par définition de la fraction f, le produit étudié est constant égal à 1. D’oÙ la relation :

'n ³2   (1-X-X²)f(n)(X)-n(2X+1)f(n-1)(X)-n(n-1)f(n-2)(X)=0 .

b) La fraction f admet deux pôles simples réels définis par
a= et b=.
La décomposition est immédiate :
On en déduit directement l’expression de la dérivée d’ordre n pour n entier quelconque :

c) Pour X=0, la relation établie en a) se simplifie en : f(n)(0)-nf(n-1)(0)-n(n-1)f(n-2)(0)=0
On en tire immédiatement : , c’est à dire avec les notations de l’énoncé :
'n ³2 : Fn=Fn-1+Fn-2.  Il reste à déterminer, par un calcul direct des valeurs de f et de sa dérivée en 0, les conditions initiales, soit : F0=f(0)=1 et F1=f ’(0)=1.

d) La formule obtenue en b) donne pour X=0 l’expression directe de Fn en fonction de l’entier n, soit :

17.  a) La partie entiÈre de  est nulle et le résidu en chacun des pôles simples Xk
est donné par la relation classique 
ak=
On a donc la décomposition élémentaire : =
b) Pour X
IC- on déduit aussitôt de la formule ci dessus :
De  on tire ensuite :

Enfin, en dérivant formellement la décomposition de F(X) on arrive à :


18.  a) Le schéma est classique, partie entiÈre nulle et n pôles simples ak en lequel la partie polaire se résume à
b) Appliquons le résultat précédent à P(X)=Xq avec q
I. On peut alors écrire :
 
Multiplions alors l’égalité précédente par X et décomposons
On en déduit :
Or puisque q
<n, la partie entiÈre de la fraction ci dessus est nulle si q<n-1 et vaut 1 si q égale n-1. D’oÙ l’expression de la somme des ak, et ceci vu l’unicité de la décomposition d’une fraction donnée en éléments simples.

19.  a) La partie entiÈre est nulle puisque le degré de P est strictement inférieur à n.
La partie polaire relative au pôle simple  est égale à
avec : . On en déduit :
En particulier pour X=0 on obtient : P(0)=.


b) Décomposons alors : . On en déduit la relation suivante :


c) Appliquons l’égalité précédente pour P(X)=X en X=, avec x choisi tel que Xn
¹1.
Pour tout k de  :
Ainsi :
En égalant les parties réelles on en déduit aprÈs simplifications :



20.  Il s’agit d’une généralisation de l’exercice 16.

a) Dérivons formellement à l’ordre n les deux membres de l’égalité de définition de f, . Pour n
³3, et d’aprÈs Leibniz, on est conduit à :
. Pour X=0 cette relation se résume à :

Ainsi, les termes  satisfont bien à la relation de récurrence :
'n³3   yn+yn-1+yn-2+yn-3=0. Pour obtenir des termes initiaux y0, y1, y2 égaux à 1, il suffit d’ajuster les coefficients a, b, c de façon que  f(0)=1 ; f ’(0)=1 ; .
On trouve facilement, de proche en proche : c=1 ; b=2 ; a=3.

b) La décomposition de f est évidente :
On en déduit :
Et donc








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