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DOCUMENTE SIMILARE |
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1) GENERALITES.
Nous avons étudié dans le chapitre précédent l’Anneau des polynômes à
une indéterminée à coefficients dans un corps commutatif K infini et de caractéristique nulle.
On a vu en particulier que cet Anneau est commutatif et intÈgre, au sens qu’un produit ne peut y Être nul que si au
moins un de ses facteurs est égal au zéro de cet Anneau.
Il existe un processus algébrique standard permettant dans une telle
configuration d’étendre cette structure d’Anneau en une structure de corps
commutatif appelé corps des fractions
de l’Anneau en question.
Ce processus permet par exemple de construire le corps classique des nombres
rationnels à partir de l’Anneau des entiers relatifs.
Appliqué à notre Anneau K[X] des polynômes sur K il va nous conduire au corps des fractions rationnelles
à coefficients dans K que nous noterons K(X).
On se propose dans ce nouveau chapitre d’analyser le procédé de construction et
les commodités apportées à la théorie par l’introduction de cette
extension.
A) Définitions.
1)
Fraction rationnelle.
Soit (A, B) un couple d’éléments de K[X] avec B non identiquement nul. On appelle fraction rationnelle de représentant (A, B),
l’ensemble formé par tous les couples (P, Q) de polynômes à coefficients
dans K tels que A.Q=B.P et Q non identiquement nul.
On adoptera l’écriture pour représenter cette
fraction.
Une fraction rationnelle apparait donc comme un collectif défini à
partir d’un couple initial.
Remarquons alors que si (C, D) est un couple tel que A.D=B.C et D non nul, la
fraction rationnelle de représentant (C, D) coÃncide exactement avec la
fraction de représentant (A, B)
En effet, si C.Q=D.P on en déduit en multipliant par P : B.C.Q=B.D.P ,
puis A.D.Q=B.D.P d’aprÈs la relation liant (A,B) à (C,D), et
enfin A.Q=B.P en simplifiant par D non nul, vu l’intégrité de K[X]. On déduit de mÊme C.Q=D.P à partir de
A.Q=B.P en multipliant par D puis en simplifiant par B non nul.
Chacun des couples (P,Q) tels que A.Q=D.P et Q non nul mérite donc aussi le nom
de représentant de la fraction et on pourra écrire F=.
P et Q seront appelés respectivement numérateurs et dénominateurs du
représentant (P,Q).
2)
Représentant irréductible.
Si de plus P et Q n’ont pas d’autres diviseurs communs que les polynômes
constants, le représentant (P, Q) sera dit irréductible.
La connaissance d’un représentant irréductible permet
d’obtenir facilement tous les autres représentants de la fraction considérée
comme l’indique le résultat suivant :
Si (A, B) est un représentant irréductible de F, alors (P, Q) est un représentant de F si et seulement si il existe un polynôme l non nul tel que P=lA et Q=lB.
_ La condition est évidemment
suffisante puisque (lA).B=(l.B).A
_ Réciproquement, supposons A.Q=B.P avec (A,B) irréductible. On a vu en fin du
chapitre précédent, en application de l’Algorithme d’Euclide, l’identité de
Bezout assurant l’existence d’un couple (U, V) de polynômes tel que A.U+B.V=1
On en déduit P=P.A.U+P.B.V=P.A.U+A.Q.V=(P.U+Q.V).A=l.A avec l=P.U+Q.VIK[X]
De mÊme Q=Q.A.U+Q.B.V=B.P.U+Q.B.V=(P.U+Q.V).B=l.B
Cette propriété permet d’établir l’unicité des représentants irréductibles, au
produit par une constante prÈs. En effet si (A, B) et (C, D) sont deux
représentants irréductibles d’une mÊme fraction F, il existe alors un
polynôme l tel
que C=l.A
et D=l.B
mais également un polynôme a tel que A=a.C et B=a.D. On en déduit B=a l.B
et par suite 1=a l puisque B non nul.
Nécessairement a et l sont donc des polynômes de
degré 0 donc constants.
3)
zéros et pôles d’une fraction rationnelle.
La remarque ci-dessus permet de définir sans ambiguÃté les deux notions
suivantes :
Si F= avec (A, B) irréductible, on appelle zéro de F d’ordre n,
toute racine d’ordre n du numérateur
A et pôle d’ordre s de F, toute racine d’ordre s du dénominateur B.
Remarquons qu’un élément a ne peut
Être à la fois zéro et pôle de F, cela entrainerait la
divisibilité de A et B par X-a et
nierait le caractÈre irréductible du représentant.
4)
Fonction rationnelle associée à une fraction rationnelle F de
représentant irréductible (A,B)
On appellera ainsi la fonction f
définie sur le corps K privé de l’ensemble P(F) des pôles de F, à valeurs dans K et définie par la formule .
Ici encore la définition de f ne
dépend pas du couple irréductible choisi pour définir f, et on remarque également que pour un représentant (P, Q)
quelconque de F, non nécessairement irréductible, on a bien en tout x n’étant pas racine de Q :
Par abus de langage et de notation on dira simplement que f(x) est la valeur en x de
la fraction rationnelle F et on écrira f(x)=F(x).
B) Opérations sur
les fractions.
1)
Définition des opérations fondamentales.
Si désignent deux
fractions rationnelles données à partir de représentants irréductibles,
on définit la somme et le produit de ces fractions par les égalités :
On vérifie immédiatement que les résultats de ces opérations ne dépendent que
des fractions en jeu F et G et non pas des choix arbitraires des
représentants irréductibles choisis pour définir ces mÊmes fractions. En
effet si (P,Q) désigne un représentant quelconque de F et (U,V) un autre représentant de G, on sait qu’il existe deux polynômes
non nuls, soient a et b tels que P=aA , Q=aB , U=bC et V=bD. On en
déduit immédiatement :
Les opérations peuvent donc Être définies à partir de
représentants quelconques des fractions, mÊme non nécessairement
irréductibles.
Remarquons que pour tout scalaire x
n’appartenant pas à la réunion de l’ensemble des pôles des deux
fractions F et G, les valeurs en x de F+G et F.G sont tous simplement les
sommes et produits des images respectives au sens des lois sur le corps K. En effet :
2)
Corps des fractions rationnelles.
On vérifie sans aucune difficultés que l’ensemble K(X) des fractions rationnelles à coefficients dans K, muni dans l’ordre des deux lois de composition interne
somme et produit définies ci dessus acquiert une structure de corps commutatif.
(On convient dans ce qui suit de noter par a le polynôme constant aX0).
– L’associativité, la commutativité de + et . , la distributivité du produit
par rapport à la somme s’établissent directement à partir des
définitions mÊmes, en utilisant des représentants quelconques des
fractions considérées.
_ Le neutre pour l’addition est la fraction dite nulle, de représentant (0, 1).
_ La symétrique pour la somme de est la fraction - appelée opposée de F.
_ Le neutre pour le produit est la fraction de représentant (1, 1).
_ La symétrique pour le produit de la fraction non nulle est la fraction appelée inverse de F et notée conformément aux notations multiplicatives usuelles.
3)
Plongement des polynômes dans le corps des fractions.
Le corps K(X) que l’on vient de définir contient en fait une trace
de l’Anneau des polynômes K[X] situé à la base de
la construction. Pour s’en persuader il suffit de considérer l’application j de K[X] vers K(X) qui associe à
chaque polynôme P la fraction j(P)=.
Il est clair que j(P+Q)=j(P)+j(Q)
et j(P.Q)=j(P).j(Q) pour tout
couple (P, Q) de polynômes.
De plus j(X0)==1 . L’application j
est donc un morphisme d’Anneau.
Il suffit alors de remarquer que j
est injective pour conclure que l’image j(K[X]) est un sous-Anneau du corps des fractions isomorphe
à l’Anneau originel des polynômes K[X].
Si on convient de noter abusivement j(P)=, la fraction quelconque apparait alors comme
le produit effectif de P(X) par l’inverse de Q(X) et la notation
adoptée ainsi que l’appellation corps des fractions se justifient pleinement.
F(X)
est véritablement le quotient du polynôme P(X) par le polynôme Q(X), c’est à dire
le produit de P(X) par l’inverse de Q(X). (En réalité c’est ).
4)
Caractérisation des zéros et pôles multiples d’une fraction.
On a posé en définition que l’élément a
de K est zéro d’ordre n
d’une fraction donnée sous forme
irréductible si et seulement si a est
racine multiple d’ordre n de A(X).
Ceci entraine la factorisation du numérateur sous la forme A(X)=(X-a)nC(X) avec C polynôme tel que C(a) non nul. On peut alors écrire F(X)=
(X-a)nG(X) avec G fraction rationnelle définie comme quotient de
C par B , donc n’admettant a ni
pour zéro, ni pour pôle.
Réciproquement considérons une fraction
fraction n’admettant a ni pour zéro,
ni pour pôle et supposée écrite ici sous forme irréductible.
Si (A1,B1) est un représentant
irréductible de F, on sait qu’il
existe un polynôme l tel
que :
(X-a)n a(X)=l(X)A1(X) et b(X)=l(X)B1(X).
Puisque a n’est pas racine de b, on en déduit que l(a) est non nul et que par suite a
est racine de A1, d’ordre
nécessairement n car a n’est pas non plus racine de a.
Ainsi a est bien zéro d’ordre n de F
au sens premier. On a donc établi l’équivalence :
a zéro d’ordre n de F F(X)=(X-a)nG(X) avec G fraction dont a n’est
ni zéro ni pôle.
Grace à la remarque : a
zéro d’ordre n de F a pôle d’ordre n de , on déduit aussitôt :
a pôle d’ordre n de F avec G fraction dont a n’est ni zéro ni pôle.
2) DERIVATION FORMELLE.
A)
Définition.
Supposons que l’on veuille étendre le processus de dérivation formelle des
polynômes à l’ensemble des fractions rationnelles, et ceci de façon que
la rÈgle de dérivation des produits soit conservée.
Si , c’est à dire si , on devra donc avoir nécessairement :
et par suite la
dérivée de F(X) devra Être évaluée suivant
la formule :
On vérifie facilement que la fraction précédente ne dépend pas du représentant
arbitraire (P, Q) de F.
En effet, si , on obtient d’abord,
en ‘dérivant’ la relation A.Q=B.P , l’égalité A’Q+AQ’=B’P+BP’
puis en multipliant par BQ, la
formule : A’BQ²+ABQQ’=B’PBQ+B²QP’.
Enfin, en remplaçant BP par AQ à droite et AQ par BP à gauche dans l’égalité précédente, on obtient facilement : (A’B-AB’)Q²=B²(P’Q-PQ’)
qui équivaut à :
La définition de la dérivée formelle d’une fraction F selon la formule encadrée ci dessus est donc sans aucune
ambiguÃté.
On introduit ensuite naturellement comme on l’a déjà fait pour les
polynômes, les dérivées successives de F
par dérivations en cascade : F(0)=F et nIN F(n+1)=[F(n)]’
On vérifie facilement que : a
pôle d’ordre n de F a pôle d’ordre n+1 de F ’, grace à la relation :
B) RÈgles de
calcul.
On démontre sans peine que les formules de dérivation établies sur les
polynômes pour la somme et le produit s’étendent à l’identique sur le
champ des fractions rationnelles.
Ainsi la dérivée d’ordre n quelconque
d’une somme de fractions est la somme des dérivées d’ordre n de chacune d’entre elles, la dérivée d’ordre n du produit F.G
s’obtient conformément à la formule de Leibniz.
Notons les résultats utiles pour la suite, qui s’établissent facilement par
récurrence sur n :
et kIN
C) CritÈre
des zéros multiples.
Soit F une fraction du type F(X)=(X-a)nG(X) , le scalaire a n’étant ni pôle ni zéro de G.
La formule de Leibniz appliquée au produit précédent donne l’expression de la
dérivée d’ordre q quelconque de F :
a étant racine d’ordre n de (X-a)n, il est
clair que les dérivées successives de cette puissance vont s’annuler en a jusqu’à l’ordre n-1. On en déduit immédiatement, puisque
a n’est pas pôle
de G, que les dérivées successives de
F vont s’annuler en a jusqu’à l’ordre n-1. Quand à celle d’ordre n, elle prendra la valeur F(n)(a)=n!G(a) , donc sera non nulle.
On retrouve donc une caractérisation analogue à celle des racines
multiples des polynômes :
a
est zéro d’ordre n de la fraction F kI F(k)(a)=0 et F(n)(a) ¹ Formule
de Taylor avec reste.
Soit F une fraction rationnelle
n’admettant pas a pour pôle. Pour
tout entier n, la différence D(X)= est une fraction rationnelle dont toutes les dérivées
successives jusqu’à l’ordre n
s’annulent au point a. D’aprÈs
ce qui précÈde, a est donc zéro
d’ordre au moins n+1 de F.
Il existe donc une fraction G
n’admettant pas a pour pôle, et telle
que D(X)=(X-a)n+1G(X).
Ainsi : avec G fraction
rationnelle définie en a
En particulier pour et pour a=0 on obtient le développement
classique :
3) DECOMPOSITION EN ELEMENTS SIMPLES.
L’objet de ce paragraphe est l’étude d’une technique permettant d’écrire une
fraction rationnelle F de dénominateur
scindé comme une somme d’un polynôme et de fractions élémentaires du type dans lesquel a
désigne un pôle de F, n un entier non nul inférieur ou égal
à l’ordre du pôle a dans F, et a un élément du corps K.
Cette décomposition en éléments dits ‘simples’ facilitera en particulier le
calcul des dérivées successives de F
, le calcul d’intégrales et de sommes relatives à la fonction
rationnelle f associée à F lorsque K est égal au corps des réels ou celui
des complexes.
La premiÈre étape de la méthode repose sur une simple division
Euclidienne.
A) Partie
entiÈre. ThéorÈme : Toute fraction rationnelle se décompose de
maniÈre unique comme somme d’un polynôme avec une fraction dont le degré
du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur.
_ Pour l’existence de l’écriture, considérons et effectuons la
division Euclidienne de A par B. Cela se traduit par : A=B.Q+R
avec Q, R polynômes et R nul ou
de degré strictement inférieur à celui de B.
En divisant par B on obtient bien un
schéma conforme à nos exigences, soit : avec degré(R) < degré(B).
_ Pour l’unicité, supposons deux écritures de F du type précédent, soit
On en déduit l’égalité polynômiale : bb (E-E1)=a b ab .
Si le second membre n’est pas nul, il sera de degré strictement inférieur
à la somme des degrés de b et b
d’aprÈs les contraintes imposés aux numérateurs a et a .
Or le premier membre est multiple de bb donc, s’il
n’est pas nul, est de degré supérieur ou égal à la mÊme somme des
degrés de b et b .
La seule possibilité conciliant les deux remarques est la nullité des deux
membres de l’égalité. On en déduit E=E1 , par intégrité de K[X] et par suite : .
Le polynôme E apparaissant dans la
décomposition est appelé partie
entiÈre de la fraction F.
Elle est bien sÛr nulle si F
admet un représentant dont le degré du numérateur est déjà strictement
inférieur à celui du dénominateur.
Dans ce qui suit nous ne nous occuperons que de fractions de ce type, obtenues
aprÈs division Euclidienne éventuelle.
B) Elements simples
relatifs aux pôles.
Nous supposons ici la fraction F
définie par un représentant de dénominateur scindé, c’est à dire du type
, avec de plus :
degré(A)< r1+….+rn
_ Envisageons d’abord le cas d’un pôle unique a1.
En appliquant la formule de Taylor en ce point à l’ordre r1-1 au numérateur A(X)
de degré strictement inférieur à r1
on obtient la relation :
En divisant par , il apparait la décomposition :
_ Nous allons généraliser ce processus par récurrence sur le nombre de pôles n.
Supposons que pour toute fraction du type décrit ci dessus on puisse
toujours trouver une décomposition du type avec a(i,k) élément de K pour tout couple d’indices (i,k).
Examinons alors une fraction du mÊme type mais avec un pôle de plus noté a, d’ordre r, soit :
avec
a n’étant pas pôle de G, on peut décomposer G en utilisant la formule de Taylor avec
reste à l’ordre r-1 en ce
point, ce qui donne :
avec H fraction rationnelle dont a n’est pas pôle. On en déduit
l’écriture de F(X) suivante :
.
Il est clair que les pôles de H ne
sont autres que ceux de F(X) avec les mÊmes ordres de
multiplicité excepté bien sÛr le pôle a
, éliminé par intervention de la formule de Taylor ci dessus.
Pour chacun des ai avec iI on a
bien en effet : avec Mi
fraction rationnelle dont ai
n’est pas pôle, et H est définie en
tout x de K-.
De plus, en effectuant la différence , en réduisant au
mÊme dénominateur puis en simplifiant par (X-a)r, on voit
bien que le nouveau numérateur B(X) est de degré strictement inférieur
à r1+….+rn.
Par hypothÈse on peut alors décomposer H suivant le type décrit plus haut, c’est à dire :
D’oÙ une décomposition du mÊme type pour F :
La possibilité de décomposition s’étendra donc bien de proche en proche
à un nombre quelconque de pôles.
Unicité
de la décomposition, parties polaires.
On appelle partie polaire de F relative à un pôle ai de cette fraction dans une
décomposition en éléments simples de F
du type décrit ci dessus, la quantité .
Cette quantité ne dépend aucunement de la façon d’obtenir la dite
décomposition. En effet remarquons que en multipliant F(X) par on obtient une égalité
du type :
; ai
n’étant pas pôle de Hi
On en déduit d’aprÈs les rÈgles de dérivation, que : k I
La partie polaire de F relative au pôle Fi s’exprime donc de maniÈre unique sous la
forme :
avec
SynthÈse
. Nous avons donc établi le
théorÈme suivant :
Toute fraction rationnelle de dénominateur scindé se décompose de maniÈre unique comme somme de sa partie entiÈre et des parties polaires relatives à chacun de ses pôles.
Cas
particulier des pôles simples.
Si a est pôle d’ordre 1 de la
fraction , la partie polaire relative à a se résume alors à un seul terme du type avec, conformément
à l’étude précédente, a défini par la formule .Ce coefficient appelé aussi résidu de la fraction F
au pôle a
peut se déterminer autrement si la factorisation du dénominateur D(X)
est délicate. Il suffit de remarquer que si D(X)=(X-a)B(X),
on obtient par dérivation : D’(X)=B(X)+(X-a)B’(X).
Ainsi
B(a)
n’est autre que la valeur de la dérivée du dénominateur D de F en a :
C) Fractions
à coefficients réels.
Dans le cas oÙ le corps de base est celui des complexes, on sait que
tout polynôme est scindé et la décomposition en éléments simples sera toujours
possible. Si on considÈre une fraction F à coefficients purement réels, on pourra donc commencer
par la décomposer en éléments simples dans C(X). Examinons les éléments de cette décomposition.
_ La partie entiÈre, quotient d’une division Euclidienne mettant en jeu
des polynômes à coefficients réels, sera donc aussi à coefficients réels.
_ Les parties polaires relatives aux pôles réels de F ne font apparaitre également que des coefficients réels. En effet
leur mode de calcul fait principalement intervenir des valeurs de dérivées
successives de fractions à coefficients réels en des nombres réels.
_ Reste le cas des éléments simples relatifs aux pôles complexes.
On rappelle que si a est
racine d’ordre n d’un polynôme B à coefficients réels, la conjuguée
de a est
aussi racine de B et avec le
mÊme ordre de multiplicité.
Si a est pôle d’ordre n de F
à coefficients réels, sera donc aussi pôle
d’ordre n de F.
Ici encore le mode de calcul des parties polaires montre que les numérateurs
des éléments simples de mÊme puissance relatifs à a et sont conjugués deux
à deux.
Si on réunit ainsi deux à deux ces éléments associés on obtient des
sommes du type :
= avec P à coefficients réels (vu par
exemple le développement des puissances suivant la formule du binôme), et T(X)=X²-pX+q trinôme du second degré à coefficients réels de
discriminant strictement négatif.
Ces éléments sont bien maintenant à coefficients réels mais ils ne sont
pas ‘simples’ car le degré du numérateur P
peut Être élevé.
(Il est au plus égal à k et
égal à k si le coefficient a n’est pas
imaginaire pur).
Effectuons alors la division Euclidienne de P
par T. Il vient
et par suite :
La deuxiÈme fraction a un dénominateur de degré au plus 1, on peut le
considérer comme ‘simple’ au sens que son intégration par exemple peut
Être obtenu selon un schéma classique que nous aborderons ultérieurement
dans le cours d’Analyse.
La premiÈre admet un numérateur P1
dont le degré a notablement régressé par rapport à celui de P. On peut alors poursuivre le processus
sur cette fraction en divisant maintenant P1
par T .
En répétant ce principe, vu la décroissance des degrés des numérateurs, on
obtiendra au bout d’un nombre fini d’étapes une somme de termes du type avec i indice appartenant
à la plage . Et ceci
pour tout k inférieur ou égal
à l’ordre du pôle a.
La somme des parties polaires relatives à a et d’ordres r sera donc du type
Fractions Rationnelles. Exercices.
Décomposer en éléments simples
dans R(X) les fractions
suivantes :
Pour n entier non nul décomposer en éléments simples dans R(X) la fraction
Décomposer en éléments simples
dans C(X) puis dans R(X) les fractions suivantes :
Décomposer en éléments simples dans
C(X) les fractions
suivantes :
Pour n entier non nul décomposer en éléments simples dans C(X):
On pose P(X)=4X3+4(1-i)X²-(1+4i)X
–1.
Montrer que P(X) admet une racine
multiple, puis décomposer la fraction en éléments simples
dans C(X).
Décomposer en éléments simples dans R(X) la fraction sachant que le paramÈtre a est réel et que le dénominateur admet une racine multiple.
On considÈre la fraction
de R(X) définie par
Décomposer F(X) en une somme d’éléments du type avec k exposant entier et Ak , Bk réels.
(On pourra procéder par divisions Euclidiennes successives)
On considÈre pour n entier P(X)=X(X-1)(X-2)…..(X-n).
Décomposer sur R(X) les fractions
Décomposer en éléments simples
sur R(X) la fraction F(X)= puis en déduire le calcul des expressions suivantes :
a)
b) F(n)(X) pour n entier quelconque.
c) pour n entier quelconque.
Décomposer dans R(X) la fraction F(X)= puis en déduire les expressions de :
a) b) F(n)(X) pour n entier . c) pour n entier non nul.
On considÈre la
fraction :
a) Décomposer F(X) en éléments simples dans R(X)
b) En déduire une expression simplifiée de pour n entier non nul, puis la limite de la somme
précédente lorsque n tend vers + ¥
On considÈre la
fraction :
a) Décomposer F(X) en éléments simples sur R(X)
b) En déduire la valeur de
c) Montrer que pour tout entier n ³
Déterminer les intégrales
suivantes :
Déterminer les dérivées
successives des fractions suivantes :
(q I p
Nombres de Fibonacci. On considÈre la fraction f(X)=
a) Montrer que pour tout entier n ³2 on a la relation
suivante :
(1-X-X²)f(n)(X)-n(2X+1)f(n-1)(X)-n(n-1)f(n-2)(X)=0 .
(On pourra partir de l’égalité (1-X-X²)f(X)=1
puis appliquer Leibniz.)
b) En utilisant la décomposition de f(X) en éléments simples dans C(X), déterminer directement l’expression
de la dérivée successive d’ordre n de
f.
c) Montrer à l’aide de a), que pour tout n entier le réel Fn= n’est autre que le nombre de Fibonacci d’ordre n définie par le processus de récurrence :
F0=1 ; F1=1 ;
k IN Fk+2=Fk+1+Fk.
d) Trouver alors à l’aide de b) une expression directe de Fn en fonction de l’entier n.
On considÈre n complexes distincts X1,X2,…,Xn et le polynôme P(X)=(X-X1).….(X-Xn)
a) Décomposer en éléments simples dans C(X)
la fraction .
b) En déduire l’expression simplifiée pour X
IC- des sommes suivantes :
On considÈre n complexes distincts a1, a2, ….,an
et P un polynôme à coefficients dans C, de degré strictement inférieur à n, n’ayant pour racine aucun des n complexes ci dessus.
a) Décomposer en éléments simples dans C(X)
la fraction
b) En déduire alors la valeur pour qI de la somme :
(l’indice j dans chacun des
dénominateurs parcourant - )
P(X) désigne un polynôme à
coefficients complexes de degré strictement inférieur à l’entier n.
a) Décomposer dans C(X) la fraction F(X)=. On notera a1,….,an les pôles de F(X)
b) Montrer que F(X)=.
c) En appliquant ce qui précÈde à P(X)=X, trouver une expression
condensée de la somme : pour x réel donné.
On considÈre la fraction
a) Montrer que l’on peut choisir les réels a,
b, c, de façon que la suite définie par yn= coÃncide
exactement avec la suite définie par le procédé de récurrence :
x0=1 ; x1=1 ; x2=1 et kIN xk+xk+1+xk+2+xk+3=0.
(On utilisera la formule de Leibniz pour dériver le produit f(X)(1+X+X²+X3) )
b) Décomposer f(X) en éléments simples sur C(X)
pour les valeurs de a,b,c
précédentes, puis en déduire l’expression directe de xn en fonction de n.
SOLUTIONS.
a)
N’oublions pas la partie entiÈre, obtenue par division Euclidienne :
X3=(X²-3X+2)(X+3)+7X-6 , donc
Ainsi :
b) La partie entiÈre est nulle.
La partie polaire relative à –2 est
La partie polaire relative au pôle double 1 sera
AprÈs calculs :
c) La partie entiÈre est 1 puisque X3+7=(X3-8)+15.
La fraction possÈde trois pôles simples sur C qui sont le produit par 2 des racines cubiques de l’unité,
soit 2, 2j et 2j² avec
On peut éviter la factorisation du dénominateur en calculant les résidus
à l’aide de la dérivée 3X²
de ce mÊme dénominateur. En chacun de ces pôles z, la partie polaire est égale à Ainsi on obtient dans C(X) puis R(X) :
Pour
n entier non nul et X complexe distinct de 1 et –1 on sait
que :
.
On en déduit la partie entiÈre,
puis la décomposition évidente :
a)
La fraction a 4 pôles simples complexes qui sont les racines quatriÈmes
de –1 et sont donnés par les formules trigonométriques avec k I.
La partie entiÈre étant nulle, on a donc :
AprÈs calculs et simplifications on obtient la décomposition dans C(X) suivante :
, puis la
décomposition dans R(X), en regroupant deux à
deux les parties polaires relatives à un pôle et son conjugué :
b) La fraction a 3 pôles simples dans C
qui sont les racines cubiques de l’unité et un pôle double, soit –1.
Pour celui ci la partie polaire est
On trouve facilement grace à :
les valeurs
Pour chacune des racines cubiques z
de 1, la partie polaire est
et D’(z)=2(z+1)(z3-1)+(z+1)²(3z²) dérivée du dénominateur de la fraction
donnée.
AprÈs calculs et simplifications on obtient la décomposition dans C(X) suivante :
avec
En regroupant les termes en j et j² on obtient la décomposition dans
R(X) :
c) Ecrivons d’abord la fraction sous forme irréductible :
La partie entiÈre est égale à 1 et la fraction admet deux pôles
doubles dans C soit i et –i
Les coefficients étant tous réels, la décomposition dans C(X) sera :
Avec b=G(-i) , a=G’(-i) et G(X)=-.
AprÈs calculs on obtient :
On peut obtenir directement la décomposition dans R[X] à partir de la division Euclidienne : 2X²+1=(X²+1)2-1 d’oÙ l’on tire en divisant par (X²+1)² la relation :
a)
La fraction ci dessus admet quatre pôles simples complexes qui sont les racines
sixiÈmes de l’unité distinctes de 1 et –1, soient j, -j, j²,-j² avec
Les coefficients étant tous réels et vu la parité de la fraction on aura donc
une décomposition dans C(X) du type suivant :
Dans R(X) on aurait aprÈs
regroupement :
b) (X+1)5=X5 . Les pôles sont donc obtenus à partir des racines
cinquiÈmes de l’unité avec kI en résolvant
On trouve 4 solutions avec kI
La partie polaire relative au pôle simple Xk
sera
En simplifiant :
Attention, la partie entiÈre n’est pas nulle mais égale à car le terme dominant
de (X+1)5-X5 est 5X4. Ainsi :
c) 0 est pôle simple , j et j² sont pôles doubles. La partie
entiÈre est nulle. D’oÙ la décomposition dans C(X) :
;
AprÈs calculs et simplifications on trouve
Ainsi :
La décomposition dans R(X) donnerait :
a)
Les pôles sont les racines niÈmes de l’unité : : avec kI.
S’agissant de pôles simples et la partie entiÈre étant nulle, la
décomposition est évidente :
.
b) Les pôles sont ceux de la fraction précédente, presque tous simples, sauf 1
d’ordre de multiplicité 2 puisque
La partie polaire relative à 1 sera donc
Le résidu au pôle simple zk
pour k ¹0 sera
Ainsi
c) Il y a 2n+1 pôles simples définis
par zk= avec kI.
Le résidu en chacun de ces pôles est donné par ak=.
La partie entiÈre est égale à 1. Ainsi :
Si
P(X) admet une racine multiple, celle ci doit Être nécessairement racine
commune à P(X) et sa dérivée formelle P’(X). Suivant le schéma classique
de recherche des zéros communs nous effectuons alors la division Euclidienne de
P(X) par P’(X) soit :
La seule racine multiple possible est donc . On vérifie facilement que cette valeur est effectivement
racine double : P(X)=4(X-)²(X+1)
On en déduit P’(X)=8(X-)(X+1)+4(X-)² , puis :
Si
x est racine multiple du dénominateur
D(X)=aX3-3X+a+1, x
doit Être nécessairement racine de D’(X)=3aX²-3, donc vérifier ax²=1.
En faisant intervenir cette relation dans l’égalité D(x)=0 on en déduit alors 2x=a+1. La seule valeur possible est donc
qui sera effectivement racine double si ou encore si a3+2a²+a-4=0.
Vu la factorisation évidente en (a-1)(a²+3a+4), il apparait que 1 est la seule valeur réelle possible pour a. On a dans ce cas D(X)=(X-1)²(X+2).
La décomposition de la fraction donnée, de pôle double 1 et pôle simple –2
s’obtient facilement :
Une
premiÈre division de X6 par X²+X+1 donneX6=(X²+X+1)(X4-X3+X-1)+1
et conduit à l’apparition d’un premier élément simple : . Continuons en divisant X4-X3+X-1 par
X²+X+1. On obtient : X4-X3+X-1=(X²+X+1)(X²-2X+1)+2X-2
et par suite :
Enfin, de X²-2X+1=(X²+X+1)(1)-3X on déduit la forme ultime
demandée :
a)
Le résidu ak au pôle simple entier k de est égal au quotient du numérateur constant 1 par le produit k(k-1)(k-2)…(2)(1)(-1)(-2)…(-(n-k))=(-1)n-kk!(n-k)!
On peut donc écrire en utilisant les coefficients binômiaux : ak=(-1)n-k
On vérifie que cette expression est également valable aux pôles extrÊmes
0 et n.
Ainsi :
b) Le résidu au pôle simple entier k
de est égal à . La partie entiÈre est nulle, d’oÙ la
décomposition évidente :
c) En dérivant formellement l’égalité ci-dessus on obtient :
.
En évaluant le carré de on obtient :
Or . On en déduit donc la décomposition :
, la somme étant
étendue à tous les couples (i, j) d’entiers compris entre 0 et n tels que i <j.
La décomposition de F est évidente :
Applications :
a)
b) F(n)(X)=
c)
Décomposition élémentaire :
a)
b) F(n)(X)=
c)
a) La partie entiÈre est
nulle et les deux pôles sont d’ordre 2. On peut donc écrire la
décomposition :
avec . AprÈs calculs et simplifications il vient :
b)
a) La partie entiÈre
s’obtient facilement par division.
Les parties polaires en 0, simple et en 1, pôle double ne posent pas non plus
de problÈmes
b)
c)
a) D’oÙ
b)
D’oÙ :
c) D’aprÈs la formule du binôme :
(x)5=[(x+1)-1]5=(x+1)5-5(x+1)4+10(x+1)3-10(x+1)²+5(x+1)-1. On en déduit aussitôt :
, soit en
développant :
a) , D’oÙ pour
tout entier n³2 :
b)
La dérivée d’ordre n est donc donnée
par la formule suivante :
c) La fraction admet deux pôles simples complexes conjugués, eiq et e-iq.
La décomposition est élémentaire :
Ainsi la dérivée d’ordre n s’exprime
par :
a) Les dérivées successives de 1-X-X
² s’annulent à partir de l’ordre 3.
La formule de Leibniz appliquée au produit (1-X-X)f(X) donne donc une
expression de la dérivée d’ordre n
réduite pour n ³2 à :
Soit aprÈs simplifications : (1-X-X²)f(n)(X)+n(-1-2X)f(n-1)(X)-n(n-1)f(n-2)(X)
Or par définition de la fraction f,
le produit étudié est constant égal à 1. D’oÙ la relation :
n ³ (1-X-X²)f(n)(X)-n(2X+1)f(n-1)(X)-n(n-1)f(n-2)(X)=0 .
b) La fraction f admet deux pôles
simples réels définis par a= et b=.
La décomposition est immédiate :
On en déduit directement l’expression de la dérivée d’ordre n pour n entier quelconque :
c) Pour X=0, la relation établie en
a) se simplifie en : f(n)(0)-nf(n-1)(0)-n(n-1)f(n-2)(0)=0
On en tire immédiatement : , c’est à dire avec les notations de l’énoncé : n ³2 : Fn=Fn-1+Fn-2. Il reste à déterminer, par un calcul
direct des valeurs de f et de sa
dérivée en 0, les conditions initiales, soit : F0=f(0)=1 et F1=f ’(0)=1.
d) La formule obtenue en b) donne pour X=0
l’expression directe de Fn
en fonction de l’entier n,
soit :
a) La partie entiÈre de est nulle et le résidu
en chacun des pôles simples Xk
est donné par la relation classique ak=
On a donc la décomposition élémentaire : =
b) Pour XIC-
on déduit aussitôt de la formule ci dessus :
De on tire ensuite :
Enfin, en dérivant formellement la décomposition de F(X) on arrive à :
a) Le schéma est classique,
partie entiÈre nulle et n
pôles simples ak en lequel
la partie polaire se résume à
b) Appliquons le résultat précédent à P(X)=Xq avec qI. On peut alors écrire :
Multiplions alors l’égalité précédente par X et décomposons
On en déduit :
Or puisque q<n, la partie entiÈre de la
fraction ci dessus est nulle si q<n-1 et vaut 1 si q égale n-1. D’oÙ l’expression de la somme des ak, et ceci vu l’unicité de la
décomposition d’une fraction donnée en éléments simples.
a) La partie entiÈre est
nulle puisque le degré de P est strictement inférieur à n.
La partie polaire relative au pôle simple est égale à
avec : . On en déduit :
En particulier pour X=0 on obtient : P(0)=.
b) Décomposons alors : . On en déduit la relation suivante :
c) Appliquons l’égalité précédente pour P(X)=X en X=, avec x choisi tel
que Xn¹1.
Pour tout k de :
Ainsi :
En égalant les parties réelles on en déduit aprÈs simplifications :
Il s’agit d’une généralisation de
l’exercice 16.
a) Dérivons formellement à l’ordre n
les deux membres de l’égalité de définition de f, . Pour n ³3, et d’aprÈs Leibniz, on
est conduit à :
. Pour X=0 cette
relation se résume à :
Ainsi, les termes satisfont bien
à la relation de récurrence :
n³ yn+yn-1+yn-2+yn-3=0. Pour
obtenir des termes initiaux y0,
y1, y2 égaux à 1, il suffit d’ajuster les
coefficients a, b, c de façon que f(0)=1 ;
f ’(0)=1 ; .
On trouve facilement, de proche en proche : c=1 ; b=2 ; a=3.
b) La décomposition de f est
évidente :
On en déduit :
Et donc
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