CATEGORII DOCUMENTE |
Astronomie | Biofizica | Biologie | Botanica | Carti | Chimie | Copii |
Educatie civica | Fabule ghicitori | Fizica | Gramatica | Joc | Literatura romana | Logica |
Matematica | Poezii | Psihologie psihiatrie | Sociologie |
APROXIMAREA FUNCTIILOR
1. INTRODUCERE
Prin
aproximarea unei functii , se intelege inlocuirea acesteia cu o
alta functie convenabila
. Aceasta operatie se
realizeaza atunci cand functia
este
greu de calculat (prin derivare sau integrare), iar functia
are o
expresie mai simpla, convenabila calculului numeric. Aproximarea
functiilor se face si atunci cand functia
este
obtinuta grafic sau din experimentari si se cere imaginea
analitica a acesteia.
La baza aproximarii functiilor stau mai multe principii, si anume:
- principiul interpolarii;
- principiul celor mai mici patrate (minipatrat Gauss);
- principiul maximelor minime (minimax Cebisev).
Fie , cu
, pentru care se cunosc valorile
in
nodurile
. Se cere determinarea unei functii
analitice
, destul de simpla, care sa
aproximeze functia
. Functia
fiind
imaginea analitica a functiei
, operatia de aproximare poarta
numele de interpolare si nu are
solutie unica deoarece prin (n+1)
puncte:
, se pot trasa o infinitate de curbe.
De
regula, pentru functia se
foloseste o combinatie liniara de functii simple,
adica un polinom de functii de forma:
(2.1)
Acest polinom de functii se particularizeaza in:
polinom de puteri:
(2.2)
polinom trigonometric:
(2.3)
polinom de exponentiale reale:
(2.4)
polinom de exponentiale complexe:
(2.5)
polinom de functii speciale: Legendre, Laguere, Hermite, Cebisev.
Pentru
o retea de noduri considerate distincte, presupunem cunoscute
valorile
. Avand in vedere ca functia este
data tabelar, nu putem determina valoarea functiei intr-un punct al
carui abscisa difera de nodurile considerate, decat daca
apelam la o formula de interpolare. Se va incepe studiul
aproximarii functiilor prin interpolare cu cea mai simpla
metoda, si anume: interpolarea liniara.
Din
setul de puncte date, consideram doar doua puncte, si anume: si
(fig. 2.1).
Fig. 2.1. Imaginea interpolarii liniare
Pentru a determina valoarea , intr-un punct
(
), vom considera ecuatia dreptei ce trece
prin cele doua puncte A si B, si anume:
(2.9)
Pentru
, rezulta:
Se
demonstreaza [11] ca eroarea de trunchiere in nodul considerat , folosind interpolarea liniara, este:
(2.10)
Deoarece, in general,
functiile de interpolat difera de o functie liniara, se
procedeaza la interpolarea polinomiala, cu gradul polinomului mai
mare sau egal cu doi. In cazul interpolarii patratice, se considera
trei puncte consecutive
si
(fig. 2.2) si se presupune ca prin
cele trei puncte trebuie sa treaca graficul unei functii de
forma:
. (2.11)
unde .
Fig. 2.2. Imaginea interpolarii patratice
Pentru determinarea
coeficientilor si
, se inlocuieste x, din relatia
(2.11), succesiv cu
si se obtin
ecuatiile:
(2.12)
(2.13)
(2.14)
Relatiile
(2.12), (2.13) si (2.14) formeaza un sistem de trei ecuatii
liniare in necunoscutele si
, sistem ce se poate rezolva analitic sau
numeric (de exemplu, prin metoda eliminarii gaussiene).
Fie o functie , pentru care se cunosc valorile
in nodurile
presupuse
echidistante, adica:
, h fiind pasul
retelei. Se pune problema determinarii unui polinom de grad mai mic
sau egal cu n, care sa
satisfaca conditiile de interpolare:
(2.15)
Pentru aproximarea functiei f, se va considera un polinom de forma:
(2.16)
Folosind conditiile de interpolare (2.15) si expresia (2.16), se obtine:
- pentru
- pentru
- pentru
.........................
- pentru
Nodurile fiind echidistante, se pot scrie relatiile:
(2.17)
(2.18)
(2.19)
.................
(2.20)
Din relatia (2.17) se
obtine coeficientul , si anume:
Inlocuind valoarea lui in relatia (2.18),
se obtine:
(2.21)
In mod analog se obtin si ceilalti coeficienti, si anume:
(2.22)
Prin inlocuirea valorilor coeficientilor din expresiile (2.17), (2.21) si (2.22), in relatia (2.16), se obtine:
(2.23)
Pentru intocmirea programului
de calcul se face o schimbare de notatie, si anume . In acest caz, polinomul (2.23) devine:
(2.23')
2.4.2. Polinom de interpolare Newton stanga
(cu diferente finite regresive)
Polinomul Newton de interpolare stanga are forma:
(2.25)
Pentru determinarea
coeficientilor se folosesc
conditiile de interpolare:
. (2.26)
Astfel:
- pentru
- pentru
- pentru
.........................
- pentru
(2.27)
Nodurile fiind echidistante, din relatiile (2.27) se obtin
coeficientii
, de forma:
(2.28)
Dupa inlocuiri in relatia (2.25), se obtine:
(2.29)
Fie , pentru care se cunosc valorile
in punctele
din intervalul
. Punctele sunt considerate echidistante, iar pasul
retelei este h. Pentru
aproximarea functiei f, se construieste un polinom de interpolare
pornind de la un punct
interior intervalului
, care conduce la o eroare minima de interpolare pentru
Polinomul Gauss de interpolare de prima speta este de forma:
(2.31) sau
(2.32)
Pentru determinarea constantelor se pun conditiile
de interpolare:
Astfel:
- pentru
- pentru
- pentru
- pentru
Folosind relatiile
anterioare, se obtin coeficientii , dupa cum urmeaza:
(2.33)
Dupa inlocuiri in relatia (2.32), se obtine:
(2.34)
Daca se face schimbarea
de variabila , rezulta:
(2.35)
Polinomul Gauss de interpolare de speta a doua este de forma:
(2.36)
Pentru determinarea constantelor , se pun conditiile de interpolare:
Astfel:
- pentru
- pentru
- pentru
- pentru
Folosind relatiile anterioare, se obtine:
Dupa inlocuiri in relatia (2.36), se obtine:
(2.37)
Daca se face schimbarea
de variabila , rezulta:
(2.38)
Fie , si
(n+1) puncte din intervalul
, pentru care se cunosc valorile
. Punctele sunt considerate echidistante, iar pasul
retelei este h. Pentru
aproximarea functiei f, se
construieste un polinom de interpolare de forma:
(2.39)
unde reprezinta
polinoame de gradul n.
Conditiile de interpolare sunt:
(2.40)
Pentru a obtine forma polinoamelor , se pun conditiile de interpolare (2.40), si
anume:
.........
Prin identificare, rezulta:
(2.41)
...........
Din relatiile (2.41), rezulta ca fiecare
dintre polinoamele are n zerouri distincte, ceea ce
inseamna ca un polinom oarecare,
, are forma:
(2.42)
Constantele se determina din
conditiile:
, si sunt de forma:
(2.43)
Daca se inlocuiesc relatiile (2.42) si (2.43) in relatia (2.39), se obtine polinomul Lagrange de interpolare, de forma:
(2.44)
Forma polinomului Lagrange se simplifica daca se face notatia:
(2.45)
Derivata functiei este:
(2.46)
Daca se inlocuieste cu
, se obtine:
(2.47)
astfel ca polinomul de interpolare Lagrange devine:
(2.48)
Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare |
Vizualizari: 3044
Importanta:
Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2025 . All rights reserved