IDENTIFICAREA SISTEMELOR FOLOSIND Metoda celor mai mici pAtrate. ALGORITMI DE CALCUL

1. OBIECTIVELE LUCRARII

Estimarea parametrilor unui model matematic folosind metoda celor mai mici patrate (MCMMP).

2. BREVIAR TEORETIC

In cadrul metodei celor mai mici patrate (MCMMP), sistemul se considera descris de urmatoarea ecuatie cu diferente 

A(q^-1)y(t)=B(q^-1)u(t)+e(t) (8.1)

unde :

u(t)=marimea de intrare ;

y(t)=marimea de iesire ;

e(t)=zgomot alb de medie zero si dispersie l

q^-1=operator de intarziere

Modelul se considera descris de o ecuatie cu diferente, care are aceeasi structura cu ecuatia (8.1)

A_T(q^-1)y(t)=B_T(q^-1)u(t)+e(t) (8.2)

unde :

e(t)=reziduul modelului ;

A_T(q^-1)=1+a_1Tq^-1+ a_2Tq^-2+....+ a_naTq^-na;

A_T(q^-1)=1+b_1Tq^-1+ b_2Tq^-2+....+ b_nbTq^-nb

Se fac urmatoarele notatii:

θ=[a_1T.. a_naT, b_1T... b_nbT]^T

φ(t)=[-y(t-1).... -y(t-na) u(t-1).... u(t-nb)]^T ; (8.3)

cu aceste notatii marimea de iesire data de model fiind

y_m(t)=φ^T(t)θ+ε(t). (8.4)

Avand    disponibila structura modelului (na,nb), se impune conditia ca media patratica a erorii de predictie sa fie minima. Estimatia celor mai mici patrate a lui θ, bazata pe n date de definitie, este

,

unde

Din conditia de mai sus rezulta

. (8.7)

Cu notatiile :

θ=[a_1T.. a_naT, b_1T... b_nbT]^T : parametrii modelului

φ(t)=[-y(t-1).... -y(t-na) u(t-1).... u(t-nb)]^T : vectorul care contine istoria procesului (intrarile si iesirile anterioare),

ecuatia (8.1) devine

y(t)=φ^T(t)θ+ε(t). (8.8)

Modelul va fi descris printr-o ecuatie de aceeasi forma

y_m(t)=φ^T(t)θ+ε(t). (8.9)

Estimarea parametrilor modelului (θ) presupune in primul rand stabilirea gradelor na si nb si apoi determinarea vectorului θ pe baza datelor experimetale de intrare-iesire.

De fapt, esenta metodei consta in a presupune faptul ca modelul este determinist

y_m(t)=φ^T(t)θ , (8.10)

situatie in care θ se calculeaza impunandu-se urmatoarea conditie

Expresia explicita a lui se obtine din conditia de anulare a gradientului functiei criteriu

, .

Daca se noteaza

, , (8.13)

atunci se obtine

(8.14) (8.15)

. (8.16)

Cu aceste notatii estimatorul se poate scrie sub forma

    (8.17)

Estimatorul dat prin relatia de mai sus reprezinta estimatorul celor mai mici patrate care s-a obtinut pe baza datelor de intrare si a celor de iesire .

Proprietatile estimatorului celor mai mici patrate

Estimatorul celor mai mici patrate este un predictor al marimii de iesire la momentul t dedus pe baza datelor de iesire pana la momentul (t-1) (predictor de pas).

y_m(t)=φ^T(t)θ,

φ(t)=[-y(t-1).... -y(t-na) u(t-1).... u(t-nb)]^T  (8.18)

deci    y_m(t)=y(t/t-1),

de unde rezulta ca y(t) este determinat pe baza datelor de intrare/iesire pana la momentul (t-1).

O alta proprietate a estimatorului celor mai mici patrate se refera la faptul ca eroarea de predictie este minima.

Aceasta afirmatie se justifica avand in vedere relatiile urmatoare 

(8.19)

(8.20)

3. MODUL DE LUCRU

Daca nu este creat, se creeaza directorul de lucru ;

Se activeaza platforma de lucru MATLAB ;

Se considera modelul descris de urmatoarea ecuatie cu diferente 

y(t)-1.5y(t-1)+0.7y(t-2)=u(t-1)+0.5u(t-2)+e(t)

Se va utiliza urmatoarea secventa de program :

a=[1 -1.5 0.7];

b=[0 1 0.5];

c=[1];

d=[1];

f=[1];

n1=200;

k=10;

ths=poly2th(a,b,c,d,f);

u=sign(randn(n1,1));

e=randn(n1,1)/k;

ys=idsim([u e],ths);

z=[ys u e]

idplot([ys u]);

unde k este factorul de ponderare al erorii, iar =[ys u e] reprezinta o matrice cu trei coloane ce contine iesirea (ys), intrarea (u) si perturbatia (e).

Dupa executia secventei de mai sus, intrarea si iesirea sistemului vor arata ca in figura 8.1., unde in graficul din partea superioara a fost reprezentata secventa datelor de iesire, iar in graficul din partea inferioara secventa datelor de intrare.

Figura 8.1. Reprezentarile grafice ale intrarii si iesirii sistemului descris de modelul din relatia 8.27.

Se elaboreaza programul care implementeaza etapa de estimare    si se verifica obtinerea modelului (considerand na=2 si nb=2) de forma

y(t)-1.496y(t-1)+0.703y(t-2)=0.997u(t-1)+0.523u(t-2)+e(t)

si a unei erori medii de 0.0183.

Se modifica structura propusa si se repeta operatia de estimare de parametri si de determinare a erorii medii patratice.

Se verifica faptul ca prin cresterea gradelor polinoamelor modelului, eroarea medie patratica nu scade considerabil.