MULTIMI, FUNCTII ELEMENTARE

MULTIMI, FUNCTII ELEMENTARE

I. TIPURI DE ECUATII

I.1 ECUATIA DE GR. I CU COEFICIENTI REALI SI O NECUNOSCUTA

Daca si admite solutie unica

Verificam

I.2 FUNCTIA DE GRAD I SAU FUNCTIA LINIARA

G_f este o dreapta.

deci

Monotonia: Daca

Semnul Functiei:

f(x) semn contrar lui a 0 semnul lui a

I.3 INECUATII DE GRADUL I

Forma:

Obs.: Se rezolva folosind metoda intervalului sau metoda semnului.

I.4 ECUATIA DE GRADUL II CU COEFICIENTI REALI

Forma generala: ax²+bx+c=0 unde si , iar x este necunoscuta.

Radacinile ecuatiei sunt date de formulele:

si unde ∆ = b²- 4ac

Daca si

Daca si

Daca si (complexe)

I.4.1 Discutia ecuatiei de grad II cu coeficienti reali

I.4.2 Formulele Vit. Calculul sumelor Sn

X²-SX+P=0

In particular:    

Dem:

I.4.3 Descompunerea ecuatiei de grad 2 dupa radacini reale

I.5 FUNCTIA DE GRAD II

Forma: , unde si

Notam

I.6 SEMNUL

f(x) semnul lui a semn contrar lui a semnul lui a

f(x) semnul lui a 0 semnul lui a

f(x) semnul lui a

In particular:

I.7 MAXIMUL SI MINIMUL FUNCTIEI DE GRAD II

I.8 GRAFICUL FUNCTIEI DE GRAD II ESTE O PARALELA

Se numeste parabola locul geometric al punctelor din plan egal departate de o dreapta fixa si de un punct fix.

Punctul fix se numeste focar, iar dreapta fixa se numeste directoare.

Tabel al variatiei (pentru a>0, analog pentru a<0)

f(x)    0 I_min. 0

f(x)    I_min.

f(x)    I_min.

I.9 INECUATII DE GRAD II

Pentru a rezolva inecuatia de forma: vom tine seama de semnul functiei cand x parcurge R.

I.10 POZITIA RADACINILOR REALE ALE UNEI ECUATII DE GRAD II FATA DE UN NUMAR REAL Α

Fie ecuatia

I)

Metoda algebrica:

Metoda analitica:

II.

Metoda algebrica:

III.

I.11 POZITIA RADACINILOR REALE ALE UNEI ECUATII DE GRAD II FATA DE DOUA NUMERE REALE DATE

Fie ecuatia:

Metoda analitica:

.

.

.

I.12 CONDITIA CA DOUA ECUATII SA ADMITA RADACINI COMUNE

I.12.1. Conditia ca doua ecuatii sa admita o radacina comune

Fie cele doua ecuatii:

Fie radacina comuna a celor doua ecuatii, atunci:

1.122. Conditia ca doua ecuatii sa admita doua radacini comune

Fie cele doua ecuatii:

Conditia ca cele doua ecuatii sa admita doua radacini comune:

II. MODULUL NUMARULUI REAL - DEFINITIE

II.1 MODULUL NUMARULUI REAL - PROPRIETATI

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10. Generalizare:

11. Inecuatii de forma:

12. Pentru rezolvarea ecuatiei si inecuatiei, tinem seama de semnul expresiilor (functiilor) de grad I,II etc.

13.Pentru rezolvarea sistemelor de inecuatii, rezolvam fiecare inecuatie si intersectam cazurile

II.2 PARTEA INTREAGA A UNUI NUMAR REAL

Def.1:   

Def.2:   

Def.3:   

Def.4:   

sau

III ECUATII

1) Elementare:   

2) Compuse:   

3) Generalizate:   

IV. PUTERI NATURALE

Fie . Prin definitie:

Proprietati:

01.)

02.)

03.)

04.)

05.)

06.)

07.)

08.)

09.)

10.)

IV.1 PUTERI INTREGI

Proprietati:

01)

02)

03)

04)

05)

06)

07)

08)

IV.2 PUTERI RATIONALE

Prin definitie:

Proprietati:

01)

02)

03)

04)

05)

IV.3 PUTERI REALE

Pentru puteri reale avem

Puterile reale au aceleasi proprietati ca si puterile rationale.

V. RADICALI

Radicalul unui numar pozitiv

Teorema: Ecuatia are o radacina reala pozitiva si numai una.

Radicalul (de ordin impar) al unui numar negativ

Teorema: Fiind data ecuatia avem:

a)      Daca , ecuatia nu are radacini reale

b)      Daca , ecuatia are o radacina reala negativa si numai una

Proprietati:

01)

02)

03)

04)

05)

06)

07)

08)

09)

10)

11)

Observatii:

01)

02)

03)

VI.1 ECUATII IRATIONALE

Algoritm elementar:

Pas 1 - Daca ecuatia este formata din radicali de ordin par atunci conditia de existenta este: val.

Daca ecuatia este formata din radicali de ordin impar atunci conditia de existenta este: valoarea reala

Daca ecuatia este formata din radicali de ordin par si de ordin impar conditiile sunt: valoarea si valoarea este reala

Pas 2 - Verificam pozitivitatea termenilor in cazul radicalilor de ordin par si ridicam la puterea ordinului sau notam, impartim etc.

Pentru ordin impar, notam si formam sistem.

Pentru ordin impar si par, notam ordinul superior cu o variabila si obtinem o ecuatie de ordin inferior

Pas 3 - Repetam rationamentul si calculul, a.i. sa obtinem ec.alg., care se rezolva folosind metodele specifice

Obs.:

Pentru rezolvarea ecuatiilor irationale cu parametru vom tine seama de algoritmul elementar si de ordinea numerelor pe axa reala

VI.2 INECUATII IRATIONALE ELEMENTARE

I.

II.

III.

IV.

! Obs.:

Pentru inecuatii folosim metodele de la punctul 4.8