Scrigroup - Documente si articole

Username / Parola inexistente      

Home Documente Upload Resurse Alte limbi doc  


AstronomieBiofizicaBiologieBotanicaCartiChimieCopii
Educatie civicaFabule ghicitoriFizicaGramaticaJocLiteratura romanaLogica
MatematicaPoeziiPsihologie psihiatrieSociologie


Probleme propuse pentru Concursul de matematica “Adolf Haimovici”

Matematica

+ Font mai mare | - Font mai mic



DOCUMENTE SIMILARE

Trimite pe Messenger
Forma generala a problemei de programare liniara
Principiul Inductiei Matematice
INTERPOLAREA POLINOMIALA LAGRANGE
Sisteme de inecuatii liniare
Extremele functiilor de mai multe variabile
Erori de masurare: clasificare; tipuri; conditii de indeplinire
INVERSABILITATE - FUNCTIA INVERSA
FUNCTII PARTICULARE
Functii reale, de una sau mai multe variabile
Analiza seriilor statistice interdependente


Probleme propuse pentru Concursul de matematica “Adolf Haimovici”

Probleme propuse pentru clasa a IX-a




1. Fie functia care satisface conditiile:

a) ,

b) ,

c) pentru orice , fiind o constanta reala.

Se cere:

1) Sa se afle valoarea lui ;

2) Sa se determine si ;

3) Sa se gaseasca expresia functiei ;

4) Sa se calculeze;

5) Sa se rezolve ecuatia .

Rezolvare. 1) Pentru si din relatia de la c) obtinem , de unde rezulta .

2) Pentru si , din relatia de la c) obtinem , de unde iar pentru , , , de unde .

3) Pentru si din relatia de la c) obtinem . Inlocuind pe cu gasim pentru orice.

4) .

5) Ecuatia a carei rezolvare se cere este

care are solutiile si .

2. In planul paralelogramului se considera simetricul lui fata de si un punct pe segmentul astfel incat . Fie simetricul lui fata de , simetricul lui fata de si simetricul lui fata de .

a) Sa se gaseasca descompunerile vectorilor si dupa directiile vectorilor .

b) Sa se arate ca patrulaterul este trapez si sa se afle raportul bazelor.

c) Sa se arate ca punctele sunt coliniare.


Rezolvare. a) Vectorii si se pot exprima dupa cum urmeaza.

,

,

,

b) Din relatiile (1), (2) avem , ceea ce inseamna ca vectorii si sunt coliniari. Rezulta ca patrulaterul este trapez si raportul bazelor este .

c) Exprimam vectorii si in functie de :

,

.

Se vede ca vectorii si sunt coliniari si in consecinta punctele sunt coliniare.

Probleme propuse pentru clasa a X-a:

1. Fie functia care satisface conditiile:

a) ,

b) ,

c) pentru orice , fiind o constanta reala.

Se cere:

1) Sa se afle valoarea lui ;

2) Sa se determine si ;

3) Sa se gaseasca expresia functiei ;

4) Sa se arate ca pentru orice ;

5) Sa se rezolve ecuatia .

Rezolvare. Relatia de la c) se mai poate scrie

(1)

1) Pentru din relatia (1) obtinem , de unde rezulta .

2) Pentru si , din relatia (1) obtinem , iar pentru , , , de unde .

3) Pentru si din relatia (1) obtinem . Inlocuind pe cu gasim pentru orice.



4) .

5) Ecuatia se scrie succesiv

care are solutiile si .

2. Stiind ca se cer:

a) Sa se arate ca , unde ;

b) Sa se arate ca pentru orice ;

c) Sa se stabileasca semnele numerelor si ;

d) Sa se compare numerele si ;

e) Sa se arate ca .

Rezolvare: a) Avem

de unde rezulta relatia de la a).

b) Reprezentand unghiul cu masura pe cercul trigonometric, aria tringhiului AOM este egala cu iar a sectorului de cerc AOM este egala cu .

Rezulta .

c) Utilizand rezultatul de la a) avem

d) Folosim urmatoarele inegalitati

sin(cos x) < cos(sin x) pentru orice x,

(2) sin(sin x) < cos(cos x) pentru orice x,

care se obtin pe baza monotoniei functiilor si si a inegalitatii de la b)

dupa cum urmeaza :

sin(cos x) < cos x < cos(sin x),

sin(sin x) = sin(cos(- x)) < cos(sin(- x)) = cos(cos x).

Atunci

.

e) Pe baza inegalitatilor (1), (2) obtinem

.

Probleme propuse pentru clasa a XI-a

1. Fie functia care satisface conditiile:

a) ,

b) ,

c) pentru orice , fiind o constanta reala.

Se cere:

1) Sa se afle valoarea lui ;

2) Sa se determine ;

3) Sa se calculeze ;

4) Sa se gaseasca expresia functiei .

Rezolvare. 1) Pentru din relatia de la c) obtinem , de unde rezulta .

2) Pentru si din relatia de la c) obtinem , de unde .

3)

.

4) Pentru si din relatia de la c) obtinem , adica . Inlocuind pe cu gasim pentru orice .

2. Fie M =.

a) Cate elemente are multimea M ?

b) Cate matrice din multimea M sunt inversabile?

c) Daca M este o matrice inversabila sa se determine inversa ei..

d) Care este matricea din multimea M al carei determinant are valoarea cea mai mare?

e) Care este matricea din multimea M al carei determinant are valoarea cea mai mica?

Rezolvare: a) Fiecare dintre parametrii poate lua 2 valori si astfel multimea M are 8 elemente.

b) Daca M , atunci

.

Cum pentru si avem rezulta ca multimea M are 4 matrice inversabile.

c) Daca M este o matrice inversabila, avem ,

, .

d) Cea mai mare valoare a lui se obtine pentru

.

e) Cea mai mica valoare a lui se obtine pentru

.

Probleme propuse pentru clasa a XII-a:



1. Pe multimea se considera legea de compozitie “ definita prin relatia , unde semnifica partea intreaga.

a) Sa se arate ca

pentru orice .

b) Sa se intocmeasca tabla legii de compozitie “ “ pe multimea .

c) Sa se stabileasca daca legea de compozitie “ “ admite element neutru pe multimea .

d) Sa se stabileasca daca legea de compozitie “ “ este comutativa.

e) Sa se arate ca legea de compozitie “ “ nu este asociativa.

f) Sa se rezolve in multimea ecuatia .

Rezolvare: a) Daca si au aceiasi paritate atunci este numar par si . Prin calcul gasim Daca si au paritati diferite atunci este numar impar si . Prin calcul gasim

b) Tabla legii de compozitie este

*

0

1

2

3

0

0

1

1

2

1

1

1

2

2

2

1

2

2

3

3

2

2

3

3

c) Din tabla legii de compozitie se vede ca aceasta nu admite element neutru.

d) Tabla legii de compozitie este simetrica fata de diagonala principala ceea ce inseamna ca legea ” * ” este comutativa.

c) Pentru elementele avem

si

ceea ce arata ca legea ” * ” este nu este asociativa.

d) Din tabla legii de compozitie se vede ca ecuatia are solutiile .

2. Se considera functia continua si fie

o primitiva a lui . Definim functia

a) Sa se arate ca functia este contina pe .

b) Sa se arate ca functia este derivabila pe .

c) Sa se arate ca este o primitiva a functiei

Rezolvare: a) Functia fiind o primitiva a lui este contina pe . In baza operatiilor cu functii continue rezulta ca este contina pe . In 0 avem ceea ce inseamna ca este contina in 0. In consecinta este contina pe .

b) Functia fiind o primitiva a lui este derivabila pe . Mai departe, pentru avem

iar

.

In consecinta este derivabila pe .

c) De la b) se vede ca ceea ce inseamna ca este o primitiva a functiei .

3. Fie functia care satisface conditiile:

a) ,

b) ,

c) pentru orice , fiind o constanta reala.

Se cere:

1) Sa se afle valoarea lui ;

2) Sa se determine si ;

3) Sa se gaseasca pentru orice ;

4) Sa se gaseasca expresia functiei .

Rezolvare. 1) Pentru din relatia de la c) obtinem , de unde rezulta .

2) Pentru si din relatia de la c) obtinem , de unde

Din definitia derivatei intr-un punct avem

3) Intr-un punct oarecare avem

si deci pentru orice .

4) Functia este primitive lui care in 1 ia valoarea . Se obtine pentru orice .






Politica de confidentialitate



DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 1260
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2022 . All rights reserved

Distribuie URL

Adauga cod HTML in site