Scrigroup - Documente si articole

Username / Parola inexistente      

Home Documente Upload Resurse Alte limbi doc  

AstronomieBiofizicaBiologieBotanicaCartiChimieCopii
Educatie civicaFabule ghicitoriFizicaGramaticaJocLiteratura romanaLogica
MatematicaPoeziiPsihologie psihiatrieSociologie


Variabile aleatoare - Probabilitati

Matematica

+ Font mai mare | - Font mai mic




DOCUMENTE SIMILARE

Trimite pe Messenger
Serii de timp cu trei componente: trend, sezonalitate si variabila reziduala
Simulare teza cu subiect unic la matematica - Clasa a VII
Rangul unei matrice - Matrice inversabile
Exercitii si probleme propuse - Probabilitati
LINII IMPORTANTE IN TRIUNGHI
FUNCTII PARTICULARE
Exercitii matematica
CHESTIONAR DE CONCURS - Proba: ,,Matematica”
FUNCTIILE TRIGONOMETRICE DIRECTE
Elemente de rationament analitic




Variabile aleatoare

Pana acum, in studiul campului de evenimente atasat unui experiment, ne-am ocupat in special, de aparitia sau neaparitia evenimentelor, asadar de latura calitativa a experimentului.




Pentru studiul matematic al fenomenelor aleatoare, este necesar ca descrierea acestora sa aiba expresii cantitative, care sa poata fi tratate din punct de vedere matematic. Aceasta expresie cantitativa a fenomenului aleator este data de variabila aleatoare.

Definitia 3.1. Fie campul de probabilitate . Numim variabla aleatoare de tip discret o aplicatie , care satisface urmatoarele conditii:

Observatia 3.2 Daca avem ca , atunci conditia (ii) este automat indeplinita.

Observatia 3.3 Se poate arata ca:

  1. daca R, atunci aplicatia , definita prin , pentru orice , este variabila aleatoare de tip discret,
  2. daca functia g:RnR este continua si sunt variabile alatoare de tip discret, atunci Y =g()este variabila aleatoare de tip discret.
  3. daca , atunci aplicatia , definita prin

este variabila aleatoare de tip discret si poarta numele de indicatoarea evenimentului A.

Observatia 3.4 Daca o variabila aleatoare de tip discret ia un numar finit de valori, vom spune ca este o variabila aleatoare simpla.

Definitia 3.5. Numim distributia sau repartitia variabilei aleatoare X de tip discret, tabloul

unde xiR, , sunt valori pe care le ia vriabila aleatoare X, iar pi este probabilitatea cu care variabila aleatoare X ia valoarea xi, adica pentru fiecare .

Observatia 3.6 Deoarece evenimentele , , formeaza un sistem complet de evenimente, avem ca .

Observatia 3.7 In teoria probabilitatilor si in aplicatiile acesteia, se intalnesc clase de variabile aleatoare de tip discret. Forma cea mai generala a unei variabile aleatoare apartinand unei clase se numeste lege de probabilitate de tip discret.

Definitia 3.8 Spunem ca variabila aleatoare X de tip discret urmeaza legea binomiala, daca are distributia

, unde , iar .

Observatia 3.9 Probabilitatile , ce intervin in distributia lui X, sunt cele de la schema lui Berboulli cu bila intoarsa (binomiala).

Definitia 3.10. Spunem ca variabila alatoare X de tip discret urmeaza legea hipergeometrica, daca are distributia

, unde , iar .

Observatia 3.11. Probabilitatile , din distributia lui X, sunt cele de la schema lui Bernoulli cu bila neintoarsa.

Observatia 3.12 Daca se noteaza si , iar , atunci , adica se obtine distributia binomiala.

Definitia 3.13. Spunem ca variabila aleatoare X de tip discret urmeaza legea lui Poisson, daca are distributia

, unde iar

Teorema 3.14.(Poisson). Daca variabila aleatoare X urmeaza legea binomiala, adica are distributia

, unde ,

si daca , astfel incat , atunci pentru urmeaza legea lui Poisson, adica

Demonstratie. Scriem succesiv, avand in veder ca si , urmatoarele relatii
.

Daca retinem extremitatile acestui sir de egalitati, se obtine afirmatia din teorema.

Observatia 3.15 Deoarece , rezulta ca pentru n mare, probabilitatea pn este mica. Prin urmare, probabilitatea de aparitie a evenimentului, caruia i se ataseaza, fiind mica, legea lui Poisson se mai numeste si legea evenimentelor rare.

Defintia 3.16 Spunem ca variabla aleatoare X de tip discret urmeaza legea lui Pascal, daca are distributia

cu

iar si q=1- p.

Observatia 3.17 Probabilitatile din distributia lui X sunt cele de la schema lui Pascal.

Observatia 3.18. In cazul particular n = 1, vom spune ca variabila aleatoare X urmeaza legea geometrica.

Definitia 3.19 Fie campul de probabilitate . Spunem ca este vector aleator bidimansional de tip discret, daca aplicatia R2, satisface conditiile

(i)         are o multime cel mult numarabila de valori,

(ii)       pentru orice R2, avem ca

Definitia 3.20 Numim distributia sau repartitia vectorului aleator de tip discret, tabloul bidimensional

unde sunt valorile pe care le ia vectorul aleator , iar pij sunt probabilitatile cu care sunt luate aceste valori, adica putem scrie .

Definitia 3.21 Spunem ca variabilele aleatoare X si Y care au respectiv distributiile

si

sunt independente, daca pentru orice adica

Definitia 3.22 Fie variabilele aleatoare X si Y care au respectiv distributiile

si

atunci variabilele aleatoare suma, X+Y, produs XY, si respectiv cat, (daca ), vor avea distributiile

,

unde

Observatia 3.23. Daca variabilele aleatoare X si Y sunt independente, atunci pentru orice .

Observatia 3.24. Urmatoarele relatii au loc

respectiv

Exemplul 3.25 Doua masini produc piese de acelasi tip, iar probabilitatea ca o piesa produsa de fiecare din cele doua masini sa fie defecta este , iar probabilitatea ca sa nu fie defecta este . Daca prima masina a produs m piese, iar a doua masina a produs n piese, fie X numarul pieselor defecte produse de prima masina si respectiv Y numarul pieselor defecte produse de a doua masina. Variabilele aleatoare X si Y sunt independente si urmeaza fiecare legea binomiala, respectiv cu distributiile

Numarul total al pieselor defecte produse de cele doua masini va fi dat prin variabila aleatoare suma, X+Y, care are distributia

Avand in vedere ca variabilele aleatoare X si Y sunt independente, probabilitatile din distributia variabilei aleatoare X+Y se calculeaza dupa cum urmeaza

Se stie ca prin urmare pentru fiecare S-a obtinut astfel ca numarul pieselor defecte produse de cele doua masini impreuna este o variabila aleatoare ce urmeaza tot legea binomiala.

Definitia 3.26 Fie campul de probabilitate Numim variabila aleatoare, aplicatia R, daca satisface conditia ca pentru orice R avem

Definitia 3.27. Fie campul de probabilitate Spunem ca este vector aleator bidimensional, daca este o aplicatie R2, care satisface conditia ca orice     R2 sa avem

Observatia 3.28 Daca X si Y sunt variabile aleatoare, atunci si sunt variabile aleatoare.

Definitia 3.29. Numim functie de repartitie atasata variabilei aleatoare X, functia

definita prin pentru orice

Observatia 3.30. Daca variabila aleatoare X este de tp discret, deci are distributia atunci functia de repartitie este data prin formula

Aici notatia prescurtata a sumei indica faptul ca pentru un dat, se aduna toate probabilitatile ce corespund valorilor lui X, care verifica conditia



Proprietatea 3.31 Fie X o variabila aleatoare si F functia de repartitie corespunzatoare, atunci urmatoarele afirmatii sunt adevarate:

(1) pentru orice , avem ca

(2) pentru orice a, bR, a<b, avem ca

(3) pentru orice

(functia F este descrescatoare),

(4)

(5) pentru orice , avem ca

(functia F este continua la stanga).

Demonstratie. (1) Deoarece valorile functiei de repartitie sunt niste probabilitati, avem aceasta afirmatie, deci

(2) Se scrie succesiv

Deoarece avem in continuare ca

Pentru a doua relatie se are in vedre ca

deci

In mod analog, se arata si celelalte doua relatii de la acest punct.

(3) Folosind prima formula de la punctul precedent, avem relatiile

de unde

(4) Formal avem ca respectiv

(5) Un ratioanament analog cu cel de la punctul precedent ne conduce la faptul ca functia F este continua la stanga.

Observatia 3.32 Functia de repartitie F a unei variabile aleatoare X de tip discret, care are distributia este, conform Observatiei 3.30., o functie in scara, avand punctele puncte de discontinuitate, iar marimile salturilor in aceste puncte de discontinuitate sunt respectiv probabilitatile

Exemplul 3.33 Variabila aleatoare X cu distributia urmatoare are functia de repartitie

care are graficul in fig. 3.1.

Definitia 3.34. Numim functie de repartitie atasata vectorului aleator bidimensional functia

0 1 2 3 x

 

fig.3.1.

Observatia 3.35 Proprietatile de la functia de repartitie pentru o variabila aleatoare le regasim si la functia de repartitie a unui vector aleator bidimansional, anume

(1) pentru orice R2, avem ca

(2) pentru orice a < b, avem ca

(3) functia este nedescrescatoare in raport cu fiecare argumant,

(4)

(5) functia este continua la stanga in raport cu fiecare argumant.

Observatia 3.36. Daca vactorul aleator bidimensional are functia de repartitie F, iar variabilele aleatoare componente X si Y au respectiv functiile de repartitie si , atunci avem ca

Definitia 3.37. Fie variabila aleatoare X avand functia de repartitie F. Vom spune ca X este variabila aleatoare de tip continuu, daca functia de repartitie F se poate reprezenta sub forma

functia numindu-se densitate de probabilitate a variabilei aleatoare X.

Propozitia 3.38 Fie variabila aleatoare X de tip continuu, avand functia de repartitie F si densitatea de probabilitate , atunci sunt adevarate urmatoarele afirmatii:

(1) pentru orice avem ca

(2)

(3) pentru a < b, avem ca

(4)

Cele patru proprietati rezulta imediat din Propozitia 3.31.

Observatia 3.39. Daca variabila aleatoare X este de tip continuu, atunci pentru orice . Prin urmare, in acest caz avem ca

Observatia 3.40. Daca variabila aleatoare X de tip continuu are functia de repartitie F si densitatea de probabilitate, atunci se poate scrie succesiv

Asadar, cand     este mic, avem ca

Definitia 3.41 Fie vectorul aleator avand functia de repartitie F. Spunem ca U este vector aleator de tip continuu, daca functia de repartitie F se poate reprezenta sub forma

functia numindu-se densitate de probabilitate a vectorului aleator U.

Observatia 3.42. Daca vectorul aleator este de tip continuu, avand functia de repartitie F si densitatea de probabilitate, iar variabilele aleatoare componente X si Y au respectiv densitatile de probabiliate si , atunci

(1) pentru orice avem ca

(2)

(3) pentru orice avem

(4)

(5) si

Observatia 3.43 Ca si la variabilele aleatoare de tip discret si la cele de tip continuu exista clase de variabile aleatoare. Forma cea mai generala a densitatii de probabilitate a unei variabile aleatoare din clasa respectiva, ne da o lege de probabilitate de tip continuu.

Definitia 3.44. spunem ca variabila aleatoare X urmeaza legea uniforma pe intervalul [a,b], daca are densitatea de probabilitate

Observatia 3.45. Functia de repartitie pentru variabila aleatoare X, ce urmeaza legea uniforma pe intervalul [a,b] este

Definitia 3.46 Spunem ca vectorul aleator urmeaza legea uniforma pe domeniul daca are densitatea de probabilitate

Observatia 3.47. Daca atunci

De asemena, in acest caz, folosind Observatia 3.42, punctul (5), avem ca

adica variabila aleatoare X urmeaza legea uniforma pe intervalul . In mod anolog, se arata ca variabila aleatoare Y urmeaza legea uniforma pe intervalul

Definitia 3.48. Spunem ca variabila aleatoare X urmeaza legea normala (legea lui Gauss) de parametrii si notam aceasta prin daca are densitatea de probabilitate



Observatia 3.49 Reprezentarea grafica a densitatii de probabilitate , este data in fig. 3.2. Curba ce reprezinta graficul lui poarta denumirea de curba lui Gauss si care modeleaza foarte multe din fenomenele aleatoare.

fig.3.2.

Observatia 3.50. Daca variabila aleatoare X urmeaza legea normala atunci functia de repartitie F este data prin

si are graficul dat in fig.3.3.

fig.3.3.

Observatia 3.51 Daca variabila aleatoare X urmeaza legea normala atunci spunem ca urmeaza legea normala redusa.

Observatia 3.52 Pentru calculul valorilor functiei de repartitie se foloseste formula unde functia se numeste functia lui Laplace si este definita prin

Intr-adevar, daca se face schimbarea de variabila se poate scrie succesiv

Observatia 3.53. Functia lui Laplace este tabelata in Anexa I, pentru argumente pozitive. Daca x < 0, atunci

Definitia 3.54. Spunem ca variabila aleatoare X urmeaza legea exponentiala de parametru daca are densitatea de probabilitate

Definitia 3.55. Variabila aleatoare X urmeaza legea gamma, daca are densitatea de probabilitate

cu parametrii a, b >0, iar este functia lui Euler de speta a doua, adica

Observatia 3.56. In cazul particular se obtine legea exponentiala.

Definitia 3.57. Variabila aleatoare X urmeaza legea (hi - patrat), daca are densitataea de probabilitate

unde parametrul iar , si poarta numele de numarul gradelor de libertate.

Observatia 3.58. Legea denumita si legea Herbert – Pearson, este un caz particular al legii gamma, anume, pentru si

Definitia 3.59. Variabila aleatoare X urmeaza legea Student (Gosset) cu n grade de libertate, daca are densitatea de probabilitate

Observatia 3.60. In cazul particular se obtine legea lui Cauchy, care are densitatea de probabilitate

Definitia 3.61. Variabila aleatoare X urmeaza legea beta, daca are densitatea de probabilitate

cu parametrii unde este functia lui Euler de speta intai, adica

Definitia 3.62. Spunem ca variabilele aleatoare X si Y sunt independente, daca

unde functia F este functia de repartitie a vectorului aleator, iar si respectiv sunt functile de repartitie ale variabileleo aleatoare componente X si Y.

Observatia 3.63 Definitia 3.62. pentru cazul discret este echivalenta cu Definitia 3.21.

Proprietatea 3.64 Fie variabilele aleatoare X si Y de tip continuu, atunci X si Y sunt independente daca si numai daca are loc

unde este densitatea de probabilitate a vectorului aleator , iar si sunt respectiv densitatile de probabilitate ale variabilelor aleatoare X si Y.

Demonstratie. Daca variabilele aleatoare X si Y sunt independente, conform Definitiei 3.62., avem ca Daca derivam aceasta relatie in raport cu x si respectiv y, rezulta ca

deci

Afirmatia inversa rezulta din scrierea succesiva

deci

Propozitia 3.65. Daca vectorul aleator are densitatea de probabilitate , atunci densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare este data prin

Demonstratie. Scriem functia de repartitie a variabilei aleatoare Z, anume

Domeniul de integrare pe care se ia inegral dubla este cel hasurat in fig.3.5.

fig.3.5.

Astfel avem care prin derivare conduce la

Prin urmare avem ca

Observatia 3.66. Daca variabilele aleatoare X si Y sunt independentes, atunci prin urmare

Observatia 3.67. Analog se arata ca daca si iar este densitatea de probabilitate a vectorului aleator , atunci

respectiv

Proprietatea 3.68 Fie variabila aleatoare X cu densitatea de probabilitate si functia strict monotona, atunci variabila aleatoare are densitatea de probabilitate data prin

Demonstratie. Daca functia g este strict crescatoare, avem ca

adica Prin derivare rezulta

Deoarece functia este crescatoare, avem deci

Analog se procedeaza si cand functia este strict descrescatoare.

Aplicatia 3.69 Daca avem ca este stict monotona si are inversa De asemenea, avem ca Folosind formula de la proprietatea precedenta se obtine ca








Politica de confidentialitate

DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 1143
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2020 . All rights reserved

Distribuie URL

Adauga cod HTML in site