Champ électrique d'un anneau électriquement chargé

Champ électrique d'un anneau électriquement chargé

Soit un anneau circulaire de rayon R, électrisé avec la charge q, uniformément repartie. Dans cette situation, la distribution de charge est décrite par une grandeur constante, la densité linéaire de charge

Soit un systÈme de coordonnées à l'origine placée dans le centre de l'anneau et un point situé sur l'axe Oz. Nous allons essayer de déterminer la valeur de l'intensité du champ électrique dans ce point.

Dans ce but:

O       on divise l'anneau dans un trÈs grand nombre de petits tronçons

O       on calcule la charge d'un tel tronçon

dq = ldl = lRdj

O       on calcule l'intensité du champ électrique engendré par un tel tronçon dans le point choisi sur l'axe Oz

O       on calcule les projections du vecteur dE selon l'axe Oz (dE_z) et dans le plan perpendiculaire (dE

O       on fait la somme des toutes les contributions individuelles dans le point situé sur l'axe Oz

O       on observe qu'en raison de l'arrangement symétrique des tronçons, les composantes dE s'annuleront deux par deux (un tel couple étant formé par les tronçons diamétralement opposés)

O       les composantes dE_z sont sommées comme il suit

O       puisque l, R, h, r et e sont des constantes, le résultat de l'intégration sera

O       la relation vectorielle correspondante est

Ce champ électrique possÈde les caractéristiques suivantes:

O       il est perpendiculaire sur le plan de l'anneau

O       il s'annule dans le centre de l'anneau: E(0) = 0

O       à trÈs grande distance du centre de l'anneau, il est négligeable: h ¥ Þ E

O       sa valeur maximum s'obtient avec la condition

Il résulte

O       si on met l'expression de l'intensité sous la forme

on observe que si R²/h² << 1 l'approximation correspondante est

On tire la conclusion que si la distance d'observation h est plusieurs fois plus grande que le rayon de l'anneau, alors celui-ci a le comportement d'une charge ponctuelle.