Champ électrique d'une sphÈre électrisée

Champ électrique d'une sphÈre électrisée

Soit une sphÈre de rayon R, électriquement chargée. La distribution de charge est caractérisée par la densité volumique de charge

On va établir l'expression de l'intensité du champ électrique en fonction de la distance r jusqu'au centre de la sphÈre, tant dans les points intérieurs de la sphÈre qu'à l'extérieur.

En raison de la symétrie de la distribution de charge on remarque que:

O       les lignes de champ sont radiales

O       la grandeur de l'intensité dépend seulement de la distance jusqu'au centre de la sphÈre, et ne dépend pas de son orientation

E(r) = E(r)

En prenant une surface sphérique S_int, de rayon r < R, concentrique avec la sphÈre chargée, on peut calculer le flux de l'intensité du champ électrique ainsi

La charge électrique contenue à l'intérieur de la surface S_int est

Selon le théorÈme de Gauss, il résulte

ou

c'est-à-dire dans la sphÈre uniformément électrisée, l'intensité du champ électrique augmente proportionnellement à la distance jusqu'au centre de la sphÈre, étant nulle au centre et maximum sur sa surface.

Si on prend cette fois-ci une surface sphérique S_ext, de rayon r > R, aussi concentrique avec la sphÈre électrisée, on obtient

Il faut observer que q_ext = q, parce que l'entiÈre charge électrique est contenue à l'intérieur de la sphÈre S_ext. D'aprÈs le théorÈme de Gauss

ou

le rapport r/R

donc le champ électrique engendré par une sphÈre uniformément électrisée dans l'espace environnant ne peut pas Être distingué du champ électrique d'une charge ponctuelle, placée dans le centre de la sphÈre et chargée avec la mÊme quantité d'électricité que celle-ci.

La représentation graphique de l'intensité du champ électrique en fonction de la distance jusqu'à son centre, montre que la valeur du champ est maximum dans le proche voisinage de la surface de la sphÈre.

L'expression vectorielle de l'intensité du champ est