DIVERGENCE ET FLUX D'INDUCTION MAGNETIQUE, POTENTIEL VECTEUR

Divergence et flux d'induction magnétique, potentiel vecteur

Considérons le champ magnétique engendré dans un point M, ayant le rayon vecteur r₀, par un courant électrique stationnaire. Calculons la divergence de l'induction magnétique dans ce point

Selon la loi de Biot-Savart-Laplace, on obtient

ou

Le calcul se déroule ainsi

On peut montrer analogiquement que les deux autres composantes du roteur sont nulles, résultant en définitive

c'est-à-dire la divergence de l'induction magnétique des courants électriques stationnaires est nulle dans tout  point de l'espace.

L'intégration de cette relation sur un volume délimité par une surface fermée donne

Tenant compte du théorÈme flux-divergence, il résulte

c'est-à-dire le flux d'induction magnétique engendré par les courants stationnaires à travers n'importe quelle surface fermée est nul.

Cette propriété est la conséquence directe du fait que les lignes de champ magnétiques sont des courbes fermées, ainsi que le nombre de leurs intersections avec la surface fermée est toujours paire ou nul.

Du point de vue des mathématiques, on pourrait justifier la valeur nulle de la divergence par cela qu'elle représente le roteur d'une autre grandeur physique, nommée potentiel vecteur. En vérité

Donc on peut écrire

B Ñ A

Dans ces conditions, l'autre loi fondamentale du magnétisme, la loi d'AmpÈre, devient

ou

On peut conclure que, dans la mÊme maniÈre qu'en électrostatique, les lois fondamentales du champ magnétique des courants stationnaires peuvent Être réunies dans une seule équation à dérivées partielles de deuxiÈme ordre.

Le champ magnétique, étant décrit par le potentiel vecteur A, possÈde du caractÈre rotationnel, à l'encontre du champ électrostatique, qui, étant décrit par un potentiel scalaire, a du caractÈre potentiel.