EQUATION DE CONTINUITE

Equation de continuité

On va discuter le courant électrique de conduction, à l’intérieur d’un conducteur métallique.

La structure du conducteur métallique consiste des ions positifs, en vibration autour des noeuds du réseau cristallin, et par des électrons de conduction, libres à l’intérieur du réseau.

Le mouvement des électrons libres est un mouvement d’agitation thermique, complÈtement chaotique. On va noter la vitesse d’un électron participant à l’agitation thermique par v_t.

Si à l’intérieur du conducteur il y a aussi du champ électrique, alors les électrons de conduction sont soumis à l’action des forces électriques, qui déterminent un mouvement dirigé, caractérisé par la vitesse v_ord, qui se superpose sur le mouvement chaotique

v = v_t + v_ord

Du point macroscopique de vue, le mouvement des charges libres est aperçu comme la moyenne des mouvements individuels

Vu que la vitesse thermique moyenne est nulle, il résulte

Donc la vitesse moyenne du mouvement des électrons est le résultat de leur mouvement dirigé et s’appelle vitesse de drift ou vitesse d'entrainement

ayant la signification d’une vitesse constante, qui caractérise l’ensemble de porteurs microscopiques de charge.

La présence des charges électriques libres à l’intérieur du conducteur est mesurée par une grandeur physique scalaire, nommée la densité volumique de charge de conduction

définie comme la quantité de charge électrique de conduction du volume unitaire.

La densité de charge de conduction n’est pas la mÊme chose que la densité totale de charge (qui, en général, est nulle, parce que les conducteurs sont électriquement neutres).

Le mouvement dirigé des charges électriques se caractérise par une grandeur vectorielle, nommée la densité de courant, notée par j et définie comme la quantité de charge électrique qui passe pendant l’unité de temps à travers l’aire unitaire, normale à la vitesse de drift. Selon cette définition, on écrit

La figure ci-jointe nous permet d’observer que toute charge ponctuelle de conduction qui se trouve à l’intérieur du volume

dV = dS_n v_ddt

sortira de la, par la surface dS_n, pendant l’intervalle de temps dt. La quantité d’électricité transportée est

dq_c = q₀dN

oÙ q₀ est la quantité d’électricité d’un porteur de charge, et dN est le nombre de porteurs de charge du volume dV. On peut écrire

dN = n dV

o n este le nombre de porteurs de charge du volume unitaire. Il résulte

Le terme q₀n représente la charge de conduction du volume unitaire, c’est-à-dire la densité volumique de charge de conduction r_c. Il résulte

j r_cv_d

Ci-aprÈs, on va voir quelles sont les conséquences du principe de la conservation de la charge électrique en ce qui concerne les courants électriques.

Soit un volume élémentaire

dV = dxdydz

à l’intérieur d’un conducteur parcouru par un courant électrique.

On va calculer le bilan de la quantité d’électricité du volume élémentaire, pendant l’intervalle de temps dt.

La quantité d’électricité qu’entre dans le volume élémentaire est

La quantité d’électricité qui sort est

La quantité d’électricité qui s’accumule dans le volume élémentaire, en augmentant la densité volumique de charge, est

ou

On peut observer que

Il résulte

ou

ou

c’est-à-dire la conséquence de la conservation de la charge électrique c’est que dans tout point du conducteur, la somme entre la vitesse de variation de la densité volumique de charge de conduction et la divergence de la densité de courant est nulle. Cette équation s’appelle l’équation de continuité.

Si la densité volumique de la charge de conduction reste constante dans le temps

alors, l’état de chargement électrique du conducteur est stationnaire, et le courant électrique qui traverse le conducteur s’appelle courant électrique stationnaire. L’équation de continuité se réduit à

Ñ j

expression qui représente l’équation fondamentale des courants stationnaires, qu’on l’énonce comme ça: la divergence de la densité de courant du courant électrique stationnaire est nulle dans tout point du conducteur.

Si on prend une surface fermée S et on calcule l’intégrale volumique de la divergence de la densité de courant sur le volume délimité par la surface fermé, on obtient

Utilisant le théorÈme flux-divergence, il résulte

c’est-à-dire le flux de la densité de courant à travers n’importe quelle surface fermée, à l’intérieur d’un conducteur, est nul, si le courant électrique envisagé est stationnaire.

Le flux de la densité de courant à travers une surface donnée s’appelle aussi l’intensité du courant électrique, étant symbolisé par I:

L’unité de mesure de l’intensité du courant électrique s’appelle ampÈre, étant l’une des unités fondamentales du SystÈme International d’unités de mesure.

Utilisant la notion d’intensité du courant électrique, on peut reformuler la loi fondamentale des courants stationnaires sous le nom de premier théorÈme de Kirchhoff: l’intensité d’un courant électrique stationnaire à travers n’importe quelle surface fermée est nulle. En particulier, la surface fermée peut Être un point de branchement entre différents conducteurs électriques.