INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE, LOI DE FARADAY

Induction électromagnétique, loi de Faraday

AprÈs beaucoup d'expériences ont été tirées les conclusions suivantes:

O       dans un circuit électrique fermé, oÙ il n'y a pas de source de courant, le courant électrique circule toutefois si, séparément ou simultanément:

Þ          la surface du circuit est déplacée, tournée ou déformée dans la présence d'un champ magnétique stationnaire

Þ          la source de champ magnétique est déplacée par rapport au circuit

Þ          le champ magnétique n'est pas stationnaire (c'est-à-dire celui-ci varie dans le temps)

O       dans tous les cas mentionnés, si le circuit n'est pas fermé, aux ses bornes il existe une tension électrique

Ce type de phénomÈnes a reçu le nom d'induction magnétique.

Pour déterminer la formule mathématique du phénomÈne d'induction électromagnétique, on va discuter l'expérience suivante:

O       une barre conductrice est déplacée avec la vitesse constante v dans une direction perpendiculaire sur la longueur l de la barre

O       la barre se déplace dans un champ magnétique uniforme, dont les lignes de champ sont perpendiculaires tant sur le vecteur vitesse que sur la longueur de la barre

Les appareils de mesure montrent que dans cette situation entre les extrémités de la barre s'installe une différence de potentiel. On peut faire les considérations suivantes:

la différence de potentiel existe par suite de l'apparition d'une séparation de charge électrique

cette séparation de charge peut se produire seulement par le déplacement des charges électriques libres entre les extrémités de la barre conductrice

la cause du déplacement est la force de Lorentz

f = qv B

lorsque les charges se déplacent dans la barre, une des ses extrémités s'électrise positivement et l'autre négativement

par suite, dans le conducteur s'installe un champ électrique induit E_ind, ainsi qu'un porteur de charge se trouvera tant sous l'action de la force de Lorentz que sous l'action de la force électrostatique

F_e = qE_ind

lorsque les deux forces ne sont pas égales, la séparation de charge s'amplifie et le champ électrique s'intensifie

l'état d'équilibre (donc aussi la séparation maximum de charge)  s'installe si la force de Lorentz et la force électrostatique font leur équilibre

qv B + qE_ind = 0

ou

E_ind = v B

Le terme v B possÈde la signification de champ électrique imprimé, c'est-à-dire d'un champ électrique non-électrostatique, sous l'action duquel se produit la séparation de charge

E_impr = v B

La tension électromotrice est définie comme étant la circulation du champ électrique le long d'une courbe. Dans notre cas, la tension électromotrice entre les points M et N peut Être calculé avec la relation

Envisageant le contour fermé MNPQM, formé par la position initiale de la barre, les trajectoires des deux extrémités et la position finale, on observe que sur le tronçon NPQM il n'y a pas des porteurs de charge libres (ce qui équivaut à prendre v = 0), ainsi qu'on peut écrire

Donc

Puisque tant v que B sont des vecteurs constants sur la courbe MN, il vient

Selon les propriétés du produit mixte des vecteurs, on peut écrire

Les vecteurs B et l ne dépend pas de temps, et v = dx/dt, ainsi qu'on résulte

Mais,

et

Le champ magnétique est uniforme et donc constant sur la surface S_MNPQM, ce qui conduit à

F étant le flux d'induction magnétique à travers la surface bornée par le contour MNPQM.

La conclusion de ce calcul peut Être écrite soit sous une forme condensée

soit dans une façon plus explicite

c'est-à-dire la tension électromotrice induite le long d'une courbe fermée est numériquement égale avec la vitesse de variation du flux d'induction magnétique à travers la surface délimitée par la courbe, prise au signe inverse. Ceci est l'énoncé de la loi d'induction électromagnétique, aussi nommée loi de Faraday.

Selon le théorÈme de Stokes on peut écrire

Aussi, si on considÈre que la surface délimitée par le contour ne se modifie pas dans le temps, et l'induction magnétique dépend tant de temps que de la position de l'élément de surface ds, on peut écrire

Avec ces deux observations, on obtient la relation locale

L'intensité totale du champ électrique est la somme vectorielle entre l'intensité du champ électrostatique et l'intensité du champ imprimé

Vu que

il résulte

ou

relation qui donne la forme locale de la loi de Faraday (ou loi de Maxwell-Faraday). La forme intégrale de cette équation est