NERVURI DE RACIRE

NERVURI DE raCIRE

Introducere

Nervurile de racire sunt entitati cu o conductivitate termica mare care se atasaza de corpul ce trebuie racit (vezi Fig. 1 si Fig. 2). De diferite sectiuni tranversale (constante sau variabile, Fig. 3), aceste nervuri de racire maresc fluxul de caldura care se pierde inspre exterior.

Fig. 1

Fig. 2

Daca fluxul de caldura transmis prin convectie in Fig. 1, in absenta nervurii este

, (1)

fluxul de caldura ce se pierde in prezenta nervurii este Q₂:

,. (2)

Astfel, avand in vedere ca fluxul termic la baza nervurii , atunci, evident, . Se defineste "eficienta totala"

(3)

(a)

(b)

(c)

Fig. 3 Nervuri de racire cu diferite sectiuni transversale.

Ecuatia de transfer termic pentru o nervura de racire

Se considera o nervura de racire, de lungime L si sectiune tranversala constanta A, racita prin convectie de un fluid (lichid sau gaz) cu temperatura T_∞ (Fig. 4 ).

Fig.4. Nervura de racire.

Considerand ca se transmite caldura in lungul abscisei x, printr-un process de conductie unidimensionala. Asa cum se obisnuieste in literatura de specialitate, pentru demonstrarea ecuatiei tranferului termic, se considera un volum elementar situat intre abscisele x si .

Pentru acest volum elementar se scrie Legea I a Termodinamicii:

, (1)

unde q_i sunt fluxurile de caldura schimbate de volum cu exteriorul. Se respecta regula cunoscuta din Termodinamica potrivit careia un flux termic este pozitiv daca el este primit de sistem si este negativ in caz contrar; w_i sunt lucrurile mecanice (pe unitatea de timp) schimbate de sistem cu exteriorul. Acestea sunt considerate negative daca sunt efectuate de exterior asupra sistemului si pozitive in caz contrar; E este energia interna a sistemului; t este timpul.

Pentru ca ne intereseaza conditia de echilibru, cand campul termic nu variaza cu timpul, si .

Pentru Fig. 4, ecuatia (1) ia urmatoarea forma

, (2)

unde q_x si q_x+Δx sunt fluxuri termice datorate transferului termic prin conductie de-a lungul nervurii iar q_h este fluxul termic ce se pierde prin convectie.

Folosim formula pentru dezvoltarea in serie Taylor a functiei f in punctul :
,

si o rescriem pentru obtinand:

. (3)

Inlocuind (3) in (2), obtinem:

sau

(2')

Legea lui Fourier stabileste ca fluxul termic este proportional si de sens opus cu gradientul de temperatura. Matematic, aceasta afirmatie este descrisa, in cazul unidimensional, de ecuatia (4)

, (4)

unde k este conductivitatea termica a materialului [W/mK], properietate ce se gaseste experimental; temperatura este o functie de spatiu si timp.

Fluxul termic pierdur prin convectie:

(5)

Pentru demonstratie, se va considera ca lucrul mecanic efectuat asupra sistemului (deci negativ ca valoare) este de natura electrica. El se regaseste in sistem, datorita efectului Joule, sub forma de aport (flux) termic, [W/m³]

. (6)

Inlocuind ecuatiile (46) in ecuatia (2'), obtinem ecuatia tranferului termic in cazul unei conductii unidimensionale:

. (7)

Dupa simplificarea cu , ecuatia (7) devine:

. (8)

De obicei conductivitatea termica a nervurii este constanta (materialul este izotrop) iar ecuatia (8) devine:

. (9)

Acesta ecuatie reprezinta forma generala a ecuatiei de transfer termic.

Daca, in plus, sectiunea tranversala a nervurii este constanta, A=ct., atunci ecuatia (9) devine:

↔ ↔

, (10)

unde este o constanta.

Facand notatia , ecuatia (10) se scrie:

. (11)

Nervuri de racire infinit lungi

Fig. 5. Nervura de racire infinit lunga.

Sa consideram o nervura a carei lungime este mult mai mare decat sectiunea transversala (Fig. 5). Ecuatia (23) va analiza conditiile in care o nervura poate fi considerata infinit lunga.

Daca la baza nervurii temperatura este T_b, la capatul din dreapta se considera ca nervura atinge temperatura mediului ambiant, T_∞.

Ecuatia de transfer termic (provine din (10) dar fara termenul geenrarii interne de caldura),

, (12)

si conditiile de contur pentru nervura de racire,

, ; (13)

, , (14)

sunt scrise folosind notatia :

; (15)

, ; (16)

, . (17)

Ecuatia transferului de caldura, (15), se poate scrie sub forma si admite ca solutie (vezi curs 3, ecuatia (24a)):

. (18)

Pentru aflarea necunoscutelor C₁ si C₂ se vor folosi conditiile de contur (16) si (17). Din (17) si (18) rezulta:

17-> → . (19)

Deci

. (20)

Aplicam conditia (16) acestei ultime forme a campului termic:

→ (21)

Deci

. (22)

Acesta este campul termic intr-o nervura de racire infinit lunga.

Acum putem stabili conditia in care o nervura de racire poate fi considerata infinit lunga. La capatul din dreapta, x=L, campul termic trebuie sa se apropie de valoarea pe care ar avea-o la infinit.

deci

Conditia mL>>1 este conditia ca o nervura de racire sa fie considerata infinit lunga. Inlocuind expresia pentru m, obtinem o relatie intre caracteristicile geometrice si proprietatile termice ale nervurii:

. (23)

Fluxul de caldura ce se pierde prin baza nervurii:

(24)

Nervuri de racire cu capat izolat

Sa consideram o nervura de racire cu aria si perimetrul sectiunii transversale constante, A si p, iar lungimea L (Fig. 6). Daca la baza nervurii temperatura este T_b, capatul din dreapta al nervurii este izolat termic.

Ecuatia de transfer termic (provine din (10) dar fara termenul generarii interne de caldura),

Fig. 6. Nervura de racire cu capat izolat.

, (25)

si conditiile de contur pentru nervura de racire,

, ; (26)

, , (27)

sunt scrise folosind notatia :

; (28)

, ; (29)

, . (30)

Ecuatia transferului de caldura, (28), se poate scrie sub forma si admite ca solutie (vezi curs 3, ecuatia (7a)):

. (31)

Pentru aflarea necunoscutelor C₁ si C₂ se vor folosi conditiile de contur (29) si (30). Din (30) si (31) rezulta:

→→

. (32)

Din (29) rezulta→. (33)

Ecuatiile (32) si (33) alcatuiesc un sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute. Inlocuind valoarea pentru C₂ in (32) obtinem:

→. (34)

Cu noile valori pentru C₁ si C₂ si (31) se obtine forma finala a campului termic:

. (35)

Fluxul de caldura ce se pierde prin baza nervurii:

=

(36)

Se observa ca pentru mL>>1, tgh(mL)→1 si regasim ecuatia (24).

Nervuri de racire cu capat ne-izolat

Fig. 7. Nervura de racire cu capat ne-izolat

Sa consideram o nervura de racire cu aria si perimetrul sectiunii trnasversale constante, A si p, iar lungimea L (Fig. 7). Daca la baza nervurii temperatura este T_b, la capatul din dreapta al nervurii are loc transfer de caldura prin convectie cu exteriorul. Ecuatia de transfer termic (provine din (10) dar fara termenul generarii interne de caldura),

, (37)

si conditiile de contur pentru nervura de racire,

, ; (38)

, , (39)

sunt scrise folosind notatia :

; (40)

, ; (41)

, . (42)

Solutia ecuatiei (40) cu conditiile de contur (41) si (42) este:

(43)

EcuaTia generala a

transferului de caldura

Ecuatia generala a tranferului de caldura

Se intalneste la tragerea firelor si fibrelor sintetice, precum si in multe alte aplicatii, de exemplu, la analiza cablurilor electrice.

Fig. 8. Ecuatia generala a transferului de caldura. Tragerea

firelor sintetice.

Sa consideram cazul unui rezervor din care materialul sintetic iese la o temperatura T_b, si curge cu o viteza constanta U in lungul axei x dand nastere unui fir cu sectiune de arie si perimetru constant, A si p. Acest material este racit prin convectie intr-un mediu cu temperatura T_∞ si coeficientul de transfer termic h. Vom considera un volum elementar situat intre abscisele x si . Acest volum elementar nu este un sistem inchis (caci face schimb de masa cu exteriorul). Pentru acest volum elementar se scrie Legea I a Termodinamicii sub forma

, (44)

unde q_i sunt fluxurile de caldura schimbate de volum cu exteriorul. Se respecta regula cunoscuta din Termodinamica potrivit careia un flux termic este pozitiv daca el este primit de sistem si este negativ in caz contrar; w_i sunt lucrurile mecanice (pe unitatea de timp) schimbate de sistem cu exteriorul. Acestea sunt considerate negative daca sunt efectuate de exterior asupra sistemului si pozitive in caz contrar; E este energia interna a sistemului; t este timpul; este fluxul masic, h_in este entalpia care intra in sistem iar h_out este entalpia care iese din sistem.

Pentru ca ne intereseaza conditia de echilibru, cand campul termic nu variaza cu timpul, si .

Pentru Fig. 8, ecuatia (44) ia urmatoarea forma

, (45)

unde q_x si q_x+Δx sunt fluxuri termice datorate transferului termic prin conductie de-a lungul nervurii iar q_h este fluxul termic ce se pierde prin convectie.

Folosim formula pentru dezvoltarea in serie Taylor a functiei f in punctul :
,

si o rescriem pentru si obtinand:

. (46)

(47)

Inlocuind (46) si (47) in (45), obtinem:

sau

(48)

Legea lui Fourier stabileste ca fluxul termic este proportional si de sens opus cu gradientul de temperatura. Matematic, aceasta afirmatie este descrisa, in cazul unidimensional, de ecuatia (49)

, (49)

unde k este conductivitatea termica a materialului [W/mK], properietate ce se gaseste experimental; temperatura este o functie de spatiu si timp.

Fluxul termic pierdur prin convectie:

(50)

Pentru demonstratie, se va considera ca lucrul mecanic efectuat asupra sistemului (deci negativ ca valoare) este de natura electrica. El se regaseste in sistem, datorita efectului Joule, sub forma de aport (flux) termic, [W/m³]

. (51)

Cat despre entalpia materialului;

(52)

iar fluxul masic

. (53)

iar    (53')

Inlocuind ecuatiile (4953') in ecuatia (48), obtinem ecuatia generala a transferului de cadura:

. (54)

Dupa simplificare, obtinem:

. (55)

Daca aria A si conductivitatea termica sunt constante iar campul termic este stationar, ecuatia (55) devine:

. (56)

Tinand cont de definitia difusivitatii termice,, si notand , (56) se scrie:

. (57)

Ecuatia (57) este ecuatia generala a transferului de caldura

Facand transformarea , (57) ia forma

. (58)

Aplicatii. Prelucrarea firelor sintetice

Fig. 9. Prelucrarea firelor sintetice.

Ecuatia de transfer termic,

, (59)

se rezolva in acest caz utilizand urmatoarele conditii de contur:

, ; (60)

, . (61)

Folosind transformarea , ecuatia de transfer termic si conditiile de contur iau forma:

,    (62)

, ; (63)

, . (64)

Solutia ecuatiei (62) are forma:

, (65)

unde l>0.

Aplicand conditia (64) solutiei (65), obtinem:

→ ; (66)

Deci,

. (67)

Aplicand conditia (63) solutiei (67), deducem:

→ . (68)

Astfel, ecuatia campului termic, (67), devine:

. (69)

Pentru a afla ultima necunoscuta, l, se inlocuieste expresia campului termic, (69), in ecuatia de transfer termic, (62). Obtinem:

.

Dupa simplificari:

. (70)

Astfel, l este solutia ecuatiei de ordin doi (70):

;

Se alege valoarea pozitiva pentru l, asa cum s-a stabilit anterior.

. (71)

Aplicatii. Campul termic intr-un fir electric

Fig. 10. Campul termic intr-un fir electric.

In cazul unui fir electric, nu exista curgere a materialului dar acesta se incalzeste datorita trecerii curentului electric, prin efect Joulle.

Ecuatia de transfer termic,

(72)

se rezolva in acest caz utilizand urmatoarele conditii de contur:

, ; (73)

, . (74)

Folosind transformarea , ecuatia de transfer termic si conditiile de contur iau forma:

,    (75)

, ; (76)

, . (77)

Solutia ecuatiei (75) este de forma:

, (78)

Aplicand conditia (74) solutiei (78), obtinem:

→ ; (79)

Deci,

. (80)

Aplicand conditia (76) solutiei (80), deducem:

→ . (81)

Astfel, ecuatia campului termic, (80), devine:

. (82)

Solutia (82), trebuie sa verifice ecuatia (75):

→

→ (83)

. (84)