Scrigroup - Documente si articole

Username / Parola inexistente      

Home Documente Upload Resurse Alte limbi doc  

CATEGORII DOCUMENTE




BulgaraCeha slovacaCroataEnglezaEstonaFinlandezaFranceza
GermanaItalianaLetonaLituanianaMaghiaraOlandezaPoloneza
SarbaSlovenaSpaniolaSuedezaTurcaUcraineana

ēkaģeogrāfijaķīmijaBioloģijaBiznessDažādiEkoloģijaEkonomiku
FiziskāsGrāmatvedībaInformācijaIzklaideLiteratūraMākslaMārketingsMatemātika
MedicīnaPolitikaPsiholoģijaReceptesSocioloģijaSportaTūrismsTehnika
TiesībasTirdzniecībaVēstureVadība

Funkcijas nepartrauktĪba

matemātika

+ Font mai mare | - Font mai mic






DOCUMENTE SIMILARE

Trimite pe Messenger

FUNKCIJAS NEPARTRAUKTĪBA

Literatūra:

1. Šteiners K. Augstaka matematika III daļa. R.: Zvaigzne ABC, 1997.


2. Bože D., Bieza L., Siliņa B., Strence A. Uzdevumu krajums augstakaja matematika. - R.; Zvaigzne ABC, 2001.

3. Volodko I. Augstaka matematika: īss teorijas izklasts, uzdevumu risinajumu paraugi I daļa., R.: Zvaigzne ABC, 2008.

1. Argumenta pieaugums un funkcijas pieaugums

Bieži ir svarīgi zinat, par cik izmainas funkcijas vērtība, ja kada definīcijas apgabala punkta palielina vai samazina argumenta vērtību. Piemēram, alpīnistam ir svarīgi zinat atmosfēras spiediena izmaiņu, uzkapjot no vienas nometnes līdz nakamajai.

Aplūkosim divas noteikta secība izraudzītas argumenta vērtības  un  no funkcijas  definīcijas apgabala. Funkcijas vērtības šajos punktos ir attiecīgi  un .

Definīcija. Starpību starp divam argumenta vērtībam  un  sauc par argumenta pieaugumu. To apzīmē ar simbolu  un raksta .

Starpību starp divam funkcijas vērtībam  un  sauc par funkcijas pieaugumu. To apzīmē ar simbolu  jeb  un raksta .

Ta ka no  iegūst , tad

.

Argumenta pieaugums  var būt pozitīvs vai negatīvs atkarība no ta, kura argumenta vērtība ir lielaka:  vai . Ja argumenta pieaugums  ir pozitīvs, tad funkcijas pieaugums ir pozitīvs lielums vai negatīvs lielums atkarība no ta, vai funkcija ir augoša vai dilstoša.


Argumenta un funkcijas pieauguma jēdzieni ilustrēti 1. zīm. augošai funkcijai un 2. zīm. dilstošai funkcijai.

Ja ir jaatrod funkcijas pieauguma izteiksme brīvi izraudzīta definīcijas apgabala punkta , tad  vieta ievieto  un iegūst funkcijas pieauguma formulu

.

Piemēri.

1. Uzrakstīt funkcijas  pieauguma izteiksmi.

Vispirms atrod .

Tad uzraksta funkcijas pieaugumu .

2. Uzrakstīt funkcijas  pieauguma izteiksmi un aprēķinat , ja 1)  un ; 2)  un ; 3)  un ; 4)  un .

Atrod .

Funkcijas pieaugums ir

.

No iegūtas izteiksmes var aprēķinat funkcija  pieaugumu jebkura definīcijas apgabala punkta. Tatad

1)     ;

2)     ;

3)     ;

4)     .

3. Uzrakstīt funkcijas  pieauguma izteiksmi.

Vispirms atrod .

Funkcijas pieauguma izteiksme ir:

.

4. Uzrakstīt funkcijas  pieauguma izteiksmi.

Rīkojoties līdzīgi ka iepriekšējos piemēros, iegūstam

,


Vingrinajumi

  1. Uzrakstīt funkcijas  pieauguma izteiksmi un aprēķinat , ja 1)  un ; 2)  un ; 3)  un .
  2. 1. Uzrakstīt funkcijas  pieauguma izteiksmi un aprēķinat , ja 1)  un ; 2)  un ; 3)  un .
  3. Uzrakstīt funkcijas  pieauguma izteiksmi.

2. Funkcijas nepartrauktība

Daudzi procesi noris nepartraukti. Piemēram, ūdens spiediens uz akvalangistu pieaug nepartraukti, palielinoties ieniršanas dziļumam. Tas nozīmē, ka, mazliet palielinot dziļumu, nedaudz pieaug arī spiediens. Nepartrauktiem procesiem raksturīgi, ka mazam argumenta izmaiņam atbilst mazas funkcijas izmaiņas.

Definīcija. Funkcija f ir nepartraukta punkta , ja šis punkts pieder pie funkcijas definīcijas apgabala un bezgalīgi mazam argumenta pieaugumam  atbilst arī bezgalīgi mazs funkcijas pieaugums , t. i. .


3. zīmējuma paradīts punkta  nepartrauktas funkcijas grafiks. Neierobežoti samazinot argumenta pieaugumu , arī funkcijas pieaugums  samazinas neierobežoti.

Savukart 4. zīmējuma dota partraukta funkcija ir definēta punkta , taču, argumenta pieaugumam  tiecoties uz nulli, funkcijas pieaugums šaja punkta netiecas uz nulli.


Turpretim 5. un 6. zīmējuma paradītas partrauktas funkcijas punkta  nav definētas.

Izšķir divu veidu partraukuma punktus. Ievērosim, ka 4. un 5. zīmējuma attēloto funkciju vienpusējas robežas, kad  nav bezgalība. Šados gadījumos saka, ka  funkcijai pirma veida partraukuma punkts. Savukart 6. zīmējuma funkcijai . Punktu  sauc par funkcijas otra veida partraukuma punktu.

No nepartrauktības definīcijas var iegūt šadu secinajumu: ja

,

tad

 jeb

.                                                   (1)

Ta ka  ir konstants lielums attiecība pret , tad

.                                                                  (2)

Ta ka  un , ja  tad no vienadībam (1) un (2) iegūstam, ka

.

Tatad: ja funkcija ir nepartraukta punkta , tad funkcijas robeža, kad , ir vienada ar funkcijas vērtību punkta .

Var pieradīt, ka no vienadības  seko vienadība . Tatad abi apgalvojumi ir savstarpēji ekvivalenti:

.

TEORĒMAS PAR NEPARTRAUKTAM FUNKCIJAM

1.     Ja funkcijas f(x) un g(x) ir nepartrauktas punkta a, tad šaja punkta ir arī nepartrauktas funkcijas ,  un  (ja ).

2.     Ja funkcija g(x) ir nepartraukta punkta a un funkcija f(y) ir nepartraukta punkta , tad salikta funkcija  ir nepartraukta punkta a.

3.     Katra elementara funkcija ir nepartraukta sava definīcijas apgabala.

4.     (Veierštrasa teorēma) Ja funkcija ir nepartraukta slēgta intervala, tad šaja intervala ta ir ierobežota un vismaz viena intervala punkta sasniedz savu minimalo vērtību m un vismaz viena intervala punkta sasniedz savu maksimalo vērtību M.

Piemēri.

1. Pieradīt, ka funkcija  ir nepartraukta visiem realiem x.

Atradīsim dotas funkcijas pieauguma izteiksmi:

Aprēķinasim :

.

Ta ka  visiem realiem x, tad funkcija  ir nepartraukta visiem realiem x.

2. Pieradīt, ka funkcija  ir nepartraukta visiem realiem x.

Ta ka  visiem realiem x, tad funkcija  ir nepartraukta visiem realiem x.

3. Noteikt funkcijas  partraukuma punktu un ta veidu. Uzzīmēt funkcijas grafiku partraukuma punkta apkartnē.

Dota funkcija nav definēta punkta , tatad tas ir partraukuma punkts. Lai noteiktu ta veidu, aprēķinasim vienpusējas robežas:

,

.

Ta ka abas vienpusējas robežas ir bezgalības, punkts  ir otra veida partraukuma punkts.

4. Noteikt funkcijas  partraukuma punktu un ta veidu. Uzzīmēt funkcijas grafiku partraukuma punkta apkartnē.

Šī funkcija nav definēta, ja . Tas ir šīs funkcijas partraukuma punkts.

Atradīsim vienpusējas robežas:

,

.

Ta ka robeža no kreisas puses ir bezgalība, tad  ir otra veida partraukuma punkts.

5. Noteikt funkcijas  partraukuma punktu un ta veidu. Uzzīmēt funkcijas grafiku partraukuma punkta apkartnē.

Funkcija nav definēta, ja , tas ir šīs funkcijas partraukuma punkts.

,

.

Abas vienpusējas robežas ir galīgas. Tatad  ir pirma veida partraukuma punkts.



Uzdevumi: 726., 727., 728.‑739. uzd. no uzd. kraj augst. mat.

753. uzd.

Izmantojot nepartrauktu funkciju īpašības, pieradīt, ka vienadojumam  intervala  ir vismaz viena reala sakne.

Aprēķinasim funkcijas  vērtības dota intervala galapunktos:

; .

Ta ka funkcija  ir nepartraukta, tad intervala  ta pieņem visas vērtības no  līdz 7, tatad arī 0. Tapēc var apgalvot, ka dotaja intervala eksistē vismaz viena tada x vērtība, kurai .

3. Ievads atvasinajuma jēdziena izpratnei.

Aplūkosim ķermeņa kustību taisna virziena ar mainīgu atrumu. Lietosim apzīmējumus:

t – laiks,

s – attalums,

v – atrums.

Tad ķermeņa veiktais attalums ir laika funkcija .

Pieņemsim, ka ķermenis desmitas sekundes beigas atrodas punkta ar koordinatu , bet pēc 10 sekundēm ta koordinata ir . (Skat. 7.zīm.) Tad laika intervala  tas ir veicis attalumu  un . Aprēķinasim ķermeņa vidējo atrumu šaja laika intervala .

Ja laika intervalu samazinasim, tad samazinasies arī veiktais attalums  un mainīsies vidējais atrums. (Skat. tabulu.)

Laika intervals

 (s)

10

15

1

0,1

0,01

 (m)

150

62,5

10,5

1,005

0,10005

 (m/s)

15

12,5

10,5

10,05

10,005

No tabulas datiem redzams, ka maziem laika intervaliem atruma vidēja vērtība maz atšķiras no 10 m/s. Ir pamats secinat, ka desmitas sekundes beigas ķermeņa atrums ir 10 m/s. Fizika to sauc par momentano atrumu.

Precīzi momentana atruma vērtību iegūtu, ja laika sprīdi  ņemtu bezgalīgi mazu t. i., kad . Tad .

Ja attaluma funkcijas vieta ņemam funkciju , tad  ir argumenta pieaugums kada intervala, bet  funkcijas pieaugums šaja intervala. Attiecība  parada funkcijas izmaiņas vidējo atrumu. Robežgadījuma, kad , šī attiecība parada funkcijas izmaiņas atrumu punkta. Matematika to sauc par funkcijas atvasinajumu.

4. Atvasinajuma definīcija.

Apskatīsim funkciju . Izvēlēsimies kadu argumenta vērtību  un dosim tam pieaugumu . Atradīsim funkcijas pieaugumu .

Definīcija.

Par funkcijas atvasinajumu punkta  funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu šaja punkta, kad argumenta pieaugums tiecas uz nulli.

Atvasinajumu apzīmē ar simbolu  jeb .

Atvasinajuma punkta definīcijas formula: .

Parasti funkcijas atvasinajumu meklē jebkurai argumenta vērtībai x, kurai atvasinajums eksistē. Tad atvasinajuma definīcijas formula ir

                  jeb      

Jaatceras:

  • funkcijas atvasinajums dota punkta  ir skaitlis,
  • funkcijas atvasinajums jebkurai argumenta vērtībai x ir funkcija.

5. Atvasinašanas formulas.

Izmantojot atvasinajuma definīciju, atradīsim dažam pamatfunkcijam atvasinašanas formulas.

1. Konstantas funkcijas atvasinajums.

Ja , tad arī  un . Tatad .

Tatad konstanta lieluma atvasinajums ir nulle.

Piemēram.      ,            .

2. Funkcijas  atvasinajums.

Atradīsim .

Tad .

3. Funkcijas  atvasinajums.

Funkcijas pieaugums ir

.

Atvasinajums .

Aprēķinasim šīs funkcijas atvasinajumu vairakos punktos:

;          ; ;       ;

8. zīmējuma paradīts funkcijas  grafiks. Aplīšos ierakstītas šīs funkcijas atvasinajuma vērtības atbilstošajos punktos. Varam secinat, ka augošai funkcijai atvasinajuma vērtības ir pozitīvas, dilstošai – negatīvas. Ja funkcija aug straujak, tad atvasinajuma vērtība ir lielaka. Dilšanas intervala otradi. Parabolas virsotnē atvasinajums ir 0.

4. Funkcijas  atvasinajums.

Šīs funkcijas pieauguma izteiksme ir atrasta iepriekš un ta ir:

.

Pēc definīcijas atrodam šīs funkcijas atvasinajumu:

5. Pakapes funkcijas atvasinajums.

Pakapes funkcijas atvasinašanas formulu jebkuram realam kapinatajam šeit nepieradīsim. Šī formula ir

Aplūkosim dažus piemērus:

                

                  

;       ;

;

.

Der atcerēties dažas ar pakapi saistītas sakarības:

                                      

Talak dota biežak lietoto funkciju atvasinašanas formulas.

ATVASINAŠANAS FORMULAS

PAMATFUNKCIJAS ATVASINAŠANAS FORMULA

SALIKTAS FUNKCIJAS ATVASINAŠANAS FORMULA

 (pakapes funkcijas atvasinašanas formula, )




(pakapes funkcijas atvasinašanas formula)

6. Atvasinašanas likumi.

Aplūkosim funkcijas  un , kuram eksistē atvasinajumi  un .

1. Funkciju summas vai starpības atvasinašana:

Piemēri.

;

.

2. Funkciju reizinajuma atvasinajums.

Piemēri.

;

.

3. Konstanta reizinataja iznešana pirms atvasinajuma zīmes:

Piemēri.

;

;

.

4. Funkciju dalījuma atvasinajums.

Piemēri.

;

;

Vingrinajumi.

Izpildīt 1. uzdevuma I, II un III.

1. uzdevums.

ATVASINAT DOTO FUNKCIJU:

I

II

III

IV

a)     ;

b)     ;

c)     ;

d)     ;

e)     ;

f)      ;

g)     ;

h)     ;

i)      ;

j)      ;

k)    

a)     ;

b)     ;

c)     ;

d)     ;

e)     ;

f)      ;

g)     ;

h)     ;

i)      ;

j)      ;

k)     ;

l)      ;

m)  

a)     ;

b)     ;

c)     ;

d)     ;

e)     ;

f)      ;

g)     ;

h)     ;

i)      ;

j)      ;

k)     ;

l)     

a)     ;

b)     ;

c)     ;

d)     ;

e)     ;

f)      ;

g)     ;

h)     ;

i)      ;

j)      ;

k)     ;

l)      ;

m)   ;

n)    

7. Salikta funkcija un tas atvasinašana.

Apskatīsim divas funkcijas , kur  un, kur . Ta ka pirmas funkcijas definīcijas apgabalam un otras funkcijas vērtību kopai ir kopīga daļa, tad var izveidot funkciju . Ta ir salikta funkcija. To veido arēja funkcija  un iekšēja funkcija .

Visparīga veida saliktu funkciju varam uzrakstīt , kur arēja funkcija ir  un iekšēja funkcija .

Piemēri.

Dotajai saliktai funkcijai noteikt iekšējo un arējo funkciju.

1)                   un

2)                      un

3)                   ,  un



4)                                 un

5)                            un

6)                    ,  un

7)                           , ,  un

Saliktu funkciju  atvasina pēc formulas:

 jeb

Lai atvasinatu saliktu funkciju, vispirms atvasina arējo funkciju, pēc tam iekšējo funkciju un iegūtos atvasinajumus sareizina.

Piemēri.

Dažus piemērus pildīsim ļoti pakapeniski.

1. Atvasinat funkciju .

Arēja funkcija ir , bet iekšēja funkcija . Vispirms atvasina arējo funkciju , pēc tam iekšējo funkciju .

Tad .

2. Atvasinat funkciju .

Arēja funkcija , iekšēja funkcija .

To atvasinajumi , .

Tad .

3. Atvasinat funkciju .

Arēja funkcija , iekšēja funkcija .

To atvasinajumi , .

Tad .

4. Atvasinat funkciju .

Tagad pierakstu saīsinasim.

Arējas funkcijas atvasinajums ,

iekšējas funkcijas atvasinajums .

Tad .

5. Atvasinat funkciju .

Talak jau lietošu īsu pierakstu. Ja nepieciešams, tad pēc iepriekšējiem piemēriem var atvasinat pakapeniski.

(Lietota formula .)

6. Atvasinat funkciju .

(Lietotas formulas  un .)

Vingrinajumi.

1. uzdevums IV un 2. uzdevums.

2. uzdevums.

Atvasinat dotas funkcijas.

1. ;                            2. ;                3. ;

4. ;                    5. ;                6. ;

7. ;                                 8. ;                            9. ;

10. ;                          11. ;                            12. ;

13. ;             14. ;                              15. ;

16. ;                                    17. ;                      18. ;

19. ;                       20. ;                     21.

8. Funkcijas atvasinajuma aprēķinašana dotaja punkta.

Pieņemsim, ka dota funkcija un jaatrod tas atvasinajums .

Lai to izdarītu,

·       atvasina doto funkciju,

·       aprēķina .

Piemērs.

Aprēķinat funkcijas  atvasinajumu argumenta vērtībai .

Atvasinasim doto funkciju. Ta ir salikta funkcija.

Aprēķinasim .

Vingrinajumi.

3. uzdevums.

3. uzdevums.

APRĒĶINAT DOTAS FUNKCIJAS ATVASINAJUMU NORADĪTAJA PUNKTA

a)                       ; ; ; ; ;

b)                     ; ; ;

c)                        ; ; ;

d)                    ; ; ;

e)                      ; ; .

9. Apslēptas funkcijas atvasinašana.

Funkcija  ir dota atklata veida. Savukart ar vienadību  funkcija y ir dota apslēpta veida.

Lai atrastu apslēptas funkcijas  atvasinajumu , vienadības  abas puses atvasina pēc x un no iegūtas sakarības izsaka .

Piemēri.

1. Noteikt  funkcijai .

Atvasinasim doto vienadību pēc x, ņemot vēra, ka y2 ir salikta funkcija:

                              

                     .

2. Noteikt  funkcijai .

Atvasinasim doto vienadību pēc x:

                                     

                                               

                          .

10. Logaritmiska atvasinašana.

Vispirms jaatkarto dažas logaritmu īpašības: .

Mums ir jaatvasina funkcija . Šī funkcija neatbilst pakapes vai eksponentfunkcijas definīcijai. Līdz ar to nevaram lietot atbilstošas formulas. Tapēc logaritmēsim šo funkciju.

Tad . Pielietojot logaritmu īpašību . Vienadības abas puses atvasinasim pēc x:                 

                                 .

Apskatīsim vēl dažus piemērus.

1. Atvasinat funkciju , to vispirms logaritmējot.

                     

      

      

2. Atvasinat funkciju , to vispirms logaritmējot.

                       

      

.

11. Parametriski dotas funkcijas atvasinašana.

Ja funkcija  ir uzdota parametriska veida, t. i., ar sistēmu

,

tad funkcijas  atvasinajumu atrod ar sakarību .

Piemērs.

Atvasinat parametriska veida dotu funkciju . (Grafiks ir riņķa līnija ar centru koordinatu sakumpunkta.)

Vispirms atrod  un . Tad .

12. Augstaku kartu atvasinajumi.

Pieņemsim, ka funkcijai  eksistē atvasinajums . Ta ka šis atvasinajums arī ir funkcija, tad to var atvasinat. Līdz ar to iegūstam dotas funkcijas otras kartas atvasinajumu .

Otras kartas atvasinajumu vēlreiz atvasinot, iegūst trešas kartas atvasinajumu .

Talak seko ceturtas kartas atvasinajums, kuru apzīmē  u. t. t.

Tie ir dotas funkcijas augstaku kartu atvasinajumi.

Piemēri.

1. Atrast otras, trešas un ceturtas kartas atvasinajumu funkcijai .

,

,

,

.

2. Atrast otras kartas atvasinajumu funkcijai .

,

.

Vingrinajumi.

923. uzdevums no uzdevumu krajuma augstakaja matematika.









Politica de confidentialitate

DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 1430
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2019 . All rights reserved

Distribuie URL

Adauga cod HTML in site